Stochasten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten > Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk de kansverdeling van de boogschutter de Uitleg.
   1. Beschrijf hoe deze kansverdeling tot stand is gekomen.
   2. Bereken zelf met de verwachtingswaarde. Beschrijf wat dit getal voor de boogschutter precies betekent.
   3. Deze boogschutter schiet nu 15 keer op de roos. Hoeveel punten verwacht hij te behalen?


2. Bekijk in de Uitleg hoe je de standaardafwijking van de kansverdeling berekent.
   1. Laat zien dat de standaardafwijking van de kansverdeling van de boogschutter ongeveer 2,56 is.
   2. Teken een histogram van deze kansverdeling. Geef zowel de verwachtingswaarde als de standaardafwijking erin aan.
   3. Waarom zal de kansverdeling van een redelijk goede boogschutter niet symmetrisch zijn?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-d > Statistiek en kansrekening > Discrete kansmodellen > Stochasten > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je de berekening van de verwachtingswaarde en de standaardafwijking nog eens uitgewerkt.
   Voor boogschutter B is stochast Y het aantal punten dat hij bij elk schot behaalt.
   
   

   y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   P(Y = y)	0,01	0,02	0,03	0,03	0,04	0,06	0,05	0,11	0,20	0,21	0,24

   
   
   1. Bereken zijn verwachtingswaarde.
   2. Bereken de standaarddeviatie van Y.
   3. Vergelijk de twee frequentieverdelingen van de spelers A en B. Welke van beide is de betere schutter? En hoe zie je dat aan de verwachtingswaarden en de standaarddeviaties?


4. In Voorbeeld 2 zie je de kansverdeling bij het werpen met één dobbelstenen. Je ziet ook de berekening van de verwachtingswaarde en de standaardafwijking met behulp van het statistiekmenu van je grafische rekenmachine.
   1. Voer zelf de kansverdeling in je grafische rekenmachine in.
   2. Controleer de berekende verwachtingswaarde en standaarddeviatie.


5. Bij het werpen met twee dobbelstenen is de kans op het werpen van een 7 veel groter dan het werpen van een 12. In Voorbeeld 3 zie je een bijpassende kansverdeling.
   1. Licht de kansen in deze kansverdeling toe.
   2. Controleer de berekende verwachtingswaarde en standaarddeviatie.
   3. Vergelijk het resultaat met dat uit de voorgaande opgave. Wat valt je op?


6. Bij het kansspel "Chuck-a-luck" wordt met drie dobbelstenen gegooid. Stel dat je speelt op het aantal vijven bij zo'n worp met drie dobbelstenen. Komt er één vijf voor, dan krijg je de inleg terug. Komen er twee vijven voor dan krijg je twee keer je inleg terug en komen er drie vijven voor dan krijg je maar liefst 10 keer je inleg terug.
   Meteen meedoen dus...
   1. Stochast A is het aantal vijven bij het werpen met drie dobbelstenen. Stel een bijbehorende kansverdeling op.
   2. Een andere stochast is de uitbetaling U per ingelegde euro per worp. Stel ook een daarbij passende kansverdeling op.
   3. Welke verwachtingswaarde en welke standaarddeviatie heeft U?
   4. Ga je veel verdienen aan dit spel? Motiveer je antwoord.

Verwerken

7. Je staat met een sleutelbos met zes verschillende sleutels voor een gesloten deur en weet alleen maar dat precies één via sleutels gaat passen, niet welke dat is. Je probeert een sleutel. Als hij past, dan open je de deur. Past hij niet, dan houd je hem apart en probeer je een andere sleutel.
   Noem het aantal sleutels dat je moet proberen totdat de deur open gaat `S`.
   1. Bereken de kans dat de deur pas bij de zesde sleutel opengaat: P(S = 6).
   2. Stel een kansverdeling op voor S.
   3. Hoeveel sleutels verwacht je te moeten proberen?


8. Iemand heeft de tijd (in seconden) gemeten van een groot aantal proefpersonen, die ze nodig hadden om op een foto een bepaald voorwerp te herkennen. De resultaten staan in deze tabel.
   
