Permutaties en combinaties

Inleiding

Je hebt kennis gemaakt met systematisch tellen, zowel met behulp van diagrammen als met behulp van machten en faculteiten. De term "permutaties" is al voorbij gekomen. Het aantal permutaties van 3 uit 8 is het aantal manieren om drie verschillende elementen uit een totaal van 8 te halen. Maar vaak heb je niet allemaal verschillende elementen, maar groepjes dezelfde elementen. Daar gaat het nu over...

Je leert nu:

• het verschil onderscheiden tussen permutaties en combinaties;
• het aantal combinaties van r uit n elementen berekenen;
• werken met de driehoek van Pascal.

Je kunt al:

• werken met tabellen en diagrammen om mogelijkheden te tellen;
• machten en faculteiten toepassen bij telproblemen met of zonder herhaling;
• het aantal permutaties van r uit n elementen berekenen;
• werken met kansen.

Verkennen

Acht hardlopers doen mee aan een wedstrijd over 100 meter. Ga ervan uit dat hun volgorde van aankomst uitsluitend van het toeval afhangt.

> Op hoeveel manieren kunnen deze acht hardlopers als eerste, als tweede en als derde aankomen?
> De eerste drie gaan door naar de volgende ronde. Hoeveel mogelijke drietallen zijn dat?

Uitleg

Bij de Olympische Spelen is de 100 m hardlopen een vast onderdeel. In de finale starten 8 lopers A, B, C, D, E, F, G en H. Ze strijden om goud, zilver of brons. Stel je voor dat alle lopers gelijkwaardig zijn en een even grote kans maken op de medailles.
Hoeveel mogelijke lijstjes met drie medaillewinnaars kun je dan maken?

Het gaat hier om het aantal permutaties van 3 uit 8: 8 · 7 · 6 = `(8!)/(5!)` = 336 mogelijkheden.

In de voorrondes is het niet belangrijk of je nummer 1, nummer 2 of nummer 3 bent: de eerste drie gaan door naar de volgende ronde. De lijstjes BDG, BGD, DBG, GBD, DGB en GDB hebben dan allemaal hetzelfde resultaat. Die tellen dan dus niet als afzonderlijke mogelijkheden, maar vormen samen één mogelijkheid.
En dat geldt ook voor alle andere drietallen: de volgorde binnen die drietallen is niet belangrijk en die 3! volgordes tellen telkens maar als één mogelijkheid mee. Dit betekent dat er geen 336 mogelijke lijstjes zijn, maar slechts 336 gedeeld door 3!.

Je spreekt dan van het aantal combinaties van 3 uit 8. Je schrijft het als `((8),(3))`.
Je rekent het aantal combinaties van 3 uit 8 zo uit: `((8),(3)) = (8*7*6)/(3!) = (8*7*6)/6 = 56` mogelijkheden. Met faculteiten: `((8),(3)) = (8!)/(3!*5!)`.

Bij het aantal combinaties van 3 uit 8 gaat het er eigenlijk om de groep van 8 te verdelen in twee subgroepen, één van 3 en één van 5. Binnen beide subgroepen speelt volgorde geen rol.
Dat kun je heel mooi weergeven in een rooster van 3 bij 5. Elk element van de groep van 8 hoort dan "wel" of "niet" bij het uitverkoren drietal.

Je ziet hier de mogelijkheid waarin B, E en G wel en de overige niet bij de uitverkoren drie horen.
Alle mogelijke kortste routes van linksonder naar rechtsboven geven het aantal combinaties van 3 uit 8 weer. Het zijn er inderdaad 56, wat je op een handige manier kunt tellen.

Het aantal routes dat in een punt bij elkaar komt is telkens de som van het aantal routes dat in het punt eronder en dat er links naast bij elkaar komt.
Het is de som van de routes van de twee voorgangers.
Je kunt dat in de figuur gemakkelijk natellen als je bedenkt dat je (kortste routes) alleen naar rechts en omhoog kunt bewegen over de roosterlijnen.
Dit telpatroon staat bekend als de driehoek van Pascal.
(Meer hierover bij "Totaalbeeld".)

‡

Opgaven

1. Bestudeer de Uitleg. Bekijk goed wat je verstaat onder het aantal combinaties van 3 uit 8.
   1. Wat is het kenmerkende verschil tussen de finale en de voorrondes?
   2. Waarom werk je in de voorrondes met combinaties als je alle mogelijke eindresultaten wilt berekenen?
   3. Bereken zelf met de hand het aantal combinaties van 3 uit 8.
   4. Bekijk bij Practicum GR hoe je dit met de grafische rekenmachine kunt uitrekenen.
   5. Bereken eerst met de hand het aantal combinaties van 3 uit 100. Controleer het antwoord met de GR.


2. Bekijk weer de Uitleg. Je ziet daar hoe je het aantal combinaties van 3 uit 8 kunt tellen in een rooster.
   1. Maak zelf een rooster voor het aantal combinaties van 4 uit 6.
   2. Bereken het aantal combinaties van 4 uit 6 op drie manieren: eerst in het rooster, dan met faculteiten en met de hand en tenslotte met de GR.

