Discrete dynamische modellen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Modelleren > Discrete dynamische modellen > Discrete dynamische modellen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. Experimenteer met beide griepmodellen door in de Excel-bestanden waarden aan te passen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Modelleren > Discrete dynamische modellen > Discrete dynamische modellen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1. Het eenvoudige griepmodel wordt er in beschreven.
   1. Beschrijf de drie modelformules in woorden. Vertel ook hoe groot in dit model de kans is dat een zieke iemand anders ziek maakt. Leg zo uit hoe het model in elkaar zit.
   2. Welke startwaarden zijn er aangenomen? Kennelijk is dit model alleen enigszins bruikbaar als er al zieken zijn. Waaraan zie je dat?
   3. Reken met de modelformules het aantal zieken, gezonden en immune personen op `t=1` en `t=2` handmatig na.
   4. Wat voor invloed heeft het verkleinen van het aantal gezonden op `t=0` op de grafiek van het aantal zieken?
   5. Probeer eerst zelf even te bedenken hoe je het model zou moeten aanpassen om het realistischer te maken.


2. Bekijk nu het verbeterde griepmodel in de Uitleg, pagina 2.
   1. Je ziet nu dat de kans dat iemand ziek wordt niet alleen afhangt van het aantal zieken, maar ook van het aantal gezonden. Waarom is dat zo?
   2. En hoe zit het in dit model met het aantal zieken dat weer beter wordt?
   3. Er zijn in dit model drie startwaarden: het totaal aantal mensen, het aantal zieken op `t = 0` en het aantal immune personen op `t=0`. Beschrijf wat een verandering van elk van deze startwaarden doet met het verloop van het ziektebeeld.
   4. Er zijn ook drie kansen die een rol spelen. Beschrijf bij elk van die kansen welke betekenis ze hebben.
      Leg uit welke invloed een aanpassing van één van die kansen op het ziektebeeld heeft.
   5. Zoek op internet (bijvoorbeeld via de site van De Grote Griepmeting) naar actuele informatie. Bekijk hoe goed dit model bij die gegevens past. Kun je nog zaken bijstellen?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Modelleren > Discrete dynamische modellen > Discrete dynamische modellen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In de Theorie worden de belangrijkste aspecten van een discreet dynamisch model op een rijtje gezet.
   1. Waarom heet zo'n model "dynamisch"? Geef een voorbeeld van een niet-dynamisch model.
   2. Waarom heet zo'n model "discreet"?
   3. Wat is het verschil tussen de variabelen van het model en de parameters? Welke variabelen kent het griepmodel? En welke parameters?


4. In Voorbeeld 1 wordt beschreven hoe het water van een groot zwembad wordt ververst omdat de chloorconcentratie te hoog is. Hier dient een discreet dynamisch model als benadering van het voortdurende verversingsproces (uitstromen van vuil water en instromen van schoon water).
   1. Waarom is dit eigenlijk geen discreet model?
   2. Stel je kijkt om het uur naar het verversingsproces. Leg uit waarom er het eerste uur 60 liter chloor verdwijnt. En verklaar waarom er het tweede uur 56,4 liter chloor verdwijnt.
   3. Leg uit waarom `Delta C(t) = -0,060 * C(t)`.
   4. Welke modelformule geldt dus voor de chloorconcentratie als je tijdstappen hanteert van `Delta t = 1` uur?
   5. Maak nu zelf een tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste vier uur.
   6. Gebruik het Excel-bestand uit het voorbeeld. Na hoeveel uur is de chloorconcentratie gehalveerd?
   7. Je kunt op het werkblad de chloorconcentratie aanpassen. Wat gebeurt er als die concentratie 2 keer zo groot wordt?


5. Bekijk opnieuw het verversen van water in een zwembad uit Voorbeeld 1. Neem nu als stapgrootte 1 minuut.
   1. Hoeveel chloor verdwijnt er de eerste minuut? En de tweede minuut?
   2. Hoe ziet je modelvergelijking er in deze situatie uit?
   3. Maak een nieuwe tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste 5 minuten.
   4. Maak zelf een Excel-werkblad voor deze situatie. Na hoeveel uur is de chloorconcentratie gehalveerd?


6. In Voorbeeld 2 wordt het afkoelingsproces van kokend water beschreven.
   1. Klik niet meteen op antwoord! Probeer eerst zelf te beschrijven hoe het afkoelingsproces verloopt. Misschien ben je in de gelegenheid om metingen te verrichten aan het afkoelen van kokend water.
   2. Met welke starttemperatuur heb je te maken? Wat is de "eindtemperatuur"?
   3. Bekijk het antwoord en vooral het Excel-werkblad. Ga er van uit dat je stapgrootte 1 minuut is. Leid de bijpassende modelformule `T(t+1) = T(t) + c * (T(t) - 20)` af. Verklaar daarbij ook de modelformules in je Excel-werkblad.
   4. Als je metingen hebt kunnen verrichten, dan heb je een tabel waar een grafiek van `T` bij past. Probeer door aanpassen van `c` die grafiek met je Excel-werkblad te benaderen.
   5. Waarvan zal `c` afhangen?
   6. Je kunt (afhankelijk van je metingen) de stapgrootte aanpassen naar bijvoorbeeld 2 minuten. Dan moet wel de factor `c` kleiner worden genomen. Experimenteer daar even mee. Welke waarden voor `c` passen bij deze stapgrootte?
   7. Hoe ziet de modelformule er uit als je een willekeurige tijdstap `Delta t` neemt?


