De abc-formule

Antwoorden bij de opgaven

1. In de figuur zie je dat de oppervlakte van het totale vierkant `(x + 3)^2` is. Deze oppervlakte bestaat uit delen met oppervlaktes `x^2`, `6x` en `9`.
2. `(x - 3)^2 - 8 = 0` geeft `x - 3 = +- sqrt(8)` en dus zijn de nulpunten `(3 - sqrt(8),0)` en `(3 + sqrt(8),0)`.
  In twee decimalen nauwkeurig: `(0,17;0)` en `(5,83;0)`.
3. Ga na dat je dezelfde nulpunten vindt.
4. Top is `(-3,-8)`.
1. `x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16` (Maak eventueel een vierkantje van `x+4` bij `x+4` en verdeel het.)
2. `(x + 4)^2 = 13` geeft `x = -4 +- sqrt(13)`, dus de nulpunten zijn `(-4 +- sqrt(13),0)`.
3. Top `(-4,-13)`.
4. `x = (-8 +- sqrt(52))/2 = -4 +- sqrt(13)`, want `(sqrt(52))/2 = sqrt(52/4)`.
5. Je moet dan nog moeite doen om bijvoorbeeld de top van de grafiek te vinden. Als je eerst de functie herschrijft tot een zuiver kwadratische vorm kun je die meteen aflezen.
1. `2x^2 + 8x = 24` geeft `x^2 + 4x - 12 = (x + 6)(x - 2) = 0` en dus `x = -6 vv x = 2`.
2. `2x^2 + 8x = 24` geeft `x^2 + 4x = 12` en `(x + 2)^2 = 16` zodat `x = -2 - sqrt(16) = -6 vv x = -2 + sqrt(16) = 2`.
3. `x = (-8 +- sqrt(256))/4` geeft `x = -6 vv x = 2`.
4. Het ontbinden gaat meestal het snelst, de `abc`-formule is makkelijk omdat je hem alleen correct moet invullen en geen rekenfouten maken. Het beste kun je het eerst zoeken naar een ontbinding. Pas als je die niet snel vindt gebruik je de `abc`-formule.
1. `x^2 + 12x = 30` geeft `(x + 6)^2 - 36 = 30` en dus `(x + 6)^2 = 66` zodat `x = -6 +- sqrt(66)`.
2. Met de abc-formule vind je waarschijnlijk `x = (-12 +- sqrt(264))/2`.
  Ga zelf na dat dit hetzelfde is als bij a.
1. `f(