Theorie

Als je 3 verschillende elementen kiest uit 8 beschikbare dan heb je `(8!)/(3!)` mogelijkheden.

Als je r verschillende elementen kiest uit n beschikbare dan heb je `(n!)/((n - r)!)` mogelijkheden. Dit heet het aantal permutaties van r elementen uit n elementen.

Als je 3 gelijke elementen kiest uit 8 beschikbare dan heb je `((8),(3)) = (8!)/(3!*5!)` mogelijkheden.

Als je r gelijke elementen kiest uit n beschikbare dan heb je `((n),(r)) = (n!)/(r!*(n - r)!)` mogelijkheden. Dit heet het aantal combinaties van r elementen uit n elementen.

Het aantal combinaties van (bijvoorbeeld) 3 uit 8 kun je weergeven in een rooster en handig tellen met behulp van de driehoek van Pascal. Hierin is het aantal kortste routes naar elk punt (gerekend vanuit het punt linksonder naar het punt rechtsboven) te vinden door het aantal mogelijk routes dat in de voorgangers bijeenkomt op te tellen.

‡

Voorbeeld 1

In een klas van 24 personen wordt door loting een groep van 4 personen samengesteld. Deze vier personen krijgen elk een andere taak.
Op hoeveel manieren kan dit als er per taak wordt geloot?

Antwoord

Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot van belang: ben je als eerste ingeloot dan heb je een andere taak dan wanneer je als tweede, of derde of vierde wordt ingeloot.

Het gaat nu dus om het aantal permutaties van 4 uit 24.

Er zijn daarom `(24!)/((24 - 4)!) = (24!)/(20!) = 255024` mogelijkheden.

‡

Voorbeeld 2

In een klas van 24 personen wordt door loting een groep van 4 personen samengesteld. Deze vier personen krijgen elk een andere taak.
Op hoeveel manieren kan dit als deze vier personen pas na de loting hun taken onderling verdelen?

Antwoord

Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot niet van belang: ze verdelen pas na de loting onderling hun taken.

Het gaat nu dus om het aantal combinaties van 4 uit 24.

Er zijn daarom `((24),(4)) = (24!)/(4!*(24 - 4)!) = (24!)/(4!*20!) = (24*23*22*21)/(4!) = 23*22*21 = 10626` mogelijkheden.

‡

Voorbeeld 3

Uit een groepje van 5 meisjes en 4 jongens kies je door loting een drietal.
Hoe groot is de kans dat daar minstens 2 meisjes bij zijn?

Antwoord

Dit rooster laat het totaal aantal combinaties van 3 uit 9 zien.
Dat zijn er `((9),(3)) = (9!)/(3!*6!) = (9*8*7)/(3!) = 84`.

(Je kunt dit ook uittellen met de driehoek van Pascal.)

Als er precies 2 meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst 2 van de 5 meisjes kiezen en vervolgens 1 van de 4 jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via A.
Van O naar A zijn er `((5),(2)) = 10` mogelijke routes en bij elk van deze routes zijn er van A naar P nog eens `((4),(1)) = 4` mogelijke routes.
Dat zijn in 10 · 4 = 40 mogelijke routes.

Als er precies 3 meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst 3 van de 5 meisjes kiezen en vervolgens geen van de 4 jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via B.
Van O naar B zijn er `((5),(3)) = 10` mogelijke routes en bij elk van deze routes is er van B naar P nog maar 1 mogelijke route.
Dat zijn 10 · 1 = 10 mogelijke routes.

In totaal zijn er 40 + 10 = 50 routes met 2 of 3 gekozen meisjes van de 84 mogelijke routes.
De gevraagde kans is dus `50/84`.

‡

Opgaven

3. Bekijk de Voorbeelden 1 en 2. Vergelijk de verschillen!
   Je hebt een groep van 20 personen, 8 mannen en 12 vrouwen.
   1. Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht. Op hoeveel manieren kan dat als ze de opdrachten na de loting onderling verdelen?
   2. Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht. Op hoeveel manieren kan dat als er per opdracht wordt geloot?


4. Bekijk nu Voorbeeld 3. Daarin wordt met een rooster gewerkt.
   1. Reken zelf de in het voorbeeld gevraagde kans nog eens na.
   2. Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit 3 mannen en 2 vrouwen?
   3. Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens 3 mannen?


5. Ga uit van een systeem met 7 schakelaars die allemaal 'aan' of 'uit' kunnen staan.
   1. Geef in een roosterdiagram alle mogelijkheden weer.
   2. Zet bij elk punt van het rooster hoeveel kortste routes er naar toe leiden. Gebruik de driehoek van Pascal.
   3. Op hoeveel manieren kun je 0 van de 7 schakelaars aanzetten?
   4. Op hoeveel manieren kun je 1 van de 7 schakelaars aanzetten?
   5. Op hoeveel manieren kun je 2 van de 7 schakelaars aanzetten?
   6. Het aantal manieren om 3 van de 7 schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er 4 van de 7 aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.


