Ligging

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Ligging > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Ligging > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. In de Uitleg, pagina 1 wordt besproken hoe je de kortste onderlinge afstand van twee lijnen berekent.
    1. Bereken zo de kortste onderlinge afstand van lijn `AD` en lijn `BC` als gegeven `A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2)` en `D(0; 0; 3,5)`.
    2. Als beide lijnen elkaar snijden, dus bijvoorbeeld als `D = C = (0, 0, 2)`, hoe groot is dan hun onderlinge afstand?
    3. Bereken ook de hoek die beide lijnen `AD` en `BC` met elkaar maken, zowel in de situatie beschreven bij a) als die bij b).

  2. In de Uitleg, pagina 2 zie je dat de hoek tussen een lijn en een vlak wordt berekend door de hoek tussen de normaalvector van het vlak en de richtingsvector van de lijn te berekenen.
    1. De hoek tussen een lijn en een vlak wordt wel gedefinieerd als de hoek tussen de lijn en zijn loodrechte projectie op het vlak. Komt deze definitie overeen met de hoek die in de Uitleg wordt berekend?
    2. Bereken de normaalvector van het vlak `ABC` met `A(3, 0, 0), B(0, 3, 0)` en `C(0, 0, 3)`. Bepaal ook een richtingsvector van lijn `AD` met `D(0; 0; 3,5)`.
    3. Bereken nu zelf de hoek tussen vlak `ABC` en lijn `AD` in graden nauwkeurig.

  3. Gegeven zijn de punten `P(5, 0, 0), Q(0, 5, 0), R(0, 0, 5)` en `S(10, 4, -5)` en het vlak `V: 2x+3y+4z=12`.
    1. Welke van deze punten ligt in `V`?
    2. Bereken de kortste onderlinge afstand van de lijnen `PQ` en `RS`.
    3. Bereken de hoek die de lijnen `PQ` en `RS` met elkaar maken.
    4. Bereken het snijpunt van lijn `PQ` met vlak `V`.
    5. Bereken de hoek waaronder lijn `PQ` het vlak `V` snijdt.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Ligging > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de (kortste) afstand van een punt tot een lijn kunt berekenen.
    1. Loop de berekening na en bereken de gevraagde afstand in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Bereken zelf de afstand van `A` tot de lijn `BP`.
    3. Waarom kun je de afstand van een punt tot een lijn niet op dezelfde wijze berekenen als van een punt tot een vlak?

  2. In Voorbeeld 2 wordt de (kortste) afstand tussen twee kruisende lijnen berekend.
    1. Maak de beschreven werkwijze duidelijk in een eigen tekening.
    2. Laat met een berekening zien dat de lijnen `AB` en `CT` elkaar niet snijden.
    3. Bereken vervolgens zelf de afstand tussen beide lijnen.

  3. Omdat de hoek tussen een lijn en een vlak, of die tussen twee vlakken, vaak lastig te zien is in een figuur wordt in Voorbeeld 3 getoond hoe je ze met behulp van de normaalvectoren van het vlak kunt berekenen.
    1. Loop de berekening van de hoek tussen `CT` en vlak `ABT` na. Kun je die hoek ook in de figuur aangeven? Hoe dan?
    2. Laat met een berekening zien, dat de hoek tussen de vlakken `ABT` en `BCT` inderdaad 30° is. Waar zit die hoek in de figuur?
    3. Het is nuttig als je in "eenvoudige" gevallen zelf de gevraagde hoek kunt zien. Welke hoek is de hoek tussen `CT` en vlak `ABCD`? Hoe groot is die hoek?
    4. Welke hoek is de hoek tussen de vlakken `ABT` en `ABCD`? Hoe groot is die hoek?

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Ligging > Cabri3D III


Leer jezelf verder werken in Cabri3D. Maak een balk, een piramide en enkele andere ruimtelijke figuren. Probeer de figuren in de voorbeelden na te maken. En gebruik af en toe Cabri3D in de volgende opgaven.

Verwerken

  1. Gegeven zijn punt `A(1, 2, 3)` en de lijnen `l` en `m` en vlak `V` door: `l: ((x),(y),(z))=((4),(1),(-1))+p((-2),(3),(3))`, `m: ((x),(y),(z))=((3),(-1),(2))+q((2),(-2),(1))` en `V: x-2y+2z=4`
    1. Bereken de coördinaten van het snijpunt van `l` en `V`.
    2. Bereken de hoek tussen `l` en `V`.
    3. Bereken de afstand van `A` tot `V`.
    4. Bereken de afstand tussen `l` en `m`.
    5. Bereken de snijlijn van `V` en het vlak `W` door `l` en evenwijdig aan `m`.
    6. Op `m` ligt een punt `P` zo, dat `vec(AP)`//`V`. Bereken de coördinaten van `P`.

