Cirkels en lijnen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Cirkels en lijnen > Inleiding

Probeer de vraag bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.
Probeer vooral even de voorkennis (de voorgaande twee onderwerpen in het meetkundedomein) op te halen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Cirkels en lijnen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Het gaat er om te onderzoeken of de afstand van de middelpunt van de gegeven cirkel tot lijn `p` gelijk is aan de straal van de cirkel.
   1. Leg uit waarom je de juiste conclusie kunt trekken door de snijpunten van de lijn en de cirkel te berekenen.
   2. Probeer die snijpunten te berekenen. Welke conclusie trek je?
   3. Je kunt ook gewoon de afstand van het middelpunt `M` tot lijn `p` berekenen. Hoe kom je aan `M` vanuit de gegeven vergelijking van `c`?
   4. Reken zelf de coördinaten van `M` en de straal van de cirkel na.
   5. Bereken nu de afstand van `M` tot `p`. (Gebruik een loodlijn door `M` op `p`.)
   6. Kom je tot dezelfde conclusie?


2. Bekijk de Uitleg, pagina 2. Veel (kromme) lijnen kunnen op meerdere manieren algebraïsch worden beschreven in een assenstelsel.
   1. Stel bij de gegeven lijn een vectorvoorstelling op. Vind je dezelfde vectorvoorstelling als in de uitleg staat?
   2. Welke parametervoorstelling hoort er bij jouw vectorvoorstelling?
   3. Beweeg beide punten `P` en `C` en onderzoek of ze ooit samenvallen. Kun je hier op grond van de figuur zeker van zijn?
   4. Leg uit waarom de coördinaten van het beweegbare punt `C` gelijk zijn aan `x = 1 + sqrt(10) * cos(t)` en `y = 4 + sqrt(10) * sin(t)`. Wat stelt `t` precies voor?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Krommen en oppervlakken > Cirkels en lijnen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je hoe je van de vergelijking van een lijn een parametervoorstelling kunt maken.
   1. Bepaal eerst twee punten op de lijn. Stel vervolgens een vectorvoorstelling van de lijn op.
   2. Waarom heb je nu eigenlijk meteen ook een parametervoorstelling?
   3. Maak nogmaals een parametervoorstelling van de lijn, maar nu met behulp van de normaalvector ervan.
   4. Bekijk nu de derde manier om een parametervoorstelling te maken. Hoe kun je zien dat het bij alle parametervoorstellingen die je hebt gemaakt om dezelfde lijn gaat?
   In hetzelfde voorbeeld wordt ook een parametervoorstelling van een cirkel gemaakt.
   5. Loop de berekening na.
   6. Omschrijf wat de parameter `t` bij de cirkel precies voorstelt.
   7. Waarom moet je eigenlijk voor de lijn en de cirkel niet dezelfde letter voor de parameter kiezen?


4. Bepaal van de cirkels die zijn gegeven door de volgende vergelijkingen het middelpunt en de straal.
   1. `x^2 + y^2 = 12y`
   2. `x^2 + y^2 + 6x = 16`
   3. `x^2 - 3x = 12 - 6y - y^2`


5. Ga op dezelfde wijze als in Voorbeeld 2 na of de volgende vergelijkingen bij cirkels horen. Bepaal dan ook het middelpunt en de straal van die cirkel.
   1. `x^2 + y^2 + 8x + 4y = 0`
   2. `x^2 + y^2 - 8x + 4y = -25`
   3. `2x^2 + y^2 + 8x = x^2 + 4y`


6. In Voorbeeld 3 wordt beschreven hoek je de hoek tussen een lijn en een cirkel kunt berekenen. Het rekenwerk zelf moet je nog doen.
   1. Bereken de gevraagde hoek in graden nauwkeurig. Voer alle rekenstappen ook echt algebraïsch uit.
   2. Bereken ook de afstand van de gegeven lijn tot het middelpunt van de cirkel.

Verwerken

7. Gegeven zijn de twee cirkels `c_1` en `c_2` door `c_1: x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0` en `c_2: x^2 + y^2 = 1`.
   1. Bereken de coördinaten van de snijpunten van `c_1` met de assen.
   2. Bereken de snijpunten van `c_1` en `c_2`.
   3. Bereken van `c_1` het exacte middelpunt en de exacte straal. Teken beide cirkels in één figuur.
   4. Bereken de hoek waaronder beide cirkels elkaar snijden.


8. Teken in een assenstelsel de punten `A(3,0)`, `B(5,2)` en `C(-1,4)`.
   1. Stel een parametervoorstelling op van de lijn door `A` en `B`.
   2. Stel een vergelijking op van de cirkel door `A, B` en `C`.
   3. Bereken de hoek waaronder de lijn de cirkel snijdt in graden nauwkeurig.


9. Een cirkel `c` is gegeven door de parametervoorstelling `x = 3 + 4 cos(2t)` en `y = -1 + 4 sin(2t)`, met `0 <= t <= pi`. De raaklijn aan `c` in het punt met `t = 1/3pi` snijdt de assen in de punten `P` en `Q`.
   Bereken de exacte lengte van lijnstuk `PQ`.
   


10. Bereken (indien mogelijk) de straal en de coördinaten van het middelpunt van deze cirkels.
    1. `x^2 + y^2 = 6x - 4y - 5`
    2. `x^2 + y^2 = 6x - 4y - 50`
    3. `x(x + 4) = 3 - y(y + 2)`
    4. `2x^2 + 2y^2 - 12x + 4y = 0`
    5. `5 - x^2 - y^2 = 4x + 2y`
    6. `x^2 + y^2 = 4x + 2y - 5`


11. Gegeven is de cirkel `c: x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0`.
    1. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn `m` van lijnstuk `OM` waarin `M` het middelpunt van `c` is.
    2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk `PQ` als `P` en `Q` de snijpunten van `m` met cirkel `c` zijn.
    3. Toon aan dat vierhoek `MQOP` (of `MPOQ`, afhankelijk van wat je `P` en wat je `Q` hebt genoemd) een ruit is.

Testen

12. Gegeven zijn de cirkels `c_1: x^2 + y^2 = 12x - 10` en `c_2` met middelpunt `M_2(4, 2)` en straal `sqrt(10)`.
    1. Bereken het middelpunt en de straal van `c_1`.
    2. Bereken de snijpunten van `c_1` en `c_2`.
    3. Bereken de afstand van `M_2` tot cirkel `c_1`.
    4. Bereken de hoek waaronder beide cirkels elkaar snijden in graden nauwkeurig.
    5. Door `A(0,4)` gaan twee lijnen die `c_2` raken. Stel van elk van deze twee lijnen een vergelijking op.
    6. De raaklijn aan `c_1` in het punt `P(7, 5)` snijdt de `x`-as in `Q`. Bereken de coördinaten van `Q`.
    7. Bereken de afstand van lijn `PQ` tot punt `M_2`.


13. Bereken de snijpunten van de cirkel `c` gegeven door `x = -2 + 5 sin(t)` en `y = 4 + 5 cos(t)` (met `0 <= t <= 2pi`) en de lijn `l` met vergelijking `y = x`.