Het begrip matrix

Inleiding

Een matrix is eigenlijk weinig meer dan een tabel met gegevens in rijen en kolommen. Het rekenblad Excel is eigenlijk één grote matrix van 256 × 65536 cellen. Hier zie je bijvoorbeeld cel C4 aangegeven.
In een matrix zet je getallen, in Excel kun je in een cel ook een formule zetten.
Je zult nu leren werken met matrices en zien waar je dit kunt toepassen.

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Een schoenenwinkel heeft van een nieuw model wandelschoenen (de "Strider") nog 76 paar in voorraad. Van de Strider bestaan drie varianten, die op de doos met A, B en C worden aangeduid. De Strider wordt voorlopig alleen in de maten 39, 40, 41 en 42 gemaakt. Hier zie je de voorraad tegen het eind van een bepaalde maand.
Voor de aankomende maand wil de eigenaar van de varianten A en B van elke maat 15 paar in huis hebben en van variant C van elke maat 10 paar.

> Geef zijn bestelling weer in een vergelijkbare tabel als de voorraad. Hoe bepaal je die bestelmatrix?

Uitleg

Een schoenenwinkel heeft van een nieuw model wandelschoenen (de "Strider") nog 76 paar in voorraad. Van de Strider bestaan drie varianten, die op de doos met A, B en C worden aangeduid. De Strider wordt voorlopig alleen in de maten 39, 40, 41 en 42 gemaakt. Hier zie je de voorraad tegen het eind van een bepaalde maand.
Voor de aankomende maand wil de eigenaar van de varianten A en B van elke maat 15 paar in huis hebben en van variant C van elke maat 10 paar.

Laat je de randen van deze tabel weg, dan krijg je een matrix van 4 rijen en 3 kolommen. Dit heet een 4×3-matrix.
De bestelling kun je ook weergeven in zo'n 4×3-matrix.
Tel je beide op, dan krijg je de voorraad voor de nieuwe maand:

( 10 5 6 9 14 0 6 8 5 7 4 2 )  +  ( 5 10 4 6 1 10 9 7 5 8 11 8 )  =  ( 15 15 10 15 15 10 15 15 10 15 15 10 )

Je ziet hoe het optellen van matrices gaat. Overigens: de winkelier is natuurlijk uitgegaan van de nieuwe maandvoorraad en heeft zijn bestellingsmatrix gemaakt door van die nieuwe matrix de gegeven voorraadmatrix af te trekken.

‡

Opgaven

  1. Bekijk in de Uitleg hoe een winkelier in Excel zijn vooraad van een bepaald type wandelschoen bijhoudt. Ga er van uit dat de voorraad is geteld op 31 april. Voordat zijn bestelling is aangekomen zijn er in mei al weer schoenen van het model "Strider" verkocht. De tabel hiernaast geeft dat weer.
    1. Schrijf de bijbehorende verkoopmatrix op.
    2. Welk getal staat op de derde rij en in de tweede kolom?
    3. Bereken de nieuwe voorraadmatrix op het moment dat de bestelling op 1 juni binnenkomt. Welke matrixbewerkingen passen hierbij?

Theorie

Een matrix is een schema van getallen in rijen en kolommen.
Deze getallen zijn de kentallen van de matrix. Het kental mi,j staat in de ide rij en de jde kolom. In deze matrix M is m2,3 = 0.
Kentallen die naast elkaar staan vormen een rij.
Kentallen die onder elkaar staan vormen een kolom.
Het aantal rijen gevolgd door het aantal kolommen vormen de afmetingen van de matrix. Deze matrix M bestaat uit 4 rijen en 3 kolommen. Hij heet daarom een 4 bij 3 matrix. Dit schrijf je als: 4×3-matrix.

M =  ( 10 5 6 9 14 0 6 8 5 7 4 2 )

Twee matrices met dezelfde afmetingen kun je bij elkaar optellen. Je telt dan de kentallen op dezelfde rij en in dezelfde kolom bij elkaar op.
Twee matrices met dezelfde afmetingen kun je van elkaar aftrekken. Je trekt dan de kentallen op dezelfde rij en in dezelfde kolom van elkaar af.
Elke matrix kun je met een getal vermenigvuldigen door alle kentallen met dat getal te vermenigvuldigen.
Soms moet je om twee matrices de kunnen optellen of aftrekken eerst bij één van beide de rijen en de kolommen omwisselen. Dat heet het transponeren van een matrix M. De getransponeerde matrix heet dan MT.

‡

Voorbeeld 1

In een kledingzaak worden van een bepaald merk alleen witte en zwarte T-shirts verkocht in 5 verschillende maten. De voorraad van eind januari is:

De eerste week van februari worden er verkocht:

Laat met een matrixberekening zien wat er aan het eind van die week nog aan voorraad is.

