Totaalbeeld

Samenvatten

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Totaalbeeld > Samenvatten

Je hebt nu het onderwerp Analytische Meetkunde doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan...
Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je er mee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

11. cartetisch coördinatenstelsel — midden van een lijnstuk — lengte van een lijnstuk
12. vergelijking van een (rechte of kromme) lijn
13. vergelijking cirkel
14. snijpunten — stelsel vergelijkingen — strijdig stelsel
15. richtingscoëfficiënt en hellingshoek — hoek van twee lijnen — loodrechte stand
16. afstand

11. een cartesisch assenstelsel invoeren — het midden en de lengte van een lijnstuk berekenen
12. vergelijkingen van rechte lijnen opstellen
13. vergelijkingen van cirkels opstellen
14. snijpunten berekenen, vooral van lijnen en lijnen en cirkels
15. de hellingshoek van een rechte lijn berekenen — de hoek tussen twee lijnen berekenen — onderzoeken of twee lijnen loodrecht op elkaar staan — de vergelijking van een lijn loodrecht op een gegeven lijn opstellen
16. afstand tussen twee punten berekenen — afstand van een punt tot een lijn berekenen.

Achtergronden

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Totaalbeeld > Achtergronden

Testen

Opgaven

1. Gegeven zijn de lijn ${\displaystyle l:5x-4y=40}$ en de punten ${\displaystyle A(12,3)}$ en ${\displaystyle B(2,-2)}$.
   1. De lijn door de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is lijn ${\displaystyle m}$. Bereken de exacte coördinaten van het snijpunt van de lijnen ${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle m}$.
   2. Stel een vergelijking op van de lijn ${\displaystyle p}$ door het midden van lijnstuk ${\displaystyle AB}$ die loodrecht op lijn ${\displaystyle m}$ staat.
   3. Bereken de exacte coördinaten van het snijpunt ${\displaystyle C}$ van ${\displaystyle p}$ en lijn ${\displaystyle l}$.
   4. Bereken de oppervlakte van driehoek ${\displaystyle ABC}$.
   5. Bereken de afstand van punt ${\displaystyle O}$ tot de lijn ${\displaystyle l}$.
   6. Bereken de afstand van punt ${\displaystyle A}$ tot de lijn ${\displaystyle l}$.


2. Stel in de volgende gevallen een vergelijking op van de beschreven lijn of cirkel:
   1. de lijn ${\displaystyle l}$ door de punten ${\displaystyle A(-22,105)}$ en ${\displaystyle B(58,65)}$
   2. de lijn ${\displaystyle m}$ door ${\displaystyle C(24,0)}$ en loodrecht op ${\displaystyle l}$
   3. de cirkel ${\displaystyle c_1}$ door ${\displaystyle C}$ met middelpunt ${\displaystyle M(20,3)}$
   4. de lijn ${\displaystyle n}$ door de snijpunten van de cirkels ${\displaystyle c_1}$ en ${\displaystyle c_2}$: ${\displaystyle {(x-24)}^2+y^2=2}$
   5. de cirkel ${\displaystyle c_3}$ door de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ met het middelpunt op lijn ${\displaystyle l}$


3. In een cartesisch ${\displaystyle Oxy}$-assenstelsel zijn er twee cirkels met straal ${\displaystyle \sqrt{13}}$ die door de punten ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle A(0,6)}$ gaan. Stel de vergelijkingen van deze cirkels op.
   


4. Bereken de hoeken van ${\displaystyle \Delta ABC}$ met ${\displaystyle A(15,21)}$, ${\displaystyle B(29,28)}$ en ${\displaystyle C(25,40)}$.
   


5. Gegeven is de lijn ${\displaystyle l:4x-15y=30}$ en punt ${\displaystyle P(0,12)}$.
   1. Stel een vergelijking op van de lijn ${\displaystyle m}$ door ${\displaystyle P}$ en loodrecht op ${\displaystyle l}$.
   2. Bereken het snijpunt ${\displaystyle S}$ van ${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle m}$.
   3. Bereken de afstand van ${\displaystyle P}$ tot lijn ${\displaystyle l}$.
   4. Stel een vergelijking op van de cirkel ${\displaystyle c}$ met middelpunt ${\displaystyle P}$ en door ${\displaystyle S}$.
   5. Waarom hebben cirkel ${\displaystyle c}$ en lijn ${\displaystyle l}$ precies één snijpunt?

Toepassen

6. Een fles cola kost € 0,95 en een fles sinas kost € 1,20. Je hebt € 80,- tot je beschikking om minstens 75 flessen cola en/of sinas te kopen. Als je het aantal flessen cola ${\displaystyle x}$ en het aantal flessen sinas ${\displaystyle y}$ noemt, dan kun je alle mogelijke combinaties ${\displaystyle (x,y)}$ in een assenstelsel aangeven. Doe dat en schrijf de bijbehorende berekeningen op.
   


7. Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn die door een hoekpunt gaat en loodrecht staat op de zijde tegenover dat hoekpunt.In elke driehoek ${\displaystyle ABC}$ gaan de drie hoogtelijnen door één punt. Deze stelling kun je met analytische meetkunde als volgt bewijzen: Kies het assenstelsel zo, dat ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ op de ${\displaystyle x}$-as liggen en dat ${\displaystyle C}$ op de ${\displaystyle y}$-as ligt. Dus ${\displaystyle A(a,0)}$, ${\displaystyle B(b,0)}$ en ${\displaystyle C(0,c)}$.
   1. Welke vergelijking heeft de hoogtelijn door ${\displaystyle C}$ nu?
   2. Stel een vergelijking op van de hoogtelijn door ${\displaystyle A}$ en stel een vergelijking op van de hoogtelijn door ${\displaystyle B}$.
   3. Toon nu aan dat alle drie de hoogtelijnen door hetzelfde punt gaan.


8. Een middelloodlijn van een lijnstuk ${\displaystyle AB}$ is een lijn die door het midden van ${\displaystyle AB}$ gaat en er loodrecht op staat. Een manier om zo’n middelloodlijn te construeren is door twee even grote cirkels om ${\displaystyle A}$ en om ${\displaystyle B}$ te tekenen en een lijn te trekken door beide snijpunten van die cirkels. Met analytische meetkunde kun je bewijzen dat je zo inderdaad een middelloodlijn krijgt.
   1. Kies een geschikt assenstelsel. Welke coördinaten geef je ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$?
   2. Stel vergelijkingen op van twee even grote cirkels om ${\displaystyle A}$ en om ${\displaystyle B}$.
   3. Hoe maak je nu het bewijs af?


9. De drie middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt. Dit punt is het middelpunt van de cirkel die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat. Deze stellingen kun je met analytische meetkunde bewijzen. Doe dit door een geschikt assenstelsel te kiezen.
   


10. Hoe kun je het resultaat van de vorige opgave gebruiken om de vergelijking op te stellen van een cirkel door drie gegeven punten?
    1. Beschrijf de rekenprocedure die je dan moet volgen.
    2. Stel een vergelijking op van de cirkel door ${\displaystyle (4,0)}$, ${\displaystyle (6,4)}$ en ${\displaystyle (0,4)}$.


11. Deze opdracht is echt bedoeld voor wie goed met variabelen kan rekenen.
    Bewijs dat de afstand ${\displaystyle d(P,l)}$ van punt ${\displaystyle P}$ tot lijn ${\displaystyle l:ax+by=c}$ gelijk is aan: ${\displaystyle d(P,l)=\frac{|ap+bq-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.