Cirkels

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cirkels > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cirkels > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door

  1. Bestudeer de Uitleg.
    1. Controleer dat de punten `(1,3), (4,0), (7,3)` en `(4,6)` inderdaad voldoen aan de gevonden formule voor de cirkel.
    2. Hoe kun je nagaan of het punt `(6 1/2 ,1)` binnen of buiten de gegeven cirkel ligt?
    3. Experimenteer met de applet. Pas de straal van de cirkel aan en verplaats het middelpunt. Bekijk hoe de vergelijking verandert.

  2. Gebruik eventueel nog een keer de applet in de Uitleg.
    1. Stel een formule op bij een cirkel om `O(0,0)` en straal 5.
    2. Welke vergelijking hoort bij een cirkel met middelpunt `M(3,1)` en straal 2?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cirkels > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Maak eerst in Voorbeeld 1 de juiste cirkel. Bepaal alle roosterpunten op de cirkel.

  2. Teken in een cartesisch assenstelsel `Oxy` de cirkel met vergelijking `(x-1)^2+(y+2)^2 = 13`. Bepaal alle roosterpunten op deze cirkel.

  3. Waarom liggen op de cirkel met vergelijking `x^2 + y^2 = 7` geen roosterpunten?

  4. Bekijk Voorbeeld 2 en de applet. Stel een vergelijking op van de cirkel `c` met middelpunt `M(3,4)` die gaat door punt `P(-1,7)`. Laat zien dat deze cirkel ook door `O(0,0)` gaat.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cirkels > GeoGebra III


Je ziet in dit practicum nog eens hoe je zelf vergelijkingen kunt invoeren. Dat kun je bij de volgende opgaven goed gebruiken. Bedenk wel dat je de berekeningen ook met de hand moet kunnen uitvoeren.

Verwerken

  1. In een cartesisch assenstelsel `Oxy` zijn gegeven de punten `A(2,0), B(7,3)` en `C(0,5)`. (Maak eventueel een tekening in GeoGebra.)
    1. Stel een vergelijking op van de cirkel door `C` met middelpunt `A`.
    2. Stel een vergelijking op van de cirkel door `B` en `C` waarvan het middelpunt op de lijn `BC` ligt. Onderzoek of deze cirkel ook door `A` gaat.

  2. Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel `Oxy` de punten `P(0,4)` en `Q(4,0)`.
    1. Welk middelpunt heeft de cirkel die door `O`, `P` en `Q` gaat?
    2. Stel een vergelijking van deze cirkel op.
    3. Hoeveel roosterpunten liggen op of binnen deze cirkel?

  3. De lijn met vergelijking `2x + 3y = 6` heeft twee snijpunten met de assen, de punten `A` en `B`. Er is een cirkel door deze twee punten waarvan het middelpunt het midden van lijnstuk `AB` is. Stel een vergelijking van deze cirkel op.

  4. Door de drie hoekpunten van een rechthoekige driehoek kun je altijd een cirkel tekenen waarvan het middelpunt op de schuine zijde ligt. Eén der eersten die dit opmerkte is Thales van Milete (omstreeks 600 v.Chr.).
    1. Kun je met behulp van eenvoudige meetkunde laten zien dat dit voor elke rechthoekige driehoek geldt?
    2. Neem een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van `a` cm en `b` cm. Kies een cartesisch assenstelsel `Oxy` zo, dat `O` het hoekpunt met de rechte hoek is en de rechthoekszijden langs de assen liggen. Toon nu aan dat deze rechthoekige driehoek de genoemde eigenschap heeft.

  5. Een manier om een parabool te tekenen kun je zien bij Totaalbeeld > Toepassingen: Parabool. De parabool bestaat uit punten `P(x,y)` die een gelijke afstand hebben tot het gegeven punt `F(0,2)` en de `x`-as. De afstand tot de `x`-as is de `y`-waarde van `P` en de afstand tot punt `F` kun berekenen met de afstandsformule uit par.1.
    1. Laat zien dat de parabool kan worden beschreven door `4y = x^2 + 4`.
    2. Schrijf je de vergelijking van de parabool in de vorm `y =` … dan kun je hem in je grafische rekenmachine invoeren. Ga na, dat je dezelfde figuur krijgt als in de applet.
    3. Welke vergelijking hoort bij een parabool waarvan alle punten gelijke afstand hebben tot brandpunt `B(2,0)` en de `y`-as?
    4. Wat gebeurt er met de parabool als je in de vergelijking `x` en `y` omwisselt?

  6. Je kunt in GeoGebra figuren tekenen en het programma geeft de bijbehorende vergelijkingen. Je kunt er ook (kwadratische) vergelijkingen invoeren door intikken op de onderbalk, het programma geeft dan de bijbehorende kromme of rechte. Doe dit met de volgende vergelijkingen. Probeer achteraf te verklaren waarom die kromme of rechte ontstaat.
    1. `2(x + y) = 5`
    2. `6 - 2x = 0`
    3. `x^2 + y^2 = 10`
    4. `x^2 - y^2 = 0`
    5. `(x - 3)(y - 5) = 0`
    6. `4x = y^2`
    7. `(x - 2y)^2 = 9`
    8. `xy = 12`

Testen

  1. Gegeven is de cirkel `c` met `(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13`.
    1. Bepaal middelpunt en straal van deze cirkel.
    2. Toon aan dat `A(5,1)` op deze cirkel ligt.
    3. Toon aan dat `B(1,3)` buiten cirkel `c` ligt.

  2. Stel een vergelijking op van de cirkel door de punten `A(1,0)` en `B(5,0)` waarvan het middelpunt op de lijn `y = 4` ligt. Bepaal alle roosterpunten van deze cirkel.