Cartesische coördinaten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cartesische coördinaten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cartesische coördinaten > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bekijk de Uitleg. Het begrip cartesisch coördinatenstelsel wordt daar ingevoerd.
    1. Waarom is het in de meetkunde van belang dat beide assen loodrecht op elkaar staan en dezelfde schaalverdeling hebben?
    2. Maak in de applet `A(1,3)` en `B(4,1)`.
    3. Bereken de lengte van `AB`.
    4. Bereken de coördinaten van `M`.

  2. Neem in de applet `A(-1,3)` en `B(1,4)`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB` en de coördinaten van het midden `M` van `AB`.

  3. Neem `A(-10,33)` en `B(20,45)`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB` en de coördinaten van het midden `M` van `AB`.

  4. Ga uit van `A(x_A , y_A)` en `B(x_B, y_B)`.
    1. Bereken de lengte van lijnstuk `AB`. Laat zien hoe je de coördinaten van `A` en `B` daarbij gebruikt.
    2. Bereken de coördinaten van het midden `M` van lijnstuk `AB`. Laat ook nu zien hoe je daarbij de coördinaten van `A` en `B` gebruikt.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cartesische coördinaten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 bereken je het midden en de lengte van `AB` met behulp van de formules in de Theorie. Vervolgens moet je nog aantonen dat `MA` en `MB` even lang zijn.
    1. Voer zelf de berekening van `|MB|` uit.
    2. Neem vervolgens `A(-50,120)` en `B(80,-60)` en laat opnieuw zien dat `|MA| = |MB|` als `M` het midden van `AB` is.

  2. Neem nu `A(x_A,y_A)` en `B(x_B, y_B)`.
    1. Bewijs de formule voor het midden van `AB` uit de Theorie met behulp van twee gelijke driehoeken.
    2. Bewijs de formule voor de lengte van `AB` uit de Theorie met behulp van de stelling van Pythagoras.

  3. Neem een vast punt `A` en een variabel punt `P` dat over een rechte lijn `l` loopt. `M` is het midden van `AP`. Punt `M` lijkt over een rechte lijn te lopen evenwijdig aan `l`. Toon aan dat dit inderdaad het geval is, bekijk eventueel Voorbeeld 2.

  4. Teken in een cartesisch assenstelsel `Oxy` de punten `A(-3,6)`, `B(6,0)` en `C(18,18)`.
    1. Bereken de lengtes van `AB`, `BC` en `AC`.
    2. Hoe kun je met behulp hiervan bewijzen dat driehoek `ABC` rechthoekig is?
    3. `D`, `E`, en `F` zijn de middens van de zijden van driehoek `ABC`. Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek `DEF`.
    4. Bewijs dat ook driehoek `DEF` rechthoekig is.

  5. Terug naar de schat. Je ziet in de applet van het schatgravers probleem in Voorbeeld 3 dat het bewegen van punt `E` geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt `S`. Neem nu voor de oude eik het punt `E(-x,y)` en toon door berekening aan dat de schat – het punt `S` – niet verandert.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Analytische Meetkunde > Cartesische coördinaten > GeoGebra I

Download nu het gratis programma GeoGebra. Hiermee zijn de applets waarmee je hebt gewerkt gemaakt. Je kunt met GeoGebra ook zelf vrij gemakkelijk constructies maken. Construeer het schatgravers probleem met behulp van de tweede pagina van het practicum. Je leert zo constructies in GeoGebra maken.

Verwerken

  1. Gegeven zijn de punten `A(-11,23)` en `B(106,133)`.
    1. Bereken `|AB|` en het midden `M` van `AB`` .
    2. `B` is het midden van lijnstuk `AC`. Bereken de coördinaten van `C`.

  2. De vierhoek `ABCD` met hoekpunten `A(6,0)`, `B(10,8)`, `C(6,10)` en `D(2,2)` is een rechthoek.
    1. Toon dit door berekening aan.
    2. Bepaal de coördinaten van het snijpunt `S` van de diagonalen van rechthoek `ABCD`.
    3. Bereken de oppervlakte van driehoek `ABS`.

  3. Ga uit van de vlieger `PQRS` in de figuur hiernaast. De middens van de zijden van deze vlieger `PQRS` vormen een rechthoek (zoals trouwens voor elke vlieger het geval is). Dat kun je met behulp van analytische meetkunde aantonen.
    1. Doe eerst zelf eens een poging. De rest van de opgave kun je dan overslaan als dit lukt. Je kunt ook even nagaan of je het op dezelfde manier hebt gedaan. Bedenk eerst even wat een vlieger ook alweer precies is.
    2. Teken een cartesisch assenstelsel met `O` op het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. De assen kies je precies langs de diagonalen, waarom kan dat eigenlijk?
    3. Nu zijn de hoekpunten `P(-3,0)`, `Q(0,-4)`, `R(3,0)` en `S(0,2)`. Bereken de middens `A`, `B`, `C` en `D` van de zijden.
    4. Hoe toon je nu aan dat `ABCD` een rechthoek is?

  4. Twee schepen op zee varen een onderling loodrechte koers. Die twee koersen kun je aangeven met lijnen die zich in `S` snijden. Het éne schip vaart met een snelheid van 20 km per uur en is nog 80 km van `S` verwijderd. Het andere schip vaart met 10 km per uur en is nog 60 km van `S` af.
    Hoe groot is hun kleinste onderlinge afstand?

Testen

  1. Gegeven zijn de punten `P(-120,-35)` en `Q(0,12)`.
    1. Bereken de lengte van `PQ` in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Bereken de afstand van het midden van `PQ` tot de oorsprong van assenstelsel.

  2. Als je in een gelijkbenige driehoek `ABC` met twee benen `AC` en `BC` van 5 cm en `AB=6` cm het midden `P` van `AC` met `B` en het midden `Q` van `BC` met `A` verbindt, krijg je twee lijnstukken die elkaar snijden in punt `S`. Nu geldt `|AS|:|SQ|=|BS|:|BP|=2:1`.
    1. Toon dit aan met behulp van een goed gekozen cartesisch assenstelsel en rekenen met coördinaten.
    2. Toon dit ook aan voor een gelijkbenige driehoek met benen `AC` en `BC` en met hoogte `|CD|=h` cm en `|AB|=2c` cm.