Van 2D naar 3D

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Van 2D naar 3D > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Van 2D naar 3D > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg. Werken met coördinaten en vectoren in drie dimensies is in veel gevallen een eenvoudige uitbreiding van het werken in twee dimensies.
   1. Beschrijf de vectoren `vec(CE), vec(EC), vec(DF)` en `vec(DB)` met kentallen.
   2. Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek toe te passen hoe de lengte van `vec(OF)` wordt berekend.
   3. Bereken de lengtes van de vectoren `vec(CE), vec(EC), vec(DF)` en `vec(DB)`.


2. Ga in de Uitleg na hoe de vectorvoorstelling van lijn `AG` in elkaar zit.
   1. Stel zelf vectorvoorstellingen op van de lijnen `BD` en `CD`.
   2. Hoe zien de vectorvoorstellingen van de assen er uit?
   3. Heeft de lijn `AG` ook een vergelijking? Licht je antwoord toe.
   4. Hebben lijnen normaalvectoren in 3D? Kun je die gebruiken om vergelijkingen van lijnen te maken?


3. Ook het inproduct van twee vectoren is eenvoudig uit te breiden naar drie dimensies.
   1. Bereken het inproduct van `vec(CE)` en `vec(AG)`.
   2. Bereken met behulp van het antwoord bij a) de hoek tussen de lijnen AG en CE.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Van 2D naar 3D > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je met behulp van het inproduct ook in 3D de hoek tussen twee lijnen kunt berekenen.
   1. Loop zelf de berekening na.
   2. Bereken op dezelfde manier de hoek tussen de lijnen `BD` en `DF`.
   Je kunt ook de hoek berekenen die twee lijnen met elkaar maken als ze elkaar niet snijden. Dat is het geval met `BD` en `AC`.
   3. Waarom snijden deze lijnen elkaar niet? (Probeer hun snijpunt uit te rekenen en verklaar wat er mis gaat.)
   4. Bereken de hoek die deze lijnen met elkaar maken.


5. In Voorbeeld 2 zie je hoe je de (kortste) afstand van een punt tot een lijn in 3D kunt berekenen.
   1. Voer de berekening zelf uit.
   2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de afstand van punt `A` tot lijn `CT`.


6. In Voorbeeld 3 wordt aangegeven hoe je het snijpunt van twee lijnen in 3D kunt berekenen.
   1. Voer zelf de berekening uit en laat zien dat je `S(0, -1, 0)` vindt.
   2. Het is verstandig om ook even de figuur zo te draaien, dat je het vlak waar beide lijnen in liggen precies van voren kunt bekijken. Wellicht zie je hoe je dit snijpunt wel gewoon met verhoudingen had kunnen bepalen.
   3. Laat zien dat `FM` en `CE` geen snijpunt hebben.
   4. Bereken het snijpunt van `FM` en `BE`.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Van 2D naar 3D > Cabri3D I

Als je over Cabri3D kunt beschikken is het echt een aanrader om er mee te leren werken en er drie dimensionale figuren in te construeren. Veel figuren kun je dan veel beter bekijken en dit maakt meetkunde gemakkelijker en leuker...
Maak bijvoorbeeld een balk in een assenstelsel uit losse lijnstukken.

Verwerken

7. Teken een kubus `OABC.DEFG` (of maak hem met Cabri3D) met `A(3, 0, 0), C(0, 3, 0)` en `D(0, 0, 3)`. Punt `P` ligt op `AE` zo, dat `AP=2`.
   1. Geef de coördinaten van `P`.
   2. Beschrijf `vec(CP)` met kentallen en bereken de lengte van `vec(CP)`.
   3. Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door `C` en `P`.
   4. Bereken de hoek waaronder de lijnen `CP` en `AG` elkaar snijden.
   5. Bereken de coördinaten van het snijpunt van `CP` en `AG`.


8. Gegeven is de kubus `OABC.DEFG` met `A(a, 0, 0)`, `C(0, a, 0)` en `D(0, 0, a)`. `M` is het snijpunt van `OB` en `AC`. Bewijs dat `GM` en `CE` elkaar loodrecht snijden.
   


9. De punten `A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(-4, 0, 0), D(0, -4, 0)` en `T(0, 0, 4)` zijn de hoekpunten van piramide `T.ABCD`. `M` is het midden van ribbe `TC`.
   1. Bereken de lengte van vector `vec(DM)`.
   2. Bereken de hoek tussen de lijnen `DM` en `CT`.
   3. In de figuur kun je een vlieger `APMQ` tekenen, met `P` op `BT` en `Q` op `DT`. Bereken de coördinaten van de punten `P` en `Q`.
   4. Bereken de oppervlakte van deze vlieger.


10. De afgeknotte regelmatige vierzijdige piramide `ABCD.EFGH` heeft hoekpunten `A(4, -4, 0), B(4, 4, 0), C(-4, 4, 0), D(-4, -4, 0)` en `E(3, -3, 3)`.
    1. Geef de coördinaten van de hoekpunten `F`, `G` en `H`.
    2. Welke coördinaten heeft de top van piramide `T.ABCD` waaruit deze afgeknotte piramide is ontstaan?
    3. Bereken het snijpunt van de lijnen `AG` en `BH`.
    4. Bereken de hoek waaronder de lijnen `AG` en `BH` elkaar snijden.


11. Bekijk de afgeknotte regelmatige vierzijdige piramide uit de voorgaande opgave nog eens.
    1. Bereken de afstand van punt `O` tot lijn `AE`.
    2. Bereken de afstand van punt `B` tot lijn `AE`.


12. De punten `A(4, 0, 0), B(4, 3, 0), C(0, 3, 0), D(0, 0, 5), E(4, 0, 4)` en `G(0, 3, 3)` bepalen een afgeknotte balk `OABC.DEFG`.
    1. Welke coördinaten moet punt `F` hebben? Licht je antwoord toe.
    2. Bereken de hoeken van vierhoek `DEFG`.
    3. Bereken het snijpunt van de lijnen `DF` en `OB`.
    4. Bereken de afstand van punt `F` tot lijn `DE`.
    5. Bereken de oppervlakte van vierhoek `DEFG`.

Testen

13. De zeshoekige piramide `T.ABCDEF` wordt gegeven door `A(5, 1, 0), B(5, 3, 0), C(3, 5, 0), D(1, 5, 0), E(1, 3, 0), F(3, 1, 0)` en `T(3, 3, 4)`.
    1. Stel van de lijnen `AT` en `CT` een vectorvoorstelling op.
    2. Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder `AT` en `CT` elkaar snijden.
    3. Bereken het snijpunt van de lijnen `CE` en `AF`.
    4. Bereken de afstand van punt `A` tot lijn `DT`.