Parabolen

Antwoorden bij de opgaven

    1. `x + 1 = sqrt((x - 1)^2 + y^2)` geeft `x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2` en dus `y^2 = 4x`.
    2. `x = sqrt((x - 2)^2 + y^2)` geeft `x^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2` en dus `y^2 = 4(x - 1)`.
    3. `y = t` geeft `4x - 4 = t^2` en dus `x = 0,25t^2 + 1`.
    4. `x + 0,5p = sqrt((x - 0,5p)^2 + y^2)` geeft `x^2 + px + 0,25p^2 = x^2 - px + 0,25p^2 + y^2` en dus `y^2 = 2px`.
  2. Nu is `0,5p - y = sqrt(x^2 + (x + 0,5p)^2)` en dit geeft `x^2 = -2py`.
    1. Bij een cirkel staat de raaklijn in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar het raakpunt. Bij een parabool is daarvan geen sprake.
    2. `y = 4t` en `x = 2t^2` invullen in `y^2 = 8x` geeft `16t^2 = 8 * 2t^2` en dit klopt voor elke waarde van `t`.
    3. Als `Delta x rarr 0` dan gaan `P` en `Q` samenvallen. Dus dan benadert de `t`-waarde van `Q` die van `P` (bij een nette aaneengesloten kromme).
    4. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(t))/(x'(t)) = 4/(4t) = 1/t`.
      In `P(2,4)` is `t = 1` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/1 = 1` zodat de vergelijking van de raaklijn `y = x + 2` wordt.
    5. `Q(8,8)` voldoet aan `y^2 = 8x` en ligt dus op de parabool.
      In `Q(8,8)` is `t = 2` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/2 = 0,5` zodat de vergelijking van de raaklijn `y = 0,5x + 4` wordt.
    1. `y^2 = 2p(x - a)`
    2. `(y - b)^2 = 2px`
    3. `p = 1` dus `(y - 6)^2 = 2x`.
    4. `y - 6 = t` dus `y = t + 6` geeft `t^2 = 2x` en dus `x = 1/2 t^2`.
      Parametervoorstelling: `x = 1/2 t^2` en `y = t + 6`.
  5. `(x - a)^2 = 2p(y - b)` met `(a,b) = (2,3)` en `p = 4`.
    Dit geeft `(x - 2)^2 = 8(y - 3)`.
    Kies `x - 2 = t` dus `x = t + 2` en je krijgt `t^2 = 8(y - 3)` en dus `y = 1/8 t^2 + 3`.
    Parametervoorstelling: `x = t + 2` en `y = 1/8 t^2 + 3`.
    1. `y^2 = 6x + 6` en `x = 5` geeft `y^2 = 36` en dus `y = +-6`.
      Dit geeft `A(5,6)` en `B(5,-6)`.
    2. `y = t` geeft `t^2 = 6x + 6` en dus `y = 1/6 t^2 - 1`.
    3. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(t))/(x'(t)) = 1/(1/3 t) = 3/t`
      In `A(5,6)` is `t = 6` en dus is het hellingsgetal daat `3/6 = 0,5`.
      In `B(5,-6)` is `t = -6` en dus is het hellingsgetal daat `- 3/6 = -0,5`.
    4. Raaklijn in `A` is `y = 0,5x + 3,5`.
      Raaklijn in `B` is `y = -0,5x - 3,5`.
    5. `P(0,5;3)` en een richtingscoëfficiënt van `a` geeft raaklijn `y = ax + 3 - 0,5a`.
    6. `(ax + 3 - 0,5a)^2 = 6x + 6` geeft `a^2x^2 + (-6 + 6a - a^2)x + 3 - 3a + 0,25a^2 = 0`.
      `D = 0` geeft `a = 1`.
    7. Raaklijn `y = x + 2,5`.
    1. `y^2 - 2y = 4x` geeft `(y - 1)^2 = 4(x + 0,25)`. De top is `(-0,25; 1)`.
    2. `p = 2` dus de afstand van brandpunt tot richtlijn is `2`.
      De as van de parabool is evenwijdig aan de `x`-as.
      Richtlijn `x = -1,25`, brandpunt `F(0,75; 1)`.
    3. Kies `y = 2t` dan is `4t^2 - 4t = 4x` en dus `x = t^2 - 4t`.
      (Je kunt ook `y = t + 1` of `y = t` kiezen.)
    4. `x = 0` geeft `y = 0 vv y = 2`.