  2. Gegeven is het viervlak `C.OAB` met `A(6, 0, 0), B(0, 6, 0)` en `C(0, 0, 6)`. Punt `N` is het midden van `AB` en `M` dat van `OA`. Punt `Z` is het zwaartepunt van `Delta ABC`.
    1. Geef vectorvoorstellingen van de lijnen `CN` en `OZ`.
    2. Vlak `BCM` snijdt `OZ` in punt `S`. Bereken de coördinaten van `S`.
    3. Toon aan dat het punt `S` de lijn `OZ` zo verdeelt dat `OS:SZ=3:1`.
    4. Bereken de afstand van punt `A` tot vlak `BCM`.

  3. Een kubus `ABCD.DEFG` heeft ribben van 6 cm. Punt `M` is het midden van ribbe `BF`. Voor de volgende berekeningen kun je de kubus in een cartesisch assenstelsel `Oxyz` plaatsen.
    1. Bereken de afstand van punt `E` tot vlak `AMH`.
    2. Teken de snijlijn van een vlak `V` door `AE` en loodrecht op vlak `AMH` met het vlak `AMH`.
    3. Bereken de afstand tussen de lijnen `BE` en `AG`.
    4. Bereken de afstand van het midden van ribbe `CG` tot lijn `AG`.

  4. Van een regelmatige vierzijdige piramide `T.ABCD` is het snijpunt van `AC` en `BD` de oorsprong van een cartesisch `Oxyz`-assenstelsel. Verder is `A(4, -4, 0), B(4, 4, 0)` en `T(0, 0, 12)`. `P` ligt op `AB` zo, dat `AP:PB=1:3`. `V` is het vlak door `P` en evenwijdig aan vlak `BCT`.
    1. Stel een vectorvoorstelling van `V` op.
    2. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van lijn `AT` en vlak `V`.
    3. Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van `V` en vlak `DCT`.
    4. Bereken de hoek die de vlakken `ADT` en `V` met elkaar maken in graden nauwkeurig.
    5. Bereken de afstand tussen de vlakken `V` en `BCT`.

  5. Gegeven is de balk `OABC.DEFG` met `A(4, 0, 0), C(0, 8, 0)` en `D(0, 0, 4)`. Punt `P` is het midden van ribbe `EF`.
    1. Bereken de afstand van punt `P` tot vlak `AGC`.
    2. Bereken de afstand van punt `P` tot lijn `GB`.
    3. Op ribbe `EF` ligt een punt `M` zo, dat de afstand van `M` tot vlak `AGC` 2 is. Bereken de coördinaten van `M`.
    4. Bestaat er een punt `N` op ribbe `EF` zo, dat de afstand van dit punt tot lijn `GB` 2 is? Verklaar je antwoord.

  6. Gegeven zijn de punten `A(-6, 24, 7), B(-10, 23, 4), C(-6, 20, -5)` en `D(1, 23, 4)`. Het vlak `V` heeft vergelijking `4x+y+6z=2`. Vierkant `ABCD` is grondvlak van een piramide `T.ABCD` waarvan de top `T` in vlak `V` en op de middelloodlijn van `AC` loodrecht op vlak `ABCD` ligt. Bereken de hoogte van deze regelmatige vierzijdige piramide en bereken de lengte van ribbe `AT`.

  7. Een regelmatige vierzijdige piramide `T.OABC` heeft een grondvlak van 4 cm bij 4 cm en een hoogte van 5 cm en staat in een cartesisch `Oxyz`-assenstelsel. Punt `A` is het punt `(4, 0, 0)`. Op de `z`-as is een lichtbron opgehangen in het punt `L(0, 0, 8)`. De piramide is ondoorzichtig.
    1. Bereken de oppervlakte van de schaduw die deze lichtbron op het `Oxy`-vlak maakt van de piramide.
    2. Bereken de afstand van `L` tot ribbe `OT` in twee decimalen nauwkeurig.

  8. De hoek tussen twee kruisende lijnen `l` en `m` is 60°. De loodrechte snijlijn van `l` en `m` snijdt `l` in `A` en `m` in `B`. Op `l` ligt punt `P` zo, dat `AP=2`. Op `m` ligt punt `Q` zo, dat `BQ=4` en `PQ=6`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB` (twee mogelijkheden!) en de afstand van `AB` tot `PQ`.

Testen

  1. Een regelmatige vierzijdige piramide `T.OABC` heeft een grondvlak van 4 `cm` bij 4 `cm` en een hoogte van 5 `cm` en staat in een cartesisch `Oxyz`-assenstelsel. Punt `A` is het punt `(4, 0, 0)`. Punt `E` is het snijpunt van de lijnen `AC` en `OB`. Punt `D` is het midden van `TC`.
    1. Bereken de hoek die de lijnen `ED` en `AB` met elkaar maken.
    2. ereken de hoek die lijn `BD` maakt met vlak `OBT`.
    3. Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn `BD` met vlak `OAT` en bereken de hoek tussen `BD` en `OAT`.
    4. Bereken de afstand tussen de lijnen `OD` en `TE`.