Snijpunten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijpunten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijpunten > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Het is nuttig om alle drie de oplossingsmethoden goed te beheersen, soms is de éne, dan weer de andere handiger.
    1. Bereken de snijpunten van de lijnen `l` en `m` met behulp van de eerste methode. Doe dit algebraïsch.
    2. Bereken de snijpunten van `l` en `m` ook met de tweede methode.
    3. En werk tenslotte de derde methode nog een keer door.

  2. Bereken het snijpunt van `l` en `m` in de volgende gevallen:
    1. `l: 2x - 3y = 6` en `m: x + 4y = 10`
    2. `l: 4x + 12 = 0` en `m: 5x + 2y = 20`

  3. Welke van deze drie methoden werkt het beste als je het snijpunt van de lijnen `p: 5x - 3y = 15` en `q: 2x - 6y = 11` wilt berekenen? Bereken dit snijpunt.

  4. Bereken het snijpunt van `l: 2x + 3y = 6` en `m: y = 4 - 2/3x`. Wat gaat er mis en hoe kun je dit verklaren?

  5. Het snijpunt van twee lijnen bereken je door het stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen.
    1. Hoeveel snijpunten hebben de lijnen `x + 2y = 6` en `2x + 4y = 10`?
    2. Hoeveel snijpunten hebben de lijnen `x + 2y = 6` en `2x + 4y = 12`?
    3. Hoeveel oplossingen kan een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden hebben? Schrijf alle mogelijke situaties op.

  6. In Uitleg, pagina 2 zie je hoe je snijpunten van een lijn en een cirkel berekent. Bereken op dezelfde manier het snijpunt van de cirkel `c` en de lijn `m: 2x - y = 4`. Geef weer benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

  7. Hoeveel gemeenschappelijke punten kunnen een lijn en een cirkel hebben? (Experimenteer met de applet in de Uitleg. Je kunt de straal van de cirkel aanpassen.)

  8. Bereken het snijpunt van `k: y = -0,75x + 6,25` en de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijpunten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 wordt het snijpunt van `l` en `m` berekend door substitutie. Daarbij wordt de vergelijking van `l` herschreven naar `y = ...` Voer deze berekening nog eens uit, maar nu door de vergelijking van `m` te herschrijven en dan in te vullen.

  2. Bereken het snijpunt van `l` en `m` ook met de balansmethode.

  3. Bereken het snijpunt van `l` en `m` in de volgende gevallen:
    1. `l: 2x - 3y = 6` en `m: x + 4y = 10`
    2. `l: 4y = -12` en `m: 5x + 2y = 20`
    3. `l: 2x - 3y = 6` en `m: y = 4 - 2/3 x`

  4. Kijk nog eens naar Voorbeeld 1.
    1. Door `p` te variëren in de applet kun je bekijken wanneer beide lijnen geen snijpunt meer hebben. Bekijk hoe de waarde van `p` waarvoor dit het geval is, wordt berekend.
    2. Gegeven zijn de lijnen `l: x + 5y = 12` en `m_p: px - y = 4`. Voor welke waarde van `p` hebben deze lijnen geen snijpunt?

  5. Bereken de snijpunten van de cirkel `(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 25` met:
    1. de `x`-as
    2. de `y`-as
    3. de lijn `k: x + y = 1`

  6. Voer de berekening van Voorbeeld 2 zelf helemaal uit. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig. Welke betekenis heeft de vergelijking `4x + 6y = 29` in deze berekening?

  7. Gegeven de cirkels `c_1: x^2 + (y - 2)^2 = 9` en `c_2: (x - 2)^2 + y^2 = 9`. De lijn `l` gaat door de middelpunten van beide cirkels.
    1. Bereken de snijpunten van `c_1` en `c_2` in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Bereken de snijpunten van `c_1` met de beide coördinaatassen.
    3. Bereken de snijpunten van `c_1` en `l` in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Lijn `l` heeft in totaal vier snijpunten met beide cirkels. Hoeveel bedraagt de grootste afstand tussen twee van die snijpunten in één decimaal nauwkeurig?