      In `(0,0)`: `y = ax` geeft `a^2x^2 - 2ax = 4x` en dus `a^2x^2 + (-2a - 4)x = 0`. Met `D = 0` vind je `a = -2`. De raaklijn is `y = -2x`.
      In `(0,2)`: `y = ax + 2` invullen en met `D = 0` vind je `a = 2` en dus als raaklijn `y = 2x + 2`.
      (Je kunt ook werken met `(text(d)y)/(text(d)x) = (2)/(2t - 1)`.)
    1. `x = 2t + 4` geeft `t = 1/2 x - 2` en `y = 4(1/2 x - 2)^2 + 3`.
      Dit is te herleiden tot `y - 3 = (x - 2)^2`.
    2. `2p = 1` geeft `p = 1/2`.
      Uit de vergelijking bij a lees je af `b = 3`.
    3. Omdat `p > 0`.
    4. Top `(4,3)`, brandpunt `F(4; 3,25)` en richtlijn `r`: `y = 2,75`.
    1. Top `(-1,0)` en `p = 6` met as evenwijdig de `x`-as geeft `y^2 = 12(x + 1)`.
    2. Top `(0,2)` en `p = 4` met as evenwijdig de `y`-as geeft `x^2 = 8(y - 2)`.
    3. Top `(4,2)` en `p = -8` met as evenwijdig de `x`-as geeft `(y - 2)^2 = -16(x - 4)`.
    4. Nu is `p` onbekend en negatief. De top is `(3 - 0,5p, 0)` en de vergelijking is `y^2 = 2p(x - (3 - 0,5p))`.
      `(0,4)` invullen geeft `16 = -2p(3 - 0,5p)` en hieruit volgt `p = -2 vv p = 8`.
      Als `p = -2` wordt de vergelijking `y^2 = -4(x - 4)`.
      Als `p = 8` wordt de vergelijking `y^2 = 16(x + 1)`.
    1. `y = 2t + 2` geeft `t = 0,5y - 1` en dus `x = (0,5y - 1)^2 - 4` en dit kun je schrijven als `(y - 2)^2 = 4(x + 4)`.
      Hieruit lees je af dat de top `(-4,2)` is en dat `p = 2`.
      En dat levert op: brandpunt `F(-3,2)` en richtlijn `x = -5`.
    2. `l` door `A(0,2)` en `B(3,0)` geeft als vergelijking `y = - 2/3 x + 2`.
      Invullen in de vergelijking van de parabool en je vindt de snijpunten `C(12,-6)` en `D(-3,4)`.
    3. `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/t`.
      In `C` is `t = -4` en de richtingsvector van de raaklijn dus `vec(r_1) = ((1),(-0,25))`.
      De richtingsvector van `l` is `((3),(-2))` en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je `phi_1 ~~ 53`°.
      In `D` is `t = 1` en de richtingsvector van de raaklijn dus `vec(r_2) = ((1),(1))`.
      De richtingsvector van `l` is `((3),(-2))` en met het inproduct van deze twee richtingsvectoren vind je `phi_2 ~~ 79`°.
    4. `y = +-sqrt(4x + 16) + 2`.
      De gevraagde oppervlakte is `int_(-4)^(-3) (sqrt(4x + 16) + 2 - (-sqrt(4x + 16) + 2)) text(d)x + int_(-3)^(12) (- 2/3 x + 2 - (-sqrt(4x + 16) + 2)) text(d)x`. Primitiveren geeft `[(2x + 8)sqrt(4x+16)]{:(-3),(-4):} + [- 1/3 x^2 + (x + 4)sqrt(4x+16)]{:(12),(-3):}`.
    1. Doen.
    2. `(y - 2)^2 = -x + 4` invullen in cirkelvergelijking geeft `(x - 2)^2 - x + 4 = 13` en daaruit volgt `x = 5 vv x = -1`.
      `x = 5` levert geen `y`-waarden op, `x = -1` levert `y = 2 +- sqrt(5)` op.
      Snijpunten `(-1, 2 +- sqrt(5))`.
    3. `p` snijdt de assen is `(0,0)` en `(0,2)`.
      `c` snijdt de `x`-as in `(-1,0)` en `(5,0)` en de `y`-as is `(0,-1)` en `(0,5)`.
    4. Vanwege de symmetrie van de figuur hoef je de hoek maar in één snijpunt te berekenen. Verder is `(text(d)y)/(text(d)x) = - 1/(2t)`.
