Correlatie

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Hypothesen toetsen en regressie > Correlatie > Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Hypothesen toetsen en regressie > Correlatie > Uitleg

Opgaven

Bekijk dit spreidingsdiagram.
1. Is er op het oog sprake van een goede correlatie tussen `x` en `y`?
2. Schat de correlatiecoëfficiënt.
3. Welke soort formule hoort er bij `y` als functie van `x`?
4. Waarom is de schaalverdeling op de assen niet van belang voor de correlatie?

Op het werkblad LengteGewicht22h4.xls vind je de gegevens van een 4HAVO-klas van 22 leerlingen.
1. Bereken ook het gemiddelde, de standaarddeviatie en de spreidingsbreedte van zowel de lengtes `l` als de gewichten `g`. Gebruik de statistische functies GEMIDDELDE en STDEVP.
2. Is deze steekproef voldoende representatief voor 15-17 jarigen? Motiveer je antwoord.
3. Ga met behulp van normaal waarschijnlijkheidspapier na of de lengtes van de 22 leerlingen in de voorgaande tekst ongeveer normaal verdeeld zijn. Doe dit ook voor de gewichten.
4. Bereken de correlatiecoëfficiënt bij het verband tussen de lengte en het gewicht van de 22 leerlingen. Is er sprake van een goede correlatie tussen `l` en `g`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Hypothesen toetsen en regressie > Correlatie > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

Voer de berekening van de correlatiecoëfficiënt bij de gevevens van de 4HAVO-klas uit Voorbeeld 1 zelf uit met behulp van de grafische rekenmachine.

De inspectie voor het onderwijs vergelijkt van een bepaalde school de cijfers voor wiskunde B van het SE (schoolexamen) en het CE (centraal examen). In de tabel vind je de gegevens van een klas van 19 leerlingen.

leerling	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
SE-cijfer	6,0	6,7	5,8	7,1	5,4	6,5	8,8	6,9	7,9	5,1	6,1	6,1	6,4	7,4	5,9	6,2	7,1	6,8	6,3
CE-cijfer	6,4	6,3	5,2	6,5	5,4	6,1	9,0	6,8	7,5	5,6	6,0	6,5	6,0	6,5	6,0	6,6	7,0	6,6	6,4

Je zou kunnen onderzoeken of er een lineair statistisch verband is tussen het CE-cijfer `c` en het SE-cijfer `s`. Teken een bijpassend spreidingsdiagram en ga door berekening van de correlatiecoëfficiënt na of zo'n verband bestaat.

Verwerken

In de volgende tabel zie je de examenresultaten voor de vakken Physics (natuurkunde) en Mathematics (wiskunde) van 100 studenten van een College in de Verenigde Staten:
1. Onderzoek of de "Physics Grades" normaal zijn verdeeld. Bereken het bijbehorende gemiddelde en de standaarddeviatie.
2. Onderzoek of de "Mathematics Grades" normaal zijn verdeeld. Bereken het bijbehorende gemiddelde en de standaarddeviatie.
3. Waarom kunnen dit alleen geschatte gemiddelden en standaarddeviaties zijn?
4. Kun je bij deze tabel een puntenwolk maken zoals die bij de gegevens over lengte en gewicht in de tekst? Hoe dan?
Er wordt een verband verondersteld tussen het resultaat voor wiskunde `m` en dat voor natuurkunde `p`.
1. Hoe bepaal je in dit geval (een schatting van) de correlatiecoëfficiënt?
2. Bereken nu de (schatting van de) correlatiecoëfficiënt bijvoorbeeld met behulp van Excel. Geef een benadering in twee decimalen nauwkeurig.
3. Is er een duidelijke correlatie tussen `m` en `p`?

De formule voor de correlatiecoëfficiënt is te herschrijven tot:

`r_(xy) = (bar(x * y) - bar(x) * bar(y))/(sigma_x * sigma_y)`

Laat dat zien door in de formule in de tekst de haakjes uit te werken. (Als je de correlatiecoëfficiënt handmatig moet uitrekenen gaat dat met deze formule iets sneller.)

Soms is er wel sprake van een goede correlatie tussen twee statistische variabelen, maar kun je toch je vraagtekens zetten bij het verband tussen beide.
1. In een provincie neemt het aantal ooievaars en het aantal geboorten af. Het spreidingsdiam geeft een statistisch verband te zien. Bestaat er een causaal verband tussen aantal ooievaars en het aantal geboorten?
2. Leg uit waarom er wel een statistisch verband is tusen ijsverkoop en verkoop van zonnebrillen in de zomer maar geen causaal verband.

