Populatiematrices

Antwoorden bij de opgaven

    1. Nee, want de kentallen van een overgangsmatrix zijn overgangskansen en kunnen dus alleen waarden van 0 t/m 1 aannemen. In een lesliematrix komen ook geboortecijfers voor en dat kunnen getallen groter dan 1 zijn.
    2. De getallen op de eerste rij stellen de overgangen van even oude of oudere generaties naar jongere voor, dat kan alleen door geboortes.
    3. 0,2
    4. `0,2 * 0,04 = 0,008`
    5. `L * ((1),(0),(0))` en dan doorrekenen...
    1. 2 jaar.
    2. Maximaal 8 jaar.
    3. De getallen op de eerste rij van de populatievoorspellingsmatrix.
    4. P(om 6 jaar te worden) `= 0,5 * 0,4 * 0,2 = 0,04`.
    5. 7 jaar hoort tot de klasse 6 – 8. Dus steeds periodes van twee jaar.
    6. `L^2` is de voorspellingsmatrix met een periode van 4 jaar en `L^3` is de voorspellingsmatrix met een periode van 6 jaar.
    7. Over twee jaar: `P_2002 = L * ((590),(360),(200),(80)) = ((1707),(295),(156),(40))` en `P_2004 = L * ((1707),(295),(156),(40)) ~~ ((1301),(854),(118),(31))`. Als je verder doorrekent zie je de populatie groeien.
    1. Je neemt aan dat zowel de geboortecijfers als de overlevingskansen constant zijn.
    2. Doen.
    3. `L = ((0 , 1 , 3 , 0),(0,8 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,4 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,1 , 0))`
    4. De populatie gaat snel groeien.
    5. `0,8 * 1 + 0,8 * 0,4 * 3 = 1,76`
    1. `L = ((0 , 0 , 8),(0,5 , 0 , 0),(0 , 0,25 , 0))`
    2. Een jonge plant moet dan in de oudste groep terecht komen. De kans daarop is: `0,5 * 0,25 = 0,125`. Dus 12,5%.
    3. Er ontstaan periodieke grafieken met een periode van 3 jaar.
    1. De Leslie-matrix is `L = ((0 , 0 , 1 , 2),(0,4 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,3 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,2 , 0))`.
      Doorrekenen geeft `((100),(100),(100),(100)) rarr ((300),(40),(30),(20)) rarr ((70),(120),(12),(6)) rarr ((24),(28),(36),(2)) rarr ((40),(100),(8),(7))`, etc. De kudde sterft uit.
    2. Na 13 overgangen is de kudde uitgestorven. Dus na `13 * 5 = 65` jaar.
    3. Na 15 jaar is de samenstelling van de kudde `((70),(120),(12),(6))` en de Leslie-matrix wordt `L = ((0 , 0 , 1 , 2),(0,8 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,6 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,4 , 0))`. Nu doorrekenen: `((70),(120),(12),(6)) rarr ((24),(56),(72),(5)) rarr ((82),(19),(34),(29))`, etc. Nu gaat de populatie veel langzamer achteruit.
    4. Doordat er minder roofdieren zijn krijgen de dieren uit de kudde meer rust, waardoor de geboortecijfers waarschijnlijk omhoog gaan.
    5. De veranderingen hebben plaatsgevonden na 15 jaar. De populatievoorspellingsmatrix wordt: `L = ((0 , 2 , 2 , 2),(0,8 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,6 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,4 , 0))`. Nu doorrekenen: `((70),(120),(12),(6)) rarr ((276),(56),(72),(5)) rarr ((266),(221),(34),(29))`, etc. Bepaal de totalen: 208, 409, 550, 923, 1350, 2163, 3254, 5113, 7800 en 12141. Door de quotiënten te bepalen, zie je dat de groeifactor ongeveer 1,55 is.
    1. Die kansen zijn gemiddeld ongeveer 0,44, 0,37, 0,13 en 0.
    2. `L = ((0,25 , 1,97 , 0,09 , 0 , 0),(0,44 , 0 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,37 , 0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,13 , 0 , 0),(0 , 0 , 0 , 0 , 0))`
    3. 56% van de laagste groep overleeft deze groep niet.