   

   t	1	2	3	4	5	6	7	8
   P(T = t)	0,04	0,08	0,15	0,28	0,25	0,17	0,02	0,01

   
   De relatieve frequenties kun je opvatten als de kansen dat het voorwerp na zoveel seconden werd gevonden.
   1. Hoe groot is de kans dat het voorwerp door een willekeurige proefpersoon na 3 seconden wordt herkent? Hoe groot is de kans dat hij er langer over doet?
   2. Hoeveel tijd verwacht je dat een proefpersoon nodig heeft om het voorwerp te herkennen? Welke standaardafwijking hoort daar bij?
   3. Hoe groot is de kans dat de herkenningstijd die een proefpersoon nodig heeft meer dan een standaarddeviatie van de verwachtingswaarde afwijkt?


9. De eigenaar van een ijssalon verdient € 300,00 op een mooie dag. Bij minder goed weer heeft hij een verlies van € 60,00. De kans op een mooie dag is 0,3.
   Hoeveel bedraagt de winstverwachting van deze kleine zelfstandige?
   


10. Wat is een redelijke inzet bij een spel waarbij je 1/5 kans hebt op een uitbetaling van € 25,00 en 2/5 kans op een uitbetaling van € 10,00?
    


11. Hoeveel meisjes mag je in een gezin met drie kinderen verwachten, als de kans op de geboorte van een meisje even groot is als die op de geboorte van een jongen?
    


12. Je wilt in een casino meedoen met het volgende spel: Na inzet van 1 euro mag je met drie dobbelstenen werpen. Gooi je één of meer zessen, dan krijg je je inzet terug plus voor iedere zes in de worp 1 euro extra.
    1. Bereken de winstverwachting van dit spel.
    2. Aan een andere tafel wordt hetzelfde spel gespeeld, maar nu met vier dobbelstenen. Ga door berekening na of hierdoor de winstverwachting verandert.


13. In een vaas zitten twee witte en drie rode balletjes. Uit deze vaas worden zonder teruglegging balletjes getrokken, net zolang tot er een wit balletjes wordt gettrokken.
    Wat is de verwachting en de standaarddeviatie van het aantal benodigde trekkingen?
    


14. In een suikerfabriek staan twee machines voor het vullen van pakken suiker. Bij het afstellen op 1 kg blijken beide machines inderdaad pakken te vullen van ongeveer 1 kg, maar er komen toch wel behoorlijke afwijkingen voor. De volgende relatieve frequentieverdeling geeft dat weer:
    
    

    	x	970	980	990	1000	1010	1020	1030
    Machine 1	P(X1 = x)	0,04	0,07	0,12	0,18	0,25	0,29	0,05
    Machine 2	P(X2 = x)	0,00	0,00	0,15	0,30	0,35	0,20	0,00

    
    Deze frequentieverdelingen kun je opvatten als kansverdelingen.
    1. Toon aan dat beide kansverdelingen dezelfde verwachtingswaarde hebben. Hoe groot is die verwachting?
    2. Teken bij beide kansverdelingen een kanshistogram op je grafische rekenmachine.
    3. Welk bezwaar heb je wanneer als maat voor de spreiding het verschil tussen de grootste en kleinste waarde wordt genomen?
    4. Bereken de variantie en de standaarddeviatie voor de stochasten X₁ en X₂ die behoren bij de beide vulmachines.
    5. Hoeveel procent van de pakken suiker wijkt minder dan de standaarddeviatie van het gemiddelde af? Bereken dit percentage voor beide machines afzonderlijk.

Testen

15. Twee op papier even sterke tennissers hebben de finale bereikt van hun clubkampioenschap. Ze moeten onderling in een partij, waarbij het gaat om drie gewonnen sets, uitmaken wie zich clubkampioen van dat jaar mag noemen. Winnaar van de finale is dus diegene die het eerst 3 sets op zijn naam brengt.
    Stochast T stelt het aantal te spelen sets voor.
    1. Stel een kansverdeling voor T op.
    2. Bereken E(T). Wat stelt dat getal in dit verband voor?


16. Je werpt vier keer met een zuivere dobbelsteen. Stochast X stelt het aantal zessen voor dat daarbij bovenkomt.
    1. Stel de kansverdeling van X op.
    2. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van X.