Populatiematrices

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Discrete wiskunde > Matrices en grafen > Populatiematrices > Inleiding

Probeer de vraag bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Discrete wiskunde > Matrices en grafen > Populatiematrices > Uitleg

 

Opgaven

  1. Bekijk in de Uitleg hoe van de groei van een populatie kevers een model is gemaakt in de vorm van een Leslie-matrix.
    1. Is een Leslie-matrix een overgangsmatrix?
    2. Een Leslie-matrix wordt altijd zo geordend dat "van" boven staat en "naar" links vooraan. Waarom betekent dit dat de getallen op de eerste rij altijd geboortecijfers moeten zijn?
    3. Bekijk de Uitleg. Hoe groot is de kans dat een nuljarige kever zijn "eerste verjaardag" haalt?
    4. Hoe groot is de kans dat hij ook zijn "tweede verjaardag" haalt?
    5. Ga na of de populatie kevers naar een bepaalde evenwichtssituatie toe groeit.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Discrete wiskunde > Matrices en grafen > Populatiematrices > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bestudeer het voorbeeld van de populatie dieren in Voorbeeld 1 nog eens goed.
    1. Welke tijdsduur heeft één generatie bij deze dieren?
    2. Hoe oud worden ze volgens de populatievoorspellingsgraaf maximaal?
    3. Welke getallen stellen de geboortecijfers of vruchtbaarheidscijfers voor?
    4. Hoe groot is de kans dat een pasgeborene van deze diersoort zes jaar oud wordt?
    5. Waarom kun je de kans dat een pasgeborene zeven jaar oud wordt niet vaststellen met deze gegevens?
    6. Wat is de betekenis van `L^2`? En van `L^3`?
    7. Bereken nu `P_(2002)` en `P_(2004)`. Laat zien dat deze populatie snel gaat groeien.

  2. Een Leslie-matrix maak je vanuit een bepaald model voor de groei van een populatie. Zo'n model ontstaat vanuit statistische gegevens over aantallen dieren of planten van opeenvolgende generaties. In Voorbeeld 2 zie je hoe je een Leslie-matrix kunt opstellen vanuit dergelijke gegevens.
    1. Welke aannames doe je als je een Leslie-matrix gebruikt om de groei van een populatie te voorspellen?
    2. Bereken nu zelf de geboortecijfers.
    3. Stel een bijpassende Leslie-matrix L op.
    4. Onderzoek hoe deze populatie zoogdieren het gaat doen in de jaren na 2004.
    5. Bereken het vervangingscijfer.

  3. Tweejarige planten bloeien pas in hun tweede levensjaar: na het dragen van vruchten sterven de oude planten af. Per oude plant ontstaan er gemiddeld 8 jonge planten. Uit onderzoek blijkt dat 50% van de jonge planten éénjarige planten worden en dat 25% van de éénjarige planten het tweede levensjaar bereiken.
    1. Geef dit weer in een graaf en stel een populatievoorspellingsmatrix voor deze tweejarige planten op.
    2. Hoeveel kans heeft een jonge plant om zelf weer jonge planten voort te brengen?
    3. Als er in een bepaald afgesloten gebied 400 jonge planten, 400 éénjarige planten en 100 oude planten worden waargenomen, hoe zal die populatie zich dan in de komende jaren ontwikkelen? Geef de resultaten weer in grafieken.

Verwerken

  1. Een kudde antilopen bestaat uit dieren van vier generaties. De generatieduur is ongeveer 5 jaar. Hun weidegebied is dichtbevolkt met roofdieren. Een bioloog heeft op basis van observaties een graaf opgesteld die de geboortecijfers en de overlevingskansen van de kudde antilopen weergeeft. Stel je voor dat elke generatie in de kudde op zeker moment uit 100 dieren bestaat.
    1. Laat zien dat er geen sprake is van een natuurlijk evenwicht.
    2. Na hoeveel jaar is de kudde in dit model uitgestorven?
    3. Na 15 jaar wordt er besloten om het aantal roofdieren in het leefgebied van de kudde antilopen zodanig te verminderen dat hun overlevingskansen verdubbelen. Onderzoek of het verdubbelen van de overlevingskansen het uitsterven van de kudde antilopen zal voorkomen.
    4. Na verdere observatie blijken ook de geboortecijfers van de kudde te worden beïnvloed door de afname van het aantal roofdieren. Geef daarvoor een verklaring.
    5. Stel dat de geboortecijfers zodanig veranderen dat alle dieren ouder dan 5 jaar gemiddeld voor 2 nakomelingen kunnen zorgen. Onderzoek nu hoe het verloop van de aantallen dieren per generatie de komende jaren zal zijn. Maak een passende grafiek voor het totaal aantal dieren in de loop der jaren. Is er sprake van exponentiële groei van de populatie? Zo ja, bepaal dan de groeifactor.

