Stochasten optellen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten optellen > Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten optellen > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk de kansverdelingen in de Uitleg.
   1. Beschrijf hoe de kansverdeling van `X + Y` tot stand is gekomen.
   2. Welke stilzwijgende aanname is daarbij gedaan?


2. In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de verwachtingswaarden en de standaarddeviaties van `X`, `Y` en `X + Y`.
   1. Bereken zelf de verwachtingswaarden van `X`, `Y` en `X + Y` en ga na dat `text(E)(X + Y) = text(E)(X) + text(E)(Y)`.
   2. Bereken zelf de standaarddeviaties van `X`, `Y` en `X + Y` en ga na dat `sigma(X + Y) = sqrt((sigma(X))^2 + (sigma(Y))^2)`.
   3. Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten optellen > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk in Voorbeeld 1 de kansverdelingen van de twee boogschutters.
   1. Controleer de berekende verwachtingswaarden en standaarddeviaties.
   2. Maak zelf een kansverdeling van `X + Y` (een behoorlijk tijdrovende bezigheid). Bereken hiermee `text(E)(X + Y)` en `sigma(X + Y)` en ga na, dat je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.


4. In Voorbeeld 2 worden de kansverdelingen van `X` en `3X` vergeleken.
   1. Hoe ziet de kansverdeling van `3X` er uit (ga hem niet helemaal maken!)?
   2. Hoe kun je nagaan dat `text(E)(3X) = 3 * text(E)(X)` en `text(sigma)(3X) = sqrt(3) * text(sigma)(X)` zonder van de optelregels gebruik te maken?


5. Bekijk de kansverdeling van boogschutter A in Voorbeeld 2 nog eens. Stel je voor dat het aantal punten van elke ring 2 hoger is. De stochast wordt dan `X + 2`.
   1. Waarom is `text(E)(X + 2) = text(E)(X) + 2`?
   2. Waarom is `sigma(X + 2) = sigma(X)`?


6. Iemand gooit met 10 dobbelstenen. Hoeveel ogen verwacht hij in totaal? Met welke standaardafwijking?
   Bestudeer eventueel eerst even Voorbeeld 3.
   

Verwerken

7. Hier zie je twee kansverdelingen. De stochasten `X` en `Y` zijn onafhankelijk van elkaar.
   
   

   xi	0	1		yj	5	10	15
   P(X = xi)	0,15	0,85		P(Y = yj)	0,25	0,40	0,35

   
   
   1. Laat zien, dat `text(E)(X + Y) = text(E)(X) + text(E)(Y)`.
   2. Laat ook zien, dat `sigma(X + Y) = sqrt((sigma(X))^2 + (sigma(Y))^2)`.
   3. Laat zien, dat `text(E)(10X) = 10 * text(E)(X)` en `sigma(10X) = sqrt(10) * sigma(X)`.


8. Gebruik de twee kansverdelingen van de voorgaande opgaven nog eens.
   1. Maak een kansverdeling van `Y - X`.
   2. Laat zien, dat `text(E)(Y - X) = text(E)(Y) - text(E)(X)`.
   3. Laat ook zien, dat `sigma(Y - X) = sqrt((sigma(X))^2 + (sigma(Y))^2)`.



	2e toets
1e toets	5	6	7
4	10	5	0
5	11	5	2
6	8	14	7
7	3	13	12
8	0	4	6

9. Voor een bepaald onderdeel uit het schoolexamen moeten twee practicumtoetsen gemaakt worden. De toetsen zijn op die school door de jaren heen zodanig met elkaar te vergelijken, dat de school van het cijferbeeld betrouwbaar statistisch materiaal heeft verkregen.
   De tabel laat zien dat bijvoorbeeld 13% van alle deelnemers aan beide toetsen voor de eerste toets een 7 haalden en voor de tweede een 6.
   Stochast `A` is het cijfer dat een willekeurige leerling op grond van deze statistiek voor de eerste toets behaalt. Stochast `B` is het cijfer dat diezelfde leerling voor de tweede toets behaalt. Stochast `C = 1/2(A + B)`.
   1. Stel de kansverdelingen voor `A` en `B` op.
   2. Welke betekenis heeft stochast `C`?
   3. Leid de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van stochast `C` af uit die van `A` en `B`.


10. Als je een lot koopt in de staatsloterij is de kans dat er op dat lot een prijs valt 0,14. Stel je voor dat je met een grote groep medeleerlingen tien staatsloten hebt gekocht.
    Op hoeveel loten verwacht je een prijs? Met welke standaardafwijking?
    


11. Stel dat je aan de kruiszijde van een geldstuk iets hebt afgeslepen. De kans op munt is daardoor p geworden. Er wordt met deze munt geworpen. Op de lange duur blijft in ongeveer één op de drie keer gooien munt boven komt.
    1. Je werpt nu 100 keer met dit geldstuk. Hoeveel keer kruis mag je verwachten?
    2. Welke standaardafwijking hoort daar bij?

Testen

12. Als je met twee geldstukken gooit dan kun je 0, 1 of 2 maal kruis gooien.
    1. Bereken de kans op elk aantal. Je mag aannemen dat de munten zuiver zijn.
    2. Bereken met deze kansen de verwachting van het aantal keer kruis.
    3. Bereken met deze kansen de standaardafwijking van het aantal keer kruis.
    4. Bereken het verwachte aantal kruis als je 10 keer gooit met twee geldstukken.
    5. Bereken de standaardafwijking van het verwachte aantal kruis als je 10 keer gooit met twee geldstukken.


13. Je werpt met een zuivere dobbelsteen en een zuivere viervlaksdobbelsteen. `X` is het aantal ogen op de gewone dobbelsteen, `Y` dat op de viervlaksdobbelsteen.
    Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `X + Y`.