      Neem `A(-1, 2 + sqrt(5))`. Daar is `t = sqrt(5)` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = - 1/(2 sqrt(5))`.
      Een richtingsvector van de raaklijn aan `p` in `A` is `((-2 sqrt(5)),(1))`.
      Voor `c` geldt `vec(MA) = ((-3),(sqrt(5)))` en een richtingsvector van de raaklijn aan `c` in `A` is daarom `((sqrt(5)),(3))`.
      Met het inproduct van beide richtingsvectoren vind je de hoek tussen beide raaklijnen `phi ~~ 66`°.
  12. `y = 3x + b` invullen in de vergelijking van `p` geeft `9x^2 + (-18 + 6b)x + b^2 - 8b + 10 = 0`.
    Met behulp van `D = 0` vind je `b = 0,5` en `x = 5/6` en `y = 2`. Raakpunt `(5/6, 2)`.
    1. Doen, zie figuur in de opgave.
    2. `|OA| = x` geeft `|AC| = 4 - x`.
      `|AP| = y` geeft `|BC| = y` want `Delta BCD` is rechthoekig en gelijkbenig.
      Dus `|AB| = |PB| = 4 - x - y`.
      Omdat `|PQ| = |QD|` is `2|PQ|^2 = |PD|^2 = (4 - x - y)^2`, dus `|PD| = 0,5(4 - x - y)^2`.
    3. `|OP| = |PQ|` geeft `x^2 + y^2 = 0,5(4 - x - y)^2` ofwel `2(x^2 + y^2) = (4 - x - y)^2`.
    4. Haakjes wegwerken.
    5. `x - y = 4t` en `x + y = 2 - 2t^2` geeft `2x = -2t^2 + 4t + 2` en dus `x = -t^2 + 2t + 1`.
      Hiermee vind je `y = 2 - 2t^2 - (-t^2 + 2t + 1) = -t^2 - 2t + 1`.
      Parametervoorstelling `(x,y) = (-t^2 + 2t - 1, -t^2 - 2t + 1)`.
    6. `(text(d)y)/(text(d)x) = (-2t - 2)/(-2t + 2)`.
      Raakijn evenwijdig `x`-as: `-2t - 2 = 0` geeft `t = - 1` en dus `(-2, 2)`.
      Raakijn evenwijdig `y`-as: `-2t + 2 = 0` geeft `t = 1` en dus `(2, -2)`.
    1. `t = y + 3` geeft `x = 4 - 0,1(y + 3)^2` en dus `(y + 3)^2 = -10(x - 4)`.
      Top `(4,-3)`, brandpunt `F(1,5; -3)`, richtlijn `x = 6,5`.
    2. `x = -6` geeft `(y + 3)^2 = 100` en dus `y = -13 vv y = 7`.
      Verder is `(text(d)y)/(text(d)x) = (-5)/t`.
      In `(6,-7)` is `t = 10` en `(text(d)y)/(text(d)x) = -0,5` dus de raaklijnvergelijking is `y = -0,5x - 4`.
      In `(6,-13)` is `t = -10` en `(text(d)y)/(text(d)x) = 0,5` dus de raaklijnvergelijking is `y = 0,5x - 16`.
      De gevraagde hoek (werk met tan of met het inproduct) is ongeveer `53`°.
    3. `(text(d)y)/(text(d)x) = -2` geeft `t = 2,5` en dus het punt `(3,375; -0,5)`.
    1. De vergelijking van `p` is te herleiden tot `(y - 2)^2 = 8x - 24`.
      Dit invullen in de cirkelvergelijking geeft `x = 5 vv x = 11`.
      De vier snijpunten zijn `(5,-2)`, `(5,6)`, `(11,-6)` en `(11,10)`.
    2. Neem bijvoorbeeld `A(5,6)`. Voor `c` geldt: `M(12,2)` en `vec(MA) = ((-7),(4))`, dus de richtingsvector van de raaklijn in `A` aan `c` is `((4),(7))`.
      Voor `p` geldt: `y = t + 2` geeft `x = 1/8t^2 + 3` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 4/t`. In `A` is `t = 4` en dus `(text(d)y)/(text(d)x) = 1`, dus de richtingsvector van de raaklijn in `A` aan `p` is `((1),(1))`.
      Met behulp van het inproduct van deze richtingsvectoren vind je de gevraagde hoek `~~ 15`°.