  2. Van een ontwikkelingsland zijn de volgende bevolkingsgegevens bekend:

    leeftijds
    categorie    		19001920194019601980
     0–<2019,822,823,526,427,8
    20–<408,98,910,210,611,9
    40–<603,23,23,23,73,8
    60–<800,30,40,40,40,5
    80 en hoger0,00,00,00,00,0


    De aantallen in deze tabel zijn in miljoenen. Het gemiddeld aantal kinderen per hoofd van de bevolking is:

    leeftijds
    categorie    		kinderen
     0–<200,25
    20–<401,97
    40–<600,09
    60–<800,00

    1. Bereken op grond van de eerste tabel de kansen dat iemand van een bepaalde leeftijdscategorie overgaat naar de volgende.
    2. Stel een Leslie-matrix op voor dit ontwikkelingsland.
    3. Waaraan kun je zien dat de sterfte onder kinderen in dit land hoog is?
    4. Voorspel de bevolkingssamenstelling van dit land in 2000 en 2020.
    5. De bevolking van dit land lijkt steeds sneller te groeien. Toon aan dat dit bij benadering exponentieel gebeurt in de periode van 1900 tot 2020.
    6. Bereken het jaar waarin de totale bevolking precies twee keer zo groot zal zijn dan in 1980 als je uitgaat van een zuiver exponentieel groeimodel.

  3. Bij een uitgebreid onderzoek naar de groei van vogelpopulaties stelden Amerikaanse biologen vast dat onder bepaalde omstandigheden de groei van een populatie roodborstjes beschreven kan worden met een model dat in de graaf hieronder is weergegeven.



    Uit deze graaf kan onder andere worden afgelezen dat 45% van de éénjarige roodborstjes de tweejarige leeftijd bereikt en dat 100 éénjarige vogels per jaar gemiddeld 140 jongen voortbrengen. Ook blijkt uit de graaf dat de vogels de leeftijd van zeven jaar niet bereiken.
    1. Stel een bijpassende populatievoorspellingsmatrix op.
    Een populatie waarvoor de voorgaande gegevens gelden, bestond op 1 juli 1990 (tijdstip `t = 0`) uit 2022 roodborstjes. De tabel geeft de verdeling over de verschillende leeftijden weer.

    leeftijd0123456
    roodborstjes12504402008030202

    1. Onderzoek of het totale aantal roodborstjes op 1 juli 1991 (`t = 1`) volgens dit model minder dan 1% afwijkt van het totale aantal op 1 juli 1990.
    2. Onder het vervangingscijfer versta je de verwachtingswaarde van het aantal jongen dat een roodborstje gedurende het hele leven krijgt. Hoe groot zou dit vervangingscijfer zijn als geen enkel roodborstje de tweejarige leeftijd zou bereiken?
    3. Toon aan dat het vervangingscijfer in het door de graaf beschreven model ongeveer gelijk is aan 1.
    Uit voortgezet onderzoek bleek dat de in de graaf vermelde overlevingskansen onafhankelijk zijn van de populatieomvang, maar dat de in de graaf vermelde vruchtbaarheidscijfers slechts gelden voor een populatie die in totaal ongeveer 2000 roodborstjes telt. Op grond van hun tellingen veronderstelden de onderzoekers dat het model als volgt bijgesteld moest worden: voor de overgang van tijdstip `t` naar tijdstip `t + 1` moeten alle vruchtbaarheidscijfers uit de graaf vermenigvuldigd worden met een factor `k` die afhangt van de populatieomvang `N_t` op tijdstip `t`:

    `k = 2 - (N_t)/2000`

    1. Bereken voor welke populatieomvang deze bijstelling leidt tot een halvering van de vruchtbaarheidscijfers in vergelijking met die van het oorspronkelijke model.
    2. De volgende tabel is verkregen door een computer volgens het bijgesteld model de aantallen op de tijdstippen `t = 1, 2, ... , 10` te laten berekenen. Bereken hoeveel jongen de groep van 1400 nuljarigen van tijdstip `t = 0` volgens het bijgestelde model in hun derde levensjaar zal voortbrengen. Neem totaal 2022 en ga uit van de situatie in 1990.



Testen

  1. Een bepaalde diersoort wordt in drie leeftijdsgroepen van 4 jaren verdeeld. Op zeker tijdstip (`t = 0`) is de opbouw van een populatie van deze dieren: Er worden geen dieren ouder dan 12 jaar. Deze graaf beschrijft het verloop tussen de leeftijdscategorieën van deze diersoort:



    1. Stel een populatievoorspellingsmatrix `P` voor deze diersoort op.
    2. Wat is de betekenis van `P^2`? En van `P^3`?
    3. Bereken de aantallen dieren per leeftijdsgroep over 4 jaar (`t = 1`).
    4. Onderzoek de groei van deze populatie dieren en teken een grafiek van het verloop van de totale populatie.
    5. Is er sprake van exponentiële groei? Zo ja, bepaal dan de groeifactor.
    6. Hoeveel bedraagt de levensverwachting van een pasgeboren exemplaar van deze diersoort?
    Door vervuiling van hun natuurlijk milieu worden de overlevingskansen van deze populatie dieren na 8 jaar (`t = 2`) kleiner. Stel dat alle overlevingskansen met dezelfde factor `k` worden vermenigvuldigd.
    1. Bereken bij welke waarde van `k` de populatie nog net niet zal gaan uitsterven.