Om te onderzoeken of er enig verband bestaat tussen de lengte van een vader en die van zijn zoon zijn de lengtes van 12 vaders en die van hun oudste zoons gemeten op het moment dat die zoons volwassen werden. De gegevens staan in deze tabel.

lengte vader `v` in cm 173 168 178 170 180 165 185 175 180 178 183 188

lengte zoon `z` in cm 180 175 180 173 183 175 180 173 188 178 180 185
1. Teken een spreidingsdiagram (een puntenwolk) bij deze gegevens.
2. Bereken de correlatiecoëfficiënt in twee decimalen nauwkeurig.
3. Kun je zeggen dat er een lineair verband bestaat tussen `v` en `z`?

Biologen veronderstellen op grond van metingen dat er bij vliegende dieren een verband bestaat tussen de lichaamslengte `L` (in cm) en de vliegsnelheid `v` (in cm/s).

Vliegsnelheid en lichaamslengte bij verschillende dieren
Soort		Lengte `L` in cm	Vlieg- snelheid `v` in cm/s
1.	Drosophila melanogaster (fruitvlieg)	0,2	190
2.	Tabanus affinis (paardenvlieg)	1,3	660
3.	Archilochus colubris (kolibriesoort)	8,1	1120
4.	Anax sp. (waterjuffer)	8,5	1000
5.	Eptesicus fuscus (grote bruine vleermuis)	11,0	690
6.	Phylloscopus trochilus (fitis)	11,0	1200
7.	Apus apus (gierzwaluw)	17,0	2550
8.	Cypselurus cyanopterus (vliegende vis)	34,0	1560
9.	Numenius phaeopus (regenwulp)	41,0	2320
10.	Anas acuta (pijlstaarteend)	56,0	2280
11.	Olor columbianus bewicki (kleine zwaan)	120,0	1880
12.	Pelecanus onocrotalus (witte pelikaan)	160,0	2280

Maak een spreidingsdiagram met `v` op de verticale en `L` op de horizontale as.
Bereken de correlatiecoëfficiënt. Is er sprake van een duidelijke correlatie? Bestaat er tussen `v` en `L` een verband van de vorm `v = a * L + b`?
Maak een tabel voor `log(L)` en `log(v)` en teken een spreidingsdiagram voor deze twee variabelen.
Bereken de correlatiecoëfficiënt voor de variabelen `log(L)` en `log(v)`.
Er bestaat tussen `L` en `v` dus een verband van de vorm `log(v) = a * log(L) + b`. Laat zien dat dit betekent dat `v` een machtsfunctie is van `L`.

Testen

Iemand probeert aan te tonen dat de klassengrootte van invloed is op de leerprestaties. Zij vergelijkt - onder zoveel mogelijk gelijke omstandigheden - de gemiddelde cijfers voor drie wiskundetoetsen in 10 klassen met uiteenlopende leerlingenaantallen. Hier zie je de verzamelde gegevens.

aantal leerlingen `a` gemiddelde cijfer `c`

30 6,1

25 6,6

32 5,5

24 7,2

18 7,4

19 6,9

30 5,2

22 7,1

29 6,0

14 7,8
1. Maak een spreidingsdiagram met `c` op de verticale en `a` op de horizontale as. Waarom is dit een logische keuze?
2. Bereken de correlatiecoëfficiënt. Is er sprake van een duidelijke correlatie? Bestaat er tussen `a` en `c` een lineair statistisch verband?
3. Welke conclusie zou deze onderzoekster kunnen trekken? Geef daar commentaar op.

In 1947 hielden de wiskundigen Freudenthal en Sittig een statistisch onderzoek ten behoeve van een nieuw maatsysteem voor vrouwenkleding in opdracht van het warenhuis De Bijenkorf. Zij lieten daarbij een grote verscheidenheid aan lichaamsmaten opmeten van 5001 vrouwen. In het bestand StatFS-Bijenkorf1947.xls vind je enkele gegevens. Gebruik de werkbladen "lengte-gewicht", "mouwlengte-kniehoogte" en "voetlengte-breedte".
1. Waarom was De Bijenkorf geïnteresserd in dergelijke gegevens? En waarom zijn eventuele verbanden als die tussen voetlengte en voetbreedte van belang?
2. Op de drie genoemde werkbladen is er sprake van een mogelijk verband tussen twee variabelen. Hoe zou je in dit geval een spreidingsdiagram tekenen?
3. En hoe zou je een correlatiecoëfficiënt berekenen? Waarom is het hier handiger om over de oorspronkelijke ruwe meetgegevens te beschikken?

lengte vader `v` in cm	173	168	178	170	180	165	185	175	180	178	183	188
lengte zoon `z` in cm	180	175	180	173	183	175	180	173	188	178	180	185

aantal leerlingen `a`	gemiddelde cijfer `c`
30	6,1
25	6,6
32	5,5
24	7,2
18	7,4
19	6,9
30	5,2
22	7,1
29	6,0
14	7,8