Differentiequotiënt

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Veranderingen > Differentiequotiënt > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Veranderingen > Differentiequotiënt > Uitleg

Opgaven

1. Voor de afgelegde afstand `s` van een versnellend voorwerp (in m) geldt: `s=1,2t^2`. Hierin is `t` de tijd in seconden. Bekijk eventueel de Uitleg.
   1. Je wilt de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval `[0,6]` berekenen. Bereken eerst `Delta t`.
   2. Bereken vervolgens het verschil in afstand `Delta s`.
   3. Hoeveel bedraagt dus de gemiddelde snelheid op het interval `[0,6]`?
   4. Bereken ook de gemiddelde snelheid op het interval `[6,10]`
   5. Op welk van beide intervallen bewoog het voorwerp bewoog gemiddeld het snelst?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-c > Veranderingen > Differentiequotiënt > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

2. Bekijk eerst Voorbeeld 1. Gegeven is nu de functie `f(x)=(x-2)^2+3`. Je kunt het differentiequotiënt op het interval `[1,5]` in stappen berekenen.
   1. Bereken eerst `Delta x`.
   2. Bereken vervolgens `Delta y=f(5)-f(1)`.
   3. Tenslotte bereken je het differentiequotiënt door delen.
   4. Het is ook een goede oefening om de berekening in één keer te doen. Bereken het differentiequotiënt van `f` op het interval `[-2,4]`. (Rond af op één decimaal)


3. Bij het begin van een berghelling staat een waarschuwingsbord met daarop een helling van 15%. Deze grafiek geeft die berghelling weer. Horizontaal is de afstand uitgezet die je hemelsbreed hebt afgelegd en verticaal de hoogte waarop je je dan bevindt.
   1. Hoeveel bedraagt de gemiddelde hoogteverandering per meter bij zo'n hellingspercentage?
   2. Hoeveel bedraagt de gemiddelde hoogteverandering gerekend over de gehele berghelling?
   3. Klopt het waarschuwingsbord?
   4. Hoeveel bedraagt de gemiddelde hoogteverandering op het interval `[400;500]` ongeveer?
   5. Schat de steilste helling van deze berghelling.


4. Bekijk eerst Voorbeeld 3.
   1. Elke constante functie heeft de vorm `f(x)=c`. Toon aan dat de gemiddelde helling van zo'n functie op elk interval gelijk is aan `0`.
   2. Het prototype van alle kwadratische functies is de functie `f(x)=x^2`. Druk de gemiddelde helling van zo’n functie op het interval `[a,b]` uit in `a` en `b`. (Schrijf de gevonden uitdrukking zo eenvoudig mogelijk.)

Verwerken

5. Je ziet hier een aantal punten op een grafiek.
   
   
   
   1. Bereken de gemiddelde helling van de koorde `AB`.
   2. Bereken de gemiddelde helling van de koorde `CF`.
   3. Bij twee van de getekende punten hoort een differentiequotiënt van `0`.
      Welke twee punten zijn dat? (Er zijn twee mogelijkheden!).
   4. Punt `F` heeft een kleinere `y`-waarde dan punt `C`. Hoe kun je dat aan het differentiequotiënt op het interval `[1,4]` zien?


6. Gegeven is deze grafiek.
   Bereken het differentiequotiënt op het interval `[1,3]`.
   


7. Gegeven de functie `f(x)=x^3-3x^2+6` met domein `[2,4]`.
   1. Bereken het differentiequotiënt op het interval `[0,2]`.
   2. Bereken het differentiequotiënt op het interval `[-1,2]`.
   3. Wat valt je bij b op? Kun je dat verklaren?
   4. Noem een interval waarop de grafiek van `f` stijgend is. En bereken op dat interval het differentiequotiënt.


8. Het afkoelen van een kopje koffie hangt af van de temperatuur van de koffie bij het inschenken en de kamertemperatuur. Ook de vorm en het materiaal waarvan het kopje is gemaakt heeft invloed. De formule `T(t)=20+70*0,82^t` geeft de temperatuur van de koffie.
   1. Wat is de temperatuur van de koffie bij het inschenken?
   2. Hoeveel graden daalt de temperatuur van de koffie gemiddeld in de eerste vijf minuten?
   3. Bereken ook in één decimaal nauwkeurig hoeveel de temperatuur gemiddeld daalt in de volgende vijf minuten.
   4. De temperatuur van de koffie daalt van `t=0` tot `t=5` sneller dan van `t=5` tot `t=10`. Leg uit hoe je dit aan de differentiequotiënten bij b en c kunt zien. Geef er ook een natuurkundige verklaring voor.


9. Gegeven is de functie `f(x)=3x^2`.
   Toon aan dat het differentiequotiënt op elk interval `[a,a+1]` gelijk is aan `6*a+3`.

Testen

10. Bij een wielrenner in een tijdrit worden op bepaalde plaatsen tussentijden genoteerd. Die vind je in de tabel.
    
    

    tijd t (min)	0	10	18	34	44	60	78	94
    afstand a (km)	0	8	12	18	23	29	37	45

    
    
    1. Bereken het differentiequotiënt op het tijdsinterval `[0;10]`.
    2. Welke betekenis heeft dit getal voor de wielrenner?
       1. Het is de afgelegde afstand in die periode.
       2. Het is de snelheid gedurende die periode.
       3. Het is de gemiddelde snelheid gedurende die periode.
    3. Je maakt bij deze tabel een grafiek door de punten met lijnstukken te verbinden. Op de horizontale as komt de tijd t in minuten, op de verticale as de afgelegde afstand `a` in km. Bereken het hellingsgetal van het lijnstuk dat hoort bij het interval `[44,60]`.
    4. Bereken voor het tijdsinterval `[18,44]` de waarde `(Delta a)/(Delta t)` in twee decimalen nauwkeurig.
    5. Welke betekenis hebben de bij c en d gevonden getallen voor de grafiek? (Geef alle goede antwoorden.)
       1. Ze geven de helling weer van het lijnstuk door de punten op de grafiek bij het begin en het eind van het tijdsinterval.
       2. Ze geven de totale toename van de afstand weer op het tijdsinterval.
       3. Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval.


11. Gegeven de functie `f(x)=0,5x^4`.
    Bereken het differentiequotiënt op het interval `[0,2]`.
    


12. Gegeven de functie `f(x)=0,5x^2`.
    Bereken het differentiequotiënt op het interval `[p,2p]` (met `p!=0`).