6. Stel je voor dat er 30 schakelaars zijn (die 30 toneellampen bedienen), waarmee je de belichting op een podium kunt regelen. Voor een bepaalde scènemoeten er vier van de 30 worden aangezet. Neem eerst aan dat de volgorde waarin ze worden aangezet wel van belang is.
   1. Op hoeveel manieren kun je de eerste schakelaar kiezen?
   2. Op hoeveel manieren kun je vier schakelaars kiezen?
   Stel je nu voor dat het niet van belang is in welke volgorde de schakelaars worden aangezet, alleen maar welke vier er 'aan' staan.
   3. Je moet voor een bepaalde scène de schakelaars `S5`, `S7`, `S8` en `S9` gebruiken. Op hoeveel verschillende manieren kun je die schakelaars nog 'aan' zetten?
   4. Hoe kun je met behulp bam de antwoorden op de vragen bij b en c berekenen op hoeveel manieren je vier schakelaars uit de 30 kunt kiezen als de volgorde niet belangrijk is?
   5. Op hoeveel manieren kun je 6 schakelaars kiezen uit de 30 als de volgorde niet belangrijk is?


7. Gebruik de driehoek van Pascal in dit roosterdiagram.
   1. Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `M`?
   2. Hoeveel kortste routes zijn er van `M` naar `S`?
   3. Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `S` via `M`?

Verwerken

8. Iemand moet 10 vragen met 'ja' of 'nee' beantwoorden. In de figuur is een mogelijke lijst antwoorden in een rooster weergegeven.
   
   
   
   1. Wat is bij die lijst het antwoord op vraag 6?
   2. Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er mogelijk met precies drie keer 'ja'?
   3. Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er in totaal mogelijk?
   4. Hoe groot is de kans dat je alle vragen goed beantwoordt als je dat volledig op de gok doet?


9. Je gooit met vijf verschillende geldstukken en je let op het aantal keren 'kruis'.
   1. Hoeveel uitkomsten zijn er mogelijk?
   2. Hoeveel mogelijke antwoorden met precies twee keer 'kruis' zijn er?
   3. Hoe groot is de kans op precies twee keer 'kruis'?
   4. Je gooit nu met 50 geldstukken. Hoe groot is de kans op 20 keer 'kruis'? Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.


10. Voor een schaaktoernooi hebben zich 24 deelnemers gemeld. Ze spelen een halve competitie, dus elke deelnemer speelt precies één maal tegen iedere andere deelnemer. Het aantal wedstrijden kan nu worden berekend met behulp van combinaties.
    Leg uit waarom dat zo is en bereken het aantal te spelen wedstrijden.


11. Een groep bestaat uit 14 meisjes en 12 jongens. Er wordt een groepje van vier door loting uitgekozen.
    1. Als het groepje uitsluitend uit meisjes moet bestaan, hoeveel verschillende groepjes zijn er dan mogelijk?
    2. Beantwoord dezelfde vraag als het groepje uit twee jongens en twee meisjes moet bestaan.


12. Hoeveel kortste routes zijn er in deze roosters van punt `A` naar punt `B`?
    
    I -     II -


13. Op hoeveel manieren kunnen 8 verschillende boeken op een rij op een boekenplank worden geplaatst als
    1. iedere volgorde is toegestaan?
    2. de drie wiskundeboeken bij elkaar moeten staan?
    3. de twee woordenboeken op het eind van de rij naast elkaar moeten staan?
    4. er drie boeken worden uitgekozen om te worden gekaft en dan aan het eind te worden gezet?


14. Je werpt met drie dobbelstenen en let op het aantal ogen dat boven komt.
    1. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk?
    2. Je kunt op verschillende manieren 12 ogen gooien. Bijvoorbeeld door driemaal 4 te gooien, maar ook door een 6 en tweemaal 3 te gooien.
       Bereken bij elke mogelijkheid de bijbehorende kans.

Testen

15. Een volleybalteam bestaat uit 12 spelers. De coach bepaalt welke spelers worden opgesteld en op welke van de zes posities in het veld.
    1. Als alle spelers even sterk zijn en op elke positie kunnen spelen, op hoeveel manieren kan de coach dan een team van zes samenstellen?
    2. Als hij dat team heeft samengesteld, hoeveel verschillende beginopstellingen kan hij dan nog maken?


16. Een klas bestaat uit 26 leerlingen.
    1. Op hoeveel manieren kun je al die leerlingen op een rij zetten?
    2. Op hoeveel manieren kun je 5 van de 26 leerlingen op een rij zetten?
    3. Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 uit de 26 kiezen?
    4. Er zitten 10 meisjes in deze klas. Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 leerlingen kiezen als daar precies twee meisjes in moeten voorkomen?