Overgangen

Antwoorden bij de opgaven

1. Omdat bij een overgang van `A` naar `B` vaak een ander percentage hoort dan die van `B` naar `A`.
2. Zowel bij `S` als bij `P` zitten luswegen. Die geven aan welk percentage van `S` naar `S` dan wel van `P` naar `P` gaat, dus niet van het éne knooppunt naar het andere overgaat.
3. De percentages die vanuit een knooppunt overgaan moeten samen 100%, want het totaal in dat knooppunt, zijn. Die percentages zitten in een kolom.
4. De percentages die in een knooppunt samenkomen zijn percentages van andere knooppunten. Die percentages zitten in een rij.
5. Die bevolkingsmatrix moet een kolommatrix zijn. Je zou ook een andere keuze voor het "van" en het "naar" kunnen maken.
6. In 2005 wonen er in deze regio 35.575 mensen op het platteland.
1. Doen.
2. Je kunt nu zeggen dat er evenwicht is als de getallen afgerond op een geheel getal niet meer veranderen. Maar dat komt omdat het hier over aantallen gaat, dus over gehele getallen. De decimalen veranderen nog wel degelijk.
3. Juist omdat de decimalen blijven veranderen heb je pas zekerheid door een algebraïsche redenering.
4. Doen.
1. 25 klanten.
2. Hetzelfde merk gekocht: 15 + 25 + 20 = 60 klanten. Gewisseld: 120 – 60 = 60 klanten. Dus 50%.
3. Denk om de luswegen in de graaf.
  `W = ((0,75 , 0,20 , 0,30),(0,15 , 0,50 , 0,30),(0,10 , 0,30 , 0,40))` (Let op de keuze voor "van, naar"!)
4. De overgangsperiode is 1 maand.
5. De beginsituatie is `B_0 = ((0),(0,65),(0,35))`.
6. Na één maand: `B_1 = ((0,235),(0,430),(0,335))`.
7. Gewoon doorrekenen levert `B_(text(evenwicht)) = ((0,4940),(0,2823),(0,2235))`.
8. In de evenwichtssituatie zie je dat geen van de drie merken zal verdwijnen.
1. In de bedragen 640, 480, 320. Want 20% van 800 is 160 en dat bedrag gaat er steeds van af als je geen schade claimt.
2. Zonder claim betaal je de volgende drie jaren 320 + 320 + 320 = 960 euro aan premie.
  Met claim betaal je de volgende drie jaren 800 + 640 + 480 = 1920 euro aan premie.
  Na die drie jaren is de premie hetzelfde (als je niet claimt). Je kunt dus beter claimen, hoewel het voordeel maar 40 euro is.
3. Wat er ook gebeurd is in de eerste twee jaar, in het derde jaar moet hij een schade claimen. De kans dat dit gebeurt is 30%.
4. `M^2` geeft de overgangskansen in een periode van twee jaar en `M^3` die in een periode van 3 jaar.
5. In `M^3` zijn de overgangskansen van elke kolom hetzelfde. Dan is er dus een vaste overgangskans vanuit elke jaarpremie.
1. `M = ((0,5 , 0,4 , 0,3),(0,3 , 0,4 , 0,3),(0,2 , 0,2 , 0,4))`
2. `P_0 = ((0),(0),(1))`
3. `P_1 = M * P_0 = ((0,3),(0,3),(0,4))`. Dit zijn de kansen waar het dier zich na 1 uur bevindt.
4. `P_2 = M * P_1 = ((0,39),(0,33),(0,28))`
5. Vanaf `n = 6`, gewoon doorrekenen.
6. Uit de evenwichtssituatie blijkt: 42% in A; 33% in B en 25% in D. Je kunt deze getallen vinden door `M * ((a),(b),(c)) = ((a),(b),(c))` met `a + b + c = 1` op te lossen.
1. De som van de kentallen in elke rij is 100.
2. `M = ((0,70 , 0,30 , 0,15),(0,20 , 0,50 , 0,60),(0,10 , 0,20 , 0,25))` (Let op het "van, naar".)