  8. Bekijk Voorbeeld 3. Je moet hiervoor weten hoe je kwadratische vergelijkingen oplost met de `abc`-formule.
    1. Voer nu zelf de berekening van de exacte waarden van `p` waarvoor de lijn de cirkel raakt uit.
    2. Lijnen door `(0,3)` hebben als vergelijking `y = ax + 3`. Voor welke waarden van `a` raken deze lijnen de cirkel `c: x^2 + y^2 = 4`?

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijpunten > GeoGebra IV

Je ziet in dit practicum hoe je coördinaten van snijpunten kunt laten berekenen en tonen door GeoGebra. En je kunt er ook zien hoe je raaklijnen aan een cirkel kunt laten tekenen door het programma. Bedenk wel dat je de berekeningen ook met de hand moet kunnen uitvoeren.

Verwerken

  1. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de snijpunten van:
    1. lijn `l: x + y = 6` en cirkel `c: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10`
    2. lijn `m: 5x - 2y = 10` en lijn `k: 2x = 12 - 3y`
    3. lijn `l: x + y = 6` en parabool `y^2 = 4x`

  2. Voor welke waarde van `a` hebben de lijnen `ax + 4y = 10` en `2x = y + 6` geen snijpunt?

  3. Als je in een cirkel twee lijnen trekt die allebei door het middelpunt `M` gaan, dan vormen de vier snijpunten van die lijnen met de cirkel een rechthoek. Deze stelling kun je met analytische meetkunde bewijzen.
    1. Kies een assenstelsel waarvan `O(0,0)` het middelpunt van de cirkel is en het punt `(1,0)` een punt op de cirkel is. Welke vergelijking heeft de cirkel dan?
    2. De éne lijn door het middelpunt van de cirkel is bijvoorbeeld de `x`-as, de andere is dan `y = ax`. Welke vier snijpunten met de cirkel vind je?
    3. Waarom vormen deze vier punten een rechthoek?
    4. Kun je ook een bewijs geven zonder analytische meetkunde?

  4. Mobiele telefoons hebben soms "geen bereik". Dat betekent dat er geen mast met antenne dicht genoeg in de buurt is om mee in verbinding te kunnen staan. Stel je voor dat zo’n antenne een bereik heeft van 30 km. Op 15 km van de snelweg A1 staat een mast met zo’n antenne. Gedurende hoeveel km op de A1 kun je via die antenne met je mobiele telefoon verbinding maken? Probeer dit met analytische meetkunde op te lossen.

  5. Gelijkzijdige driehoek

    Met een passer kun je gemakkelijk een gelijkzijdige driehoek construeren. Cirkel `AB` om vanuit punt `A` en daarna vanuit punt `B` en markeer één van de twee snijpunten van die cirkels als punt `C`. `Delta ABC` is dan de gewenste gelijkzijdige driehoek. Dit kun je ook met analytische meetkunde doen (en met GeoGebra). Neem een cartesisch `Oxy`-assenstelsel en `A(-a,0)` en `B(a,0)` met `a > 0`.
    1. Cirkel `c_1` heeft middelpunt `A` en straal `AB`. Stel een vergelijking voor `c_1` op.
    2. Cirkel `c_2` heeft middelpunt `B` en straal `AB`. Stel een vergelijking voor `c_2` op.
    3. Bereken de snijpunten van `c_1` en `c_2`.
    4. Noem één van beide snijpunten `C` en laat zien dat de afstanden tussen `A`, `B` en `C` even lang zijn.

Testen

  1. Bereken algebraïsch de snijpunten van:
    1. lijn `l: x + 4y = 12` en lijn `m: 2x - 3y = -20`
    2. lijn `l: x + 4y = 12` en cirkel `c: (x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 34`
    3. de cirkel `c: (x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 34` en de cirkel `k: x^2 + (y - 3)^2 = 13`

  2. Gegeven cirkel `c` met middelpunt `M(2,1)` en straal 4 en lijn `l` door de punten `(0,3)` en `(5,0)`. Bereken de afstand tussen de snijpunten van `l` en `c` in één decimaal nauwkeurig.

  3. Voor welke waarde van `p` hebben de lijnen `2x + 7y = 28` en `px - y = 15` geen snijpunt?