Lijnen en vlakken

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Je ziet een vectorvoorstelling van lijn `DN`.
   1. Laat zelf zien dat alle punten op die lijn voldoen aan `x+3z=6`.
   2. Noem een paar punten die niet op lijn `DN` liggen, maar wel aan deze vergelijking voldoen.
   3. Om de punten op de lijn te beschrijven heb je behalve `x+3z=6` nog een vergelijking nodig. Welke bijvoorbeeld?


2. In de Uitleg, pagina 2 zie je een vectorvoorstelling van vlak `MCDN`.
   1. Stel zelf een andere vectorvoorstelling op van dit vlak.
   2. Laat zien, dat ook jouw vectorvoorstelling dezelfde vergelijking van het vlak oplevert.
   3. Controleer dat de normaalvector van het vlak die je uit de vectorvoorstelling kunt aflezen, inderdaad loodrecht op beide richtingsvectoren staat.
   4. Bekijk nu het vlak `EFC`. Stel van dit vlak een vectorvoorstelling en een vergelijking op.


3. Een normaalvector van het vlak kun je ook rechtstreeks uit de richtingsvectoren afleiden. Bekijk de vectorvoorstelling van vlak `MCDN` nog eens in de Uitleg, pagina 2. De richtingsvectoren zijn `vec(DN)` en `vec(DC)`.
   1. Neem aan dat de normaalvector van dit vlak `vecn=((a),(b),(c))` is. Deze normaalvector staat loodrecht op elk van de twee richtingsvectoren. Welke twee vergelijkingen in `a`, `b` en `c` levert dit op?
   2. Omdat je een normaalvector altijd kunt verlengen of verkorten, kun je rustig één van de drie onbekenden gelijk stellen aan 1. Welke normaalvector vind je nu?
   3. En hoe maak je nu de vergelijking van vlak `MDCN`?
   4. Maak op deze manier ook de vergelijking van vlak `EFC`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je het snijpunt van twee lijnen kunt berekenen en dan controleren dat dit snijpunt inderdaad in het vlak door beide lijnen ligt.
   1. Loop zelf de berekening na.
   2. Bereken op dezelfde manier het snijpunt van `GE` en `CN`.
   3. Controleer vervolgens dat dit snijpunt in vlak `CGEN` ligt.


5. In Voorbeeld 2 wordt het snijpunt van lijn `CM` en een vlak `OBT` berekend.
   1. Voer de berekening zelf uit.
   2. Je kunt dit snijpunt ook berekenen zonder een vergelijking van vlak `OBT` te maken. Je kunt namelijk gewoon met beide vectorvoorstellingen werken. Bereken ook daarmee de coördinaten van het snijpunt.
   3. Bereken het snijpunt van lijn `OM` en vlak `BCT`.
   4. Geef een voorbeeld van een lijn die vlak `BCT` niet snijdt. Toon door berekening aan dat die lijn het vlak inderdaad niet snijdt.


6. In Voorbeeld 3 zie je hoe je de afstand van een punt tot een vlak kunt berekenen.
   1. Voer zelf de berekening uit en bereken de gevraagde afstand in twee decimalen nauwkeurig.
   2. Bereken ook de afstand van punt `T` tot vlak `BCM`.


7. Bekijk nog eens de balk van Voorbeeld 1.
   1. Onderzoek of de lijnen `DB` en `CN` een snijpunt hebben.
   2. De vlakken `DNMC` en `GEF` snijden elkaar volgens een lijn `l`. Maak een vectorvoorstelling van die lijn door de twee vectorvoorstellingen van de vlakken aan elkaar gelijk te stellen.
   3. Je kunt ook een vectorvoorstelling van `l` maken door twee punten op te zoeken die aan beide vergelijkingen van de vlakken voldoen. Bepaal ook op die manier een vectorvoorstelling van `l`.
   4. Bereken de snijpunten van `l` met de vlakken `ABFE` en `BCGF`.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en vlakken > Cabri3D II

Leer jezelf verder werken in Cabri3D. Maak een balk, een piramide en enkele andere ruimtelijke figuren. Probeer de figuren in de voorbeelden na te maken. En gebruik af en toe Cabri3D in de volgende opgaven.

Verwerken

8. Teken een balk `OABC.DEFG` (of maak hem met Cabri3D) met `A(6, 0, 0), C(0, 4, 0)` en `D(0, 0, 4)`. Punt `P` is het midden van `AE` en punt `Q` is het midden van `DG`.
   1. Stel een vectorvoorstelling van lijn `PQ` op.
   2. Stel een vectorvoorstelling van vlak `ACD` op
   3. Stel een vergelijking van vlak `ACD` op.
   4. Toon aan dat lijn `PQ` evenwijdig is met vlak `ACD`.
   5. Bereken de afstand van punt `F` tot vlak `ACD` in twee decimalen nauwkeurig.
   6. Onderzoek of de lijnen `PQ` en `BG` elkaar snijden.


