Lijnen en hoeken

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en hoeken > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en hoeken > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
   1. Waarom is `((x),(y))=((0),(2))+p*((4),(2))` ook een vectorvoorstelling van de getekende lijn?
   2. En is `((x),(y))=((-2),(1))+q*((2),(1))` ook een geschikte vectorvoorstelling? Licht je antwoord toe.
   3. Hoe bepaal je vanuit een richtingsvector van de lijn de richtingscoëfficiënt?
   4. Laat zien, hoe je nu een vergelijking van de lijn opstelt.
   5. Wat is een normaalvector van de lijn? Ga met behulp van het inproduct na, dat een normaalvector en een richtingsvector van deze lijn loodrecht op elkaar staan.
   6. Hoe kun je de normaalvector gebruiken om snel van een vergelijking een vectorvoorstelling te maken en omgekeerd?


2. Bekijk de Uitleg, pagina 2. Bekijk wat precies onder de hoek tussen twee lijnen wordt verstaan.
   1. Bereken de hoek tussen `l: ((x),(y))=((-2),(1))+p*((3),(1))` en `m: ((x),(y))=((0),(-1))+q*((2),(-1))`.
   2. Door de applet anders in te stellen kun je de hoek tussen andere lijnen maken. Bereken een paar keer die hoek en controleer je antwoord met de applet.
   3. Welke lijn door het punt `(1,2)` is een normaal van `l: ((x),(y))=((-2),(-1))+p*((3),(1))`?
   4. Hoe kun je met behulp van de normaalvector van `l` snel een vergelijking van `l` maken?
   5. Hoe maak je vanuit een gegeven vergelijking van een lijn snel een vectorvoorstelling?
3. Laat zien dat `vecr=((r_x),(r_y))` en `vecn=((r_y),(-r_x))` loodrecht op elkaar staan. Hoe kom je met behulp hiervan snel aan een normaalvector van een lijn waarvan een vectorvoorstelling is gegeven?
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Vectormeetkunde > Lijnen en hoeken > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je een vectorvoorstelling maakt van een lijn door twee gegeven punten en daar dan weer een vergelijking van de lijn bij kunt maken.
   1. Loop zelf de berekeningen nauwkeurig na.
   2. Maak een vectorvoorstelling en een vergelijking van de lijn door `R(-4, 1)` en `S(2, -1)`.
   3. Stel een vectorvoorstelling en een vergelijking op de van de lijn door `A(-3, 0)` en `B(2, 5)`.


5. Gegeven is de lijn `l` met vergelijking `4x+3y=6`.
   1. Bepaal twee punten op deze lijn en stel met behulp daarvan een bijpassende vectorvoorstelling op.
   2. Bepaal vanuit de gegeven vergelijking de richtingscoëfficiënt en laat zien dat die past bij de in a) gevonden richtingsvector.
   3. Je kunt de vectorvoorstelling van `l` ook opstellen door (bijvoorbeeld) `y=p` te kiezen en dan de bijbehorende `x`-waarde in `p` uit te drukken. Probeer ook op deze manier een vectorvoorstelling van `l` te maken. Ga na, dat deze vectorvoorstelling overeen komt met die in a).
   4. Tenslotte kun je snel een vectorvoorstelling maken vanuit de normaalvector van deze lijn. Doe het ook nog eens op deze manier.


6. In Voorbeeld 2 kun je met behulp van de applet de hoek tussen twee gegeven lijnen bepalen. Je kunt deze hoek ook berekenen vanuit de richtingsvectoren van de lijnen.
   1. Waarmee moet je dan rekening houden?
   2. Loop de berekeningen zelf na.
   3. Maak met de applet twee andere lijnen (je kunt `A` en `B` verplaatsen en `P` en `Q` langs de assen schuiven). Controleer met een berekening telkens de hoek tussen beide lijnen.


7. In Voorbeeld 3 worden de snijpunten van een lijn en een cirkel berekend. In de uitwerking wordt een vectorvoorstelling van de lijn gebruikt.
   1. Voer zelf de berekening uit.
   Je hebt nu een vectorvoorstelling van lijn `PQ`. Een willekeurig punt op deze lijn is daarom `(x, y)=(–2+2t, 3–t)`.
   2. Bekijk nu de lijn `OM` en maak er een vectorvoorstelling van. Denk er om dat je niet weer de letter `t` als variabele neemt! Bepaal een willekeurig punt op `OM`.
   3. Bereken het snijpunt van `PQ` en `OM`.


8. In Voorbeeld 4 zie je hoe je een vergelijking van een raaklijn aan een cirkel in een punt op de cirkel kunt opstellen. Verplaats `P` naar `(2, 4)` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel `(x-1)^2+(y-2)^2=5` in dit punt `P`. Controleer je antwoord met de applet.
   

Verwerken

9. Maak bij de volgende lijnen een passende vectorvoorstelling:
   1. de lijn `l` door `P(-20, 45)` en `Q(30, 15)`;
   2. de lijn `m` met vergelijking `2x-5y=10`;
   3. de lijn `n` door `P(-20, 45)` en loodrecht op `m`;
   4. de `x`-as;
   5. de `y`-as.


10. Gegeven zijn de lijnen `l` door `A(30, 0)` en `B(0, 20)` en `m: x-y=50`.
    1. Stel van beide lijnen een vectorvoorstelling op.
    2. Bereken de hoek die beide lijnen met elkaar maken.


11. De cirkel `c` met middelpunt `M(2, 1)` en straal `sqrt(10)` snijdt van de lijn `l` door `P(-3, 4)` en `Q(7, -6)` het lijnstuk `AB` af. De raaklijnen in `A` en `B` aan de cirkel snijden elkaar in punt `S`.
    1. Bereken de grootte van hoek `ASB` in graden nauwkeurig.
    2. Bereken de oppervlakte van `Delta ABS`.


12. Bereken de afstand van `P(2, 10)` tot `l: x+2y=8` in twee decimalen nauwkeurig.
    


13. Door de assen verstandig te kiezen kun je elke driehoek `ABC` beschrijven met de hoekpunten `A(a, 0), B(b, 0)` en `C(0, c)`. Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn door een hoekpunt loodrecht op de tegenoverliggende zijde. Toon aan dat alle drie de hoogtelijnen door één punt gaan. Druk de coördinaten van dit punt uit in `a`, `b` en `c`.
    


14. Bewijs met behulp van het inproduct dat een gelijkbenige driehoek twee gelijke basishoeken heeft. Kies daartoe (net als in de vorige opgave) een handig assenstelsel waarin de coördinaten van de hoekpunten eenvoudig worden, maar wel kunnen variëren.
    

Testen

15. Gegeven de lijnen `l` door `A(-3, 2)` en `B(5, 1)` en `m` met vergelijking `x+2y=24`.
    1. Stel van beide lijnen een vectorvoorstelling op.
    2. Bereken het snijpunt van beide lijnen.
    3. Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder beide lijnen elkaar snijden.


16. Door de assen verstandig te kiezen kun je elke driehoek `ABC` beschrijven met de hoekpunten `A(a, 0)`, `B(b, 0)` en `C(0, c)`. Een middelloodlijn in een driehoek is een lijn door het midden van een zijde en loodrecht op die zijde.
    1. Toon aan dat alle drie de middelloodlijnen door één punt gaan. Druk de coördinaten van dit punt uit in `a, b` en `c`.
    2. Toon aan dat dit snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt is van een cirkel door de drie hoekpunten van de driehoek.