Antwoord

Denk er om dat beide matrices dezelfde afmetingen moeten hebben. Het kunnen allebei 2×5-matrices worden. Je krijgt dan:

( 8 15 12 7 4 3 10 13 8 2 )  –  ( 3 4 2 5 0 1 8 9 0 2 )  =  ( 5 11 10 2 4 2 2 4 8 0 )

Ga vooral ook na hoe je dit met de grafische rekenmachine doet.

‡

Voorbeeld 2

Gegeven zijn de matrices A =  ( 6 −1 3 0 5 −4 )  en B =  ( 4 2 0 −2 1 5 )

Waarom kunnen deze matrices niet worden opgeteld?
Bereken 2 · A + BT.

Antwoord

A en B kun je niet optellen omdat A een 2×3-matrix is en B een 3×2-matrix.

2 · A + BT = 2 ·  ( 6 −1 3 0 5 −4 )  +  ( 4 0 1 2 −2 5 )  =  ( 12 −2 6 0 10 −8 )  +  ( 4 0 1 2 −2 5 )  =  ( 16 −2 7 2 8 −3 )

Doe dit ook op de GR.

‡

Voorbeeld 3

Een mooi voorbeeld van een matrix is een digitaal zwart/wit plaatje. Dit bestaat uit pixels en elke pixel heeft een grijswaarde lopend van 0 (zwart) t/m 255 (wit). Een normaal plaatje is bijvoorbeeld 200 px breed en 150 px hoog. Het plaatje is dan een digitale 150×200-matrix met getallen vanaf 0 t/m 255.
Fotobewerkingsprogramma's kunnen zo'n plaatje 20% lichter maken. Je vermenigvuldigt dan alle pixelwaarden met 1,2. Let wel: alle waarden worden afgerond op een geheel getal en alle getallen boven de 255 worden automatisch 255 (witter dan wit kan niet).
Hier zie je een deel van een plaatje als 6×6-matrix. Maak dit plaatje 20% lichter.

Antwoord

1,2 ·  ( 170 238 85 255 221 0 68 136 17 170 119 68 221 0 238 136 0 255 119 255 85 170 136 238 238 17 221 68 119 255 85 170 119 221 17 136 )  =  ( 204 286 102 306 265 0 82 163 20 204 143 82 265 0 287 163 0 306 143 306 102 204 163 287 287 20 265 82 143 306 102 204 143 265 20 163 )  wordt: ( 204 255 102 255 255 0 82 163 20 204 143 82 255 0 255 163 0 255 143 255 102 204 163 255 255 20 255 82 143 255 102 204 143 255 20 163 )

‡

Opgaven

  1. In de Theorie wordt het begrip matrix ingevoerd. Hier zie je de matrix

    M=( 1 7 6 2 3 6 0 4 )

    1. Hoeveel kentallen heeft matrix `M`?
    2. Hoeveel kolommen heeft matrix `M`?
    3. Hoeveel rijen heeft deze matrix?
    4. Welk kental staat er in de tweede rij en in de derde kolom?
    5. Schrijf matrix `M^T` op.

  2. In Voorbeeld 1 wordt de voorraad berekend met behulp van twee 2 × 5-matrices van elkaar af te trekken..
    1. Geef zowel de voorraad als de verkoop kan in een 5 × 2-matrix worden weergegeven. Doe dat en bereken de nieuwe voorraadmatrix.
    2. Bekijk via

      www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Discrete wiskunde > Matrices en grafen > Het begrip matrix > Inleiding

      hoe je matrices in je grafische rekenmachine invoert.
    3. Voer de matrixoptelling van a ook met de grafische rekenmachine uit.

  3. Gegeven zijn de volgende matrices

    A=( 2 −3 1 6 0 5 ) , B=( 3 20 15 5 12 10 )  en C=( 10 8 20 0 7 15 ) .

    1. Welk getal is `c_(3,1)`?
    2. Bereken voor zover mogelijk `A + C`, `A + B`, `5A - C`.
    3. In Voorbeeld 2 zie je hoe je matrices soms kunt optellen door eerst te transponeren. Bereken `A + B^T`.
    4. Ga ook na hoe dit op de grafische rekenmachine gaat.

  4. In Voorbeeld 3 zie je dat een zwart-wit-plaatje (als bitmap) eigenlijk een grote matrix is. Werk met de 6 × 6-matrix die in het voorbeeld is gegeven.
    1. Maak het plaatje 30% donkerder en bereken de nieuwe pixelwaarden (op gehelen nauwkeurig).
    2. Waarom kun je bij a alle kentallen van de matrix met hetzelfde getal vermenigvuldigen en kon dit in het voorbeeld niet?