9. Gegeven is de kubus `OABC.DEFG` met `A(4, 0, 0), C(0, 4, 0)` en `D(0, 0, 4)`. Punt `P` is het midden van `EF`. Het vlak `V` gaat door punt `G` en staat loodrecht op lijn `OP`.
   1. Stel een vergelijking op van vlak `V`.
   2. Stel een vectorvoorstelling op van vlak `V`.
   3. Bereken de snijpunten van vlak `V` met de ribben van de kubus.
   4. Je kunt nu vlak `V` in de kubus tekenen. Stel vectorvoorstellingen op van de snijlijnen van vlak `V` met de kubus.
   5. Bereken de snijpunten van vlak `V` met de drie coördinaatassen.
   6. Bereken de afstand van punt `P` tot vlak `V`.


10. `Delta ABC` is gegeven door `A(a, 0, 0), B(0, b, 0)` en `C(0, 0, c)`.
    1. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt `Z` van deze driehoek.
    2. Bereken de afstand van `O` tot `Z`.


11. Hieronder wordt de positie van een punt `P` in de ruimte beschreven. Omdat de coördinaten van `P` nog variabelen bevat, beschrijft het punt een lijn of een vlak. Bepaal ingeval `P` een lijn beschrijft een vectorvoorstelling van die lijn en bepaal ingeval `P` een vlak beschrijft een vergelijking van dat vlak.
    1. `P=(1+p+q, p+2q, p)`
    2. `P=p(2, 1, -3)+q(-4, -2, 6)`
    3. `P=(1-p+3q, 4-p+q, -1+2p-4q)`
    4. `P=(1, 0, 1)+p(2, -3, 4)+q(-1, 0, 0)`
    5. `P=(1-p, 2+p, 0)`


12. Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide `T.OABC` met `A(4, 0, 0), C(0, 4, 0)` en `T(2, 2, 6)`. Punt `P` is het midden van ribbe `OT`.
    1. Het vlak `V` door `A`, `B` en `P` snijdt ribbe `CT` in punt `Q`.Bereken de coördinaten van `Q`.
    2. Toon aan dat vierhoek `ABQP` een trapezium is.
    3. Bereken oppervlakte van vierhoek `ABQP`.
    4. Bereken de afstand van `T` tot vlak `ABQP`.
    5. De vlakken `ABT` en `OCT` hebben een snijlijn `l`. Bereken het snijpunt van `l` met het `Oxz`-vlak.


13. De punten `A(6, 0, 0), B(0, 6, 0), C(-6, 0, 0), D(0, -6, 0)` en `T(0, 0, 6)` bepalen een regelmatig vierzijdige piramide `T.ABCD`. Punt `P` is het midden van `AT` en punt `Q` ligt op `BT` zo, dat `BQ:QT=1:2`.
    1. Welke coördinaten moet punt `Q` hebben? Licht je antwoord toe.
    2. Het vlak `V` door `P`, `Q` en `D` snijdt ribbe `BC` in punt `R`. Bereken de coördinaten van `R`.
    3. Bereken de afstand van punt `O` tot vlak `V`.
    4. `S` is het snijpunt van `V` met lijn `AC`. Bereken de lengte van lijnstuk `PS`.


14. Stel in een cartesisch `Oxyz`-assenstelsel een formule op voor de afstand van punt `O` tot het vlak `V` gegeven door `ax+by+cz=d`. Stel een algemene formule op van de afstand van `P(p_1, p_2, p_3)` tot dit vlak `V`.
    

Testen

15. De afgeknotte balk `OABC.DEFG` wordt gegeven door `A(8, 0, 0), B(8, 6, 0), C(0, 6, 0), D(0, 0, 10), E(8, 0, 8)` en `G(0, 6, 6)`.
    1. Bereken het snijpunt `S` van de lijnen `EG` en `DF`.
    2. Stel een vergelijking op van het bovenvlak `DEFG`.
    3. Bereken de coördinaten van het snijpunt van vlak `DEFG` met lijn `OB`.
    4. Het vlak `DEFG` en het `Oxy`-vlak hebben een lijn gemeenschappelijk die de `x`-as in `P` en de `y`-as in `Q` snijdt. Bereken de lengte van `PQ`.
    5. Bereken de afstand van punt `A` tot vlak `DEFG`.