    4. Neem de cijfers van 1980 en pas daar L op toe om de cijfers voor 2000 te krijgen.
      `P_2000 = L * ((27,8),(11,9),(3,8),(0,5),(0,0)) ~~ ((30,7),(12,2),(4,4),(0,5),(0,0))` en `P_2020 = L * ((30,7),(12,2),(4,4),(0,5),(0,0)) ~~ ((32,2),(13,5),(4,5),(0,6),(0,0))`
    5. De totalen zijn achtereenvolgens 32,2, 35,3, 37,3, 41,1, 44,0, 47,8 en 50,8. Dus de groeifactoren zijn 1,10, 1,06, 1,10, 1,07, 1,08 en 1,06. De gemiddelde groeifactor is 1,08.
    6. `N(t) = 44,0 * 1,08^t` met t in 20 jaar en `t = 0` voor 1980. Los dan op: `1,08^t = 2`. Je vindt `t ~~ 9,0`. Dus na ongeveer 180 jaar. In 2160.
    1. `L = ((0 , 1,4 , 2,1 , 1,6 , 1,4 , 1,1 , 1,0),(0,36 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0),(0 , 0,45 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0,43 , 0 , 0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0 , 0,35 , 0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0 , 0 , 0,30 , 0 , 0),(0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0,20 , 0))`
    2. Totaal in 1990: 2022 en totaal in 1991: 2005. De afwijking is `17/2022 ~~ 0,0084` en dat is minder dan 1%.
    3. Neem 100 jonge vogels. 36 van dit aantal wordt eenjarig en zorgen voor `36 * 1,4 = 50,4` jonge vogels. Het vervangingscijfer is dan 0,504.
    4. Ga uit van 100 jonge vogels.
      0-jarige: 100 vogels. Geen jonge vogels.
      1-jarige: `100 * 0,36 = 36` vogels. Aantal jonge vogels: `36 * 1,4 ~~ 50`.
      2-jarige: `36 * 0,45 ~~ 16` vogels. Aantal jonge vogels: `16,2 * 2,1 ~~ 34`.
      3-jarige: `16 * 0,43 ~~ 7` vogels. Aantal jonge vogels: `7,0 * 1,6 ~~ 11`.
      4-jarige: `7 * 0,35 ~~ 2` vogels. Aantal jonge vogels: `2,4 * 1,1 ~~ 3`.
      5-jarige: `2 * 0,30 ~~ 1` vogels. Aantal jonge vogels: `0,6 * 1,0 ~~ 1`.
      6-jarige: `1 * 0,20 ~~ 0` vogels. Aantal jonge vogels: 0.
      Totaal aantal jonge vogels 99. 100 vogels brngen dit aantal voort. Het vervangingscijfer is `99/100 ~~ 1`.
    5. `1/2 = 2 - (N_t)/2000` geeft `3/2 = (N_t)/2000` en dus `N_t = 3000`.
    6. `k = 2 - 2022/2000 = 0,989`. De vruchtbaarheid in het derde jaar was 1,6. Deze factor wordt nu 1,58, blijft dus 1,6. Van de 1400 nuljarigen haalt `1400 * 0,36 * 0,45 ~~ 227` zijn derde levensjaar en die zorgen voor `226,8 * 1,58 ~~ 358` nakomelingen.
    1. `L = ((0 , 1 , 2),(0,75 , 0 , 0),(0 , 0,75 , 0))`
    2. `L^2` geeft de populatievoorspelling over een periode van 8 jaar. `L^3`geeft de populatievoorspelling over een periode van 12 jaar.
    3. `L * ((200),(100),(50)) = ((200),(150),(75))`
    4. Doorrekenen geeft een populatiegrootte is van: 350, 425, 563, 713, 900, 1168, 1476, 1888, 2421, 3077, 3939,...
      Maak een grafiek.
    5. Lijkt exponentieel met groeifactor ongeveer 1,28.
    6. P(2 jaar) = 0,25
      P(6 jaar) = `0,75 * 0,25 = 0,1825`
      P(10 jaar) = `0,75 * 0,75 = 0,5625`
      De verwachting is `2 * 0,25 + 6 * 0,1825 + 10 * 0,5625 ~~ 7,2` jaar.
    7. Zorg dat er evenwicht ontstaat, dus los op `((0 , 1 , 2),(0,75k , 0 , 0),(0 , 0,75k , 0)) * ((300),(150),(113)) = ((300),(150),(113))`.
      Dit geeft `225k = 150` en dus `k = 2/3`.