Hoeken

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Hoeken > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Hoeken > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bestudeer de Uitleg, pagina 1.
    1. Bereken op dezelfde manier de hoek tussen `l: y = 0,5x` en `k: x - 3y = 6`.
    2. Bereken op dezelfde manier de hoek tussen `l: y = 0,5x` en `k: x + 3y = 6`.

  2. Moet je bij het berekenen van de hoek tussen twee lijnen altijd de twee hellingshoeken van elkaar aftrekken?

  3. In Uitleg, pagina 2 zie je wanneer twee lijnen loodrecht op elkaar staan. Toon nu zelf aan dat de lijnen `p: y = 0,25x` en `q: y = -4x + 3` loodrecht op elkaar staan.

  4. Welk hellingsgetal heeft de lijn die loodrecht staat op `k: 2x - 5y = 10`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Hoeken > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bereken nu zelf de hoeken van de gegeven driehoek `ABC` in Voorbeeld 1.

  2. Oefen als dat nodig is met andere driehoeken door in de applet de hoekpunten te verplaatsen.

  3. Ga na hoe in Voorbeeld 2 wordt aangetoond dat een hoek recht is. Oefen als dat nodig is andere situaties door de hoekpunten te verplaatsen.

  4. Toon aan dat lijn `l` door `O(0, 0)` en `P(2, 5)` loodrecht staat op lijn `m` door `P` en `Q(7, 3)`.

  5. Bekijk in Voorbeeld 3 hoe je een vergelijking opstelt van een lijn door een gegeven punt die loodrecht staat op een gegeven lijn.
    Gegeven is de lijn `p: 3x - 4y = 12`.Stel een vergelijking op van de lijn `q` door `O(0, 0)` en loodrecht op `p`.

  6. Gegeven de punten `A(-2, 5)`, `B(8, 0)` en `C(2, 1)`. Stel een vergelijking op van de lijn door `C` die loodrecht staat op lijn `AB`.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Hoeken > GeoGebra V

Je ziet in dit practicum hoe je hoeken kunt laten berekenen en tonen door GeoGebra. Bedenk wel dat je de berekeningen ook met de hand moet kunnen uitvoeren.

Verwerken

  1. Bereken de hoek tussen de lijnen `l` en `m` in de volgende gevallen:
    1. `l: y = -3x + 2` en `m: 4x - 2y = 9`
    2. `l: x + y = 6` en `m: 3x + 4y = 8`
    3. `l: 7x - 3y = 42` en `m: 3x + 7y = 35`

  2. Stel een vergelijking op van de lijn door `P(120,31)` die loodrecht staat op de lijn met vergelijking `25x - 40y = 167`.

  3. Een lijn `l` snijdt de `x`-as in `A(3,0)` onder een hoek van 60°. Stel een mogelijke vergelijking op van lijn `l`. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef een verklaring.

  4. Gegeven is driehoek `ABC` door de hoekpunten `A(0, 2)`, `B(5, 4)` en `C(2, 5)`.
    1. Bereken de drie hoeken van deze driehoek in graden nauwkeurig.
    2. Stel een vergelijking op van de lijn `p` door `C` loodrecht op `AB`.
    3. `D` is het snijpunt van lijn `p` met de lijn `AB`. Bereken de coördinaten van `D`.
    4. De lengte van de hoogtelijn `CD` is de hoogte van driehoek `ABC` als `AB` als basis wordt genomen. Bereken de oppervlakte van driehoek `ABC` met behulp van hoogte `CD`.
    5. Je kunt de oppervlakte van driehoek `ABC` wel gemakkelijker vinden. Ga na, dat je dan hetzelfde antwoord vindt.

  5. De middelloodlijn van een lijnstuk `AB` is een lijn door het midden `M` van `AB` die loodrecht op `AB` staat.
    1. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn van lijnstuk `AB` als `A = (1, 5)` en `B = (6, 2)`.
    2. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn van `AB` met `A(a_1, a_2)` en `B(b_1, b_2)`.

  6. Gegeven is de lijn `l: 2x + 5y = 10`. De kortste afstand van de oorsprong `O` van het assenstelsel tot deze lijn `l` kun je als volgt berekenen:
    1. Stel een vergelijking op van de lijn `m` door `O` en loodrecht op `l`.
    2. Bereken het snijpunt `S` van `m` en `l`.
    3. De kortste afstand van `O` tot de lijn `l` is nu `|OS|`. Bereken `|OS|`.
    4. Deze kortste afstand kun je ook met behulp van gelijkvormigheid berekenen. Laat zien hoe.
    5. Leid een formule af voor de afstand van de lijn `ax + by = c` tot `O`.

Testen

  1. Staan de lijnen `p: -30x + 20y = 33` en `q: 2x = 100 - 3y` loodrecht op elkaar?

  2. Stel een vergelijking op van de lijn door `P(12, 44)` die loodrecht staat op de lijn met vergelijking `12x - 36y = 83`.

  3. Gegeven is de cirkel `c` met middelpunt `O(0, 0)` en straal 17. De lijn `l: -3x + 5y = 12` snijdt deze cirkel in de punten `A` en `B`. Bewijs met behulp van analytische meetkunde dat de lijn door `O` en het midden van `AB` loodrecht staat op `l`.