Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. -
    2. `E(-3, 9, 0)` op `CB: ((x),(y),(z))=((-3),(0),(0))+p((0),(1),(0))` klopt voor `p=9`.
    3. `EF: ((x),(y),(z))=((1),(-1),(4))+t((2),(-5),(2))` en `TAB: 2y+z=6` hebben snijpunt `(0; 1,5; 3)`.
    4. `4sqrt(2)`
    5. `V: 2x+2y+3z=12` en `G=(-1, 1, 4)`
    6. Inproduct van `vec(CT)=((3),(3),(6))` en `vec(OH)=((3),(h),(0))` geeft `9+3h=sqrt(54)*sqrt(9+h^2)*2/sqrt(15)`. Dit levert op `h=1`, dus `H=(3, 1, 0)`.
    1. `B(14, -2, 0), E(6, -8, 10), F(14, -2, 10)` en `G(8, 6, 10)` zijn de andere hoekpunten
    2. `AG: ((x),(y),(z))=((6),(-8),(0))+t((2),(14),(10))` en `OBFD: x+7y=0`. Lijn door `P(6+2t, -8+14t, 10t)` en loodrecht op `OBFD` snijden met `OBFD`. Snijpunt uitdrukken in `t` en dan de gevraagde afstand uitdrukken in `t`. Die afstand is berekend, dus `t` uitrekenen: `t=0,3 vv t=0,7`. Gevraagde punten zijn `(6,6; -3,8; 3)` en `(7,4; 1,8; 7)`.
    3. Vlak `V` door `P(0, 0, 15), M(6, -8, 5)` en `N(8, 6, 5)` is: `7x - y + 5z = 75`. `V` snijden met `DE` geeft snijpunt `(3, -4, 10)`. `V` snijden met `AB` geeft snijpunt `(10,-5,0)`. `V` snijden met `BC` geeft snijpunt `(11, 2, 0)`. `V` snijden met `AB` geeft snijpunt `(4, 3, 10)`.
    4. Inproduct nemen van de normaalvectoren van beide vlakken. De gevraagde hoek is ongeveer 55°.
    5. De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van 10. Dus moet de breedte 1 zijn: `3/4 p + 4/3 p = 1`. Dit geeft `p=12/25`.
    1. Inproduct van beide normaalvectoren is 0
    2. Vlak `V` door `BT` en evenwijdig met `AC` is `3x-4z=24`. De afstand van `C` (een punt van `AC`) tot dit vlak berekenen. De gevraagde afstand is 4,8.
    3. `BCT: 3x+2y+2z=6`. Dan hoek tussen normaalvector van `BCT` en richtingsvector van `AB` berekenen. De gevraagde hoek is ongeveer 47°.
    1. Ook bij a) kun je goed gebruik maken van het assenstelsel dat in de opgave is beschreven. Het inproduct van de richtingsvectoren van `BF` en `DP` is 0.
    2. `K(4-4t, -3t, 3t)` en dan uit `|vec(KF)|=|vec(KB)|` de waarde van `t` vinden: `t=0,5` Dit geeft `K=(2; -1,5; 1,5)`
    3. Laat zien dat `|vec(KD)|=|vec(KB)|`
    4. `L(0, 3-s, s)` en vlak `AQMC` is `3x-4y=12`. Lijn door `L` en loodrecht op `AQMC` snijden met `AQMC` geeft: `d(L, AQMC)=48-8s`. Dit is de hoogte van de piramide. De oppervlakte van vierkant `AQMC` is `7.5+2.5s`. De inhoud van `L.AQMC` is `I=1/3 (7,5+2,5s)(48-8s)`. Deze parabool heeft een top als `s=1,5`. En max.`I(1,5)=135`.
    1. -
    2. `vec(MN)=((0),(0),(6))` en `vec(MF)=((-9),(3),(-3))`. Het inproduct geeft de gevraagde hoek: `~~72,5`°.
    3. `H(0, 6, 0)` is midden van `EG`. Punt `P` is het snijpunt van `AH` en `GN`. Dit geeft `P(2, 4, 0)` en `CP=sqrt(80)`.
    4. `Q(0, 2, 6)` en `R(0, 2, -6)`
    5. `Opp(MNQCR)=21sqrt(10)`
    1. De hoek tussen twee van dergelijke vlakken is ongeveer 109,5°.
    2. 60° en 90°.
    1. `P` op `OT`, `Q` op `AT` en `R` op `CT`.
    2. -
    3. Van de vlakken `PQR`, `OAT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `K`. `K` is het snijpunt van `PQ` en `OA` (de `x`-as). Van de vlakken `PQR`, `OCT` en `OABC` gaan de snijlijnen door één punt `L`. `L` is het snijpunt van `PR` en `OC` (de `y`-as). `KL` is nu de snijlijn van `PQR` met het grondvlak `OABC`.
    4. `PQR: 12x + 8y + 7z = 96` en `OABC: z = 0`. Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR`, `OABC` en de `x`-as: `K(8, 0, 0)`. Snijlijn gaat door het snijpunt van `PQR`, `OABC` en de `y`-as: `L(0,12,0)`.
    5. -
    1. -
    2. `vec(PQ)=((3),(-3),(-3))` en `vec(PR)=((-2),(1),(-4))` dus `vec(PQ)`x`vec(PR)=((15),(6),(-3))` en `V: 15x+6x-3z=33`
    1. `E(3, -3, 3sqrt(3)), F(3, 3, 3sqrt(3)), G(-3, 3, 3sqrt(3)), H(-3, -3, 3sqrt(3))` en `T(0, 0, 3sqrt(3)+3sqrt(2))`
    2. De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer 5,3°.
    3. `BF` en `GT` hebben geen snijpunt. Een vlak door BF en evenwijdig `GT` is `(sqrt(3)-sqrt(2))x+sqrt(3)y+z=9sqrt(3)-3sqrt(2)`. Bereken nu de afstand van `T` tot dit vlak. Je vindt voor de gevraagde afstand: `d(BF, GT)=(6sqrt(3)-6sqrt(2))/sqrt(8-2sqrt(6))`.
    4. Ongeveer 71,4°
    5. `ECT: (sqrt(3)+3sqrt(2))x+(sqrt(3)+4sqrt(2))y+z=3sqrt(3)+15sqrt(2)`. Dit vlak snijdt `AB` en `HG`.
    1. `B(6, 6, -6sqrt(2)), D(6, 6, 6sqrt(2))`. De doorsnee wordt een vijfhoek `KLMNP` met (bijvoorbeeld) `K(12, 8, 0), L(8, 8, -4sqrt(2)), M(4, 8, -4sqrt(2)), N(4, 8, 4sqrt(2))` en `P(8, 8, 4sqrt(2))`.
    2. `48sqrt(2)`
    3. `(4, 8, 2 2/3 sqrt(2))`
    4. `6sqrt(7)`