Verwerken

  1. Een fabrikant van filterkoffie heeft drie variëteiten in de handel, te weten "Roodmerk", "Zilvermerk" en "Goudmerk". In een bepaalde stad verkoopt een supermarktketen de verschillende variëteiten koffie in drie filialen. In een centraal magazijn worden de voorraden opgeslagen. Daar wordt ook per filiaal de voorraad beheerd. Elke dag worden de filialen vanuit dat centrale magazijn bevoorraad. De volgende tabel geeft de vooraad per filiaal, de inkoopprijs en de verkoopprijs van elk van de drie koffievarianten weer.

    RoodmerkZilvermerkGoudmerk
    filiaal 1400200600
    filiaal 25004000
    filiaal 3500700200
    inkoopprijs4,704,905,25
    verkoopprijs5,155,305,90


    De voorraadgegevens zijn van maandagochtend.
    1. Stel een voorraadmatrix `V` op waarin de voorraad per variant per filiaal op maandagochtend staat.
    De filialen krijgen meteen op maandagochtend nieuwe voorraad. De volgende tabel geeft de bestelling weer:

    RoodmerkZilvermerkGoudmerk
    filiaal 12001000
    filiaal 2100200400
    filiaal 31000300


    1. Stel de bijbehorende bestelmatrix `B` op. Doe dit zo dat `V + B` betekenis heeft.
    2. Bereken `V + B`. Welke betekenis heeft `V + B`?
    Hier zie je wat er die maandag aan koffie werd verkocht:

    RoodmerkZilvermerkGoudmerk
    filiaal 1264300410
    filiaal 2306233391
    filiaal 3412530199


    1. Stel de verkoopmatrix `K` op. Doe dit zo dat `V + B - K` betekenis heeft.
    2. Bereken `V + B - K`. Welke betekenis heeft `V + B - K`?
    Je kunt nu op verschillende manieren een prijsmatrix `P` opstellen, waarin per variant de inkoopprijs en de verkoopprijs staan.
    1. Stel een prijsmatrix `P` op.
    2. Hoe kun je met die prijsmatrix en de verkoopmatrix berekenen hoeveel de verkoop op maandag per filiaal aan winst heeft opgebracht?
    3. Hoe kun je met die prijsmatrix en de verkoopmatrix berekenen hoeveel de verkoop op maandag per koffievariant aan winst heeft opgebracht?

  2. Gegeven zijn de matrices

    A=( 3 3 1 2 11 5 −1 5 7 ) , B=( 3 4 −2 12 −4 5 7 10 8 )  en C=( −5 10 −12 6 15 −8 ) .

    1. Welk getal is `b_(2,3)`?
    2. Bereken indien mogelijk `A + B`, `B - 2A`, `A + 3C`.
    3. Waarom kun je bij deze matrices zowel `A + B` als `A^T + B` berekenen?
    4. Bereken `2A + B^T`.

  3. Een bedrijf heeft vestigingen in Apeldoorn, Deventer en Zutphen. De afstanden tussen deze vestigingen bedragen:
    1. Geef de afstanden tussen de vestigingen weer in een 3 × 3-matrix `A`.
    2. De gemiddelde reistijd tussen deze plaatsen is 40 km/uur. Stel een reistijdenmatrix `R` tussen de vestigingen van dit bedrijf op. Geef de reistijden in minuten.
    3. Waarom zal matrix `R` zeer waarschijnlijk geen erg betrouwbare reistijden weergeven?

Testen

  1. Gegeven zijn de matrices

    A=( 5 −2 1 6 10 5 ) , B=( 10 8 −5 12 −5 10 )  en C=( −5 10 −12 6 15 −8 ) .

    1. Welk getal is `a_(1,2)`?
    2. Bereken indien mogelijk `A + B`, `B + C`, `3A - 2B`.
    3. Waarom kun je bij deze matrices wel `A + C^T` maar niet `A + C` berekenen?
    4. Bereken `A + C^T`.

  2. Autobedrijf Dankers verkoopt de Smart Fortwo zowel in filiaal Noord als in filiaal Zuidwijk. De Smart Fortwo is er in verschillende uitvoeringen: de "pure", de "pulse", de "passion" en de "Brabus". De verkoopcijfers voor filiaal Noord waren in mei achtereenvolgens 4 keer de pure, 5 keer de pulse, 8 keer de passion en 2 keer de Brabus. In juni waren de verkoopcijfers in dezelfde volgorde 5, 3, 7 en 1 stuks. Voor filiaal Zuidwijk waren de verkoopcijfers in mei 8 pure, 6 pulse, 9 passion en 5 Brabus en in juni 10 pure, 5 pulse, 11 passion en 4 Brabus.
    1. Geef de verkoopcijfers van filiaal Noord weer in een 2 × 4-matrix `N`.
    2. Geef de verkoopcijfers van filiaal Zuidwijk in eenzelfde matrix `Z` weer.
    3. Bereken `N + Z`. Welke betekenis heeft deze matrix?
    4. Hoe kun je de totale verkoopcijfers van beide filialen samen berekenen?