7. In Voorbeeld 3 wordt een migratieproces beschreven.
   1. Klik niet meteen op antwoord! Probeer eerst zelf te beschrijven hoe het migratieproces verloopt. Kun je er een graaf (figuur met pijlen) bij tekenen?
   2. Probeer zelf modelformules af te leiden.
   3. Bekijk het antwoord en vooral het Excel-werkblad. Ga er van uit dat je stapgrootte 1 jaar is. Leid de modelformules die in het voorbeeld staan nu zelf af als je ze nog niet had gevonden.
   4. Waarom kun je in dit model niet werken met een andere stapgrootte dan 1 jaar?
   5. Welk evenwicht lijkt er te gaan ontstaan?
   6. In de tekst van het antwoord staat dat je ook met één modelformule zou kunnen werken voor dit migratieproces. Welke?
   7. In werkelijkheid moet je ook rekening houden met mensen die buiten de regio toestromen of wegstromen. Kun je een model ontwerpen waarbij je ook daarmee rekening houdt?

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Modelleren > Discrete dynamische modellen > Discrete dynamische modellen > Practicum

Download eventueel het gratis programma PowerSim, de lite-versie en de handleiding. Daarmee kun je zelf dynamische modellen ontwerpen. Een leuke uitdaging en bepaald niet eenvoudig. Dit programma wordt wellicht ook bij andere vakken (biologie, natuurkunde) gebruikt.

Verwerken

8. Als je een kop koffie haalt uit een koffiezetter, dan is de koffie meestal gloeiend heet. Neem aan dat de koffie dan 90°C is.
   Breng je die koffie in een kamer met een binnentemperatuur van 20°C, dan gaat hij afkoelen: de temperatuurafname van de koffie is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving.
   Gebruik voor de tijd (in minuten) de variabele `t` en voor de temperatuur van de koffie (in °C) de variabele `T`. Neem om te beginnen een stapgrootte van `Delta t = 1` minuut.
   1. Stel een passende modelformule op; `c` is de evenredigheidsconstante.
   Neem `c = 0,1`.
   2. Benader vervolgens de temperatuur na 1 minuut, na 2 minuten, na 3 minuten, enzovoorts. Teken een bijpassende grafiek.
   3. Na hoeveel minuten is de temperatuur van de koffie 50°C?
   4. Eigenlijk verandert de temperatuur van de koffie voortdurend, net als het temperatuursverschil met de omgeving. Stel een modelformule op voor willekeurige stapgrootte `Delta t`.
   5. Neem nu `Delta t = 0,5` minuten. Na hoeveel minuten wordt nu de temperatuur van 50°C bereikt?


9. Als het licht door een bepaald materiaal (bijvoorbeeld een glasplaat) gaat, neemt de intensiteit ervan voortdurend af. Die afname is recht evenredig met de dikte van de gepasseerde laag materiaal. Noem de intensiteit van het licht `I(d)` waarin `d` de dikte van de gepasseerde laag materiaal is in m. Bekijk eerst wat er gebeurt in stappen van m.
   1. Laat zien, dat dan geldt: `I(d + 1) = I(d) - k * I(d)`, waarin `k` een evenredigheidsconstante is die afhangt van het materiaal.
   2. De tijd speelt hier ogenschijnlijk geen rol, toch is dit een dynamisch model. Licht dit toe.
   3. Neem aan dat `k = 0,2` en `I(0) = 100` en bereken `I(1), I(2), I(3), I(4)` en `I(5)`.
   4. Neem nu een variabele stapgrootte van `Delta d` en ga uit van `k = 0,2` en `I(0) = 100`.


10. Een patiënt krijgt via een infuus een medicijn toegediend met een constante snelheid van 12 mg per uur. Het lichaam breekt dit medicijn af met een snelheid die evenredig is met de hoeveelheid medicijn die in het bloed aanwezig is. Noem de hoeveelheid in het bloed aanwezige medicijn `M(t)`, waarin `t` de tijd in uren is en `M(0) = 0` mg.
    1. Als eerste benadering voor de waarden van `M(t)` kun je dit proces bekijken in stappen van 1 uur. Stel hiervoor een passende modelformule op; de evenredigheidsconstante is `c`.
    2. Laat zien, dat het proces in stappen van `Delta t` uur kan worden beschreven door `M(t + Delta t) = M(t) + (12 - c * M(t)) * Delta t`.
    3. Neem `c = 0,15` en `Delta t = 0,5` uur en bereken de waarden van `M(t)` voor de eerste 10 uur.
    4. Hoeveel medicijn zit er op den duur in het lichaam?

Testen

11. In een tank zit 100 liter water waarin 10 kg zout opgelost is. Op een bepaald ogenblik laat men aan de bovenkant 1 liter zout water per minuut naar binnen lopen. De concentratie van het binnenstromende zoute water is 50 g zout per liter. aan de onderkant van de tank laat men 1 liter per minuut wegstromen. Na 30 minuten worden beide stromen stopgezet.
    1. Stel een modelformule op waarmee je de zoutconcentratie van het water in de tank kunt benaderen.
    2. Benader de zoutconcentratie van het water in de tank na 30 minuten.
    3. Schets de grafiek van de zoutconcentratie van het water in de tijd.