3. De verdeling van de ouders is: klasse A is `1400/4800 ~~ 0,29` dus 29%, klasse B is 54% en klasse C is 17%.
  `M * ((0,29),(0,54),(0,17)) ~~ ((0,39),(0,43),(0,18))`, dus één generatie verder: klasse A is 39%, klasse B is 43% en klasse C is 18%.
4. Reken door met de aantallen: `M * ((1400),(2600),(800)) = ((1880),(2060),(860))` en `M * ((1880),(2060),(860)) ~~ ((2063),(1922),(815))`, etc. Maak bijpassende grafieken en je ziet de evenwichtssituatie ontstaan.
5. Klasse A: 2205; klasse B 1816 en klasse C: 778. Je kunt deze getallen vinden door `M * ((a),(b),(c)) = ((a),(b),(c))` met `a + b + c = 4800` op te lossen.
1. `A = ((0,60 , 0,10 , 0,10),(0,10 , 0,80 , 0,20),(0,30 , 0,10 , 0,70))`
2. Reken door met de aantallen: `A * ((200),(200),(200)) = ((160),(220),(220))` en `M * ((160),(220),(220)) ~~ ((140),(236),(224))`, etc.
  Na 11 stappen is er evenwicht bereikt.
3. `A^2 = ((0,40 , 0,15 , 0,15),(0,20 , 0,67 , 0,31),(0,40 , 0,18 , 0,54))`. Dit geeft de overgang in periodes van twee dagen.
4. Er ontstaat een stabiele situatie waarin bij toenemende `n` de kentallen van `A^n` niet meer veranderen.
5. Nee. Begin je met een andere beginsituatie dan krijg je dezelfde evenwichtssituatie.
1. Doen, er zijn nu luswegen.
2. `W = ((0,8 , 0,5 , 1/3),(0,1 , 0,5 , 1/3),(0,1 , 0 , 1/3))`
3. Dat het op maandag zonnig is, kun je aangeven met de matrix: `((1),(0),(0))`.
  Naar woensdag zijn twee overgangen. Dus `W * ((1),(0),(0)) = ((0,8),(0,1),(0,1))` en `W * ((0,8),(0,1),(0,1)) ~~ ((0,72),(0,16),(0,11))`.
  De kans dat het woensdag weer zonnig is, is 72%.
4. `W^2 ~~ ((0,72 , 0,65 , 0,54),(0,16 , 0,30 , 0,31),(0,11 , 0,05 , 0,14))`. Dit zijn de overgangen per twee dagen.
5. De kans op "zonnig" als de dag ervoor ook "zonnig" is, is 0,8. Dus P(zonnig,zonnig) `= 0,8 * 0,8 = 0,64`. Dus 64%.
6. 1 of 2 dagen "zonnig", dan zijn er vier mogelijkheden, namelijk:
  P(zonnig – mist - zonnig) `= 0,1 * 0,5 = 0,05`.
  P(zonnig – regen – zonnig) `= 0,1 * 1/3 ~~ 0,0333`
  P(zonnig – zonnig – niet zonnig) `= 0,8 * 0,2 = 0,16`.
  P(zonnig – zonnig - zonnig) `= 0,8 * 0,8 = 0,64`.
  De totale kans is 0,8833. Dus ongeveer 88%.
1. `S = ((0,99 , 0,04),(0,01 , 0,96))`
2. `S * ((225),(1275)) ~~ ((274),(1226))`
3. `S^2 ~~ ((0,98 , 0,08),(0,02 , 0,92))`. Dit zijn de overgangskansen per twee maanden.
4. `S^6 * ((225),(1275)) ~~ ((483),(1017))`. Omdat `483/1500 ~~ 0,32` is het 32%.
5. Je moet met de rekenmachine ver genoeg doorrekenen of `S * ((a),(b)) ~~ ((a),(b))` met `a + b = 1500` oplossen. Je vindt dat de evenwichtssituatie wordt: 300 geen smartphone en 1200 wel een smartphone.
1. P(bruikbaar – bruikbaar – niet bruikbaar) + P(bruikbaar – niet bruikbaar - bruikbaar) `= 0,8 * 0,2 + 0,2 * 0,6 = 0,16 + 0,12 = 0,28`.
2. `M^n` geeft de overgangskansen na `n` keer het fabricageproces te hebben uitgevoerd.
3. Op den duur is 75% van de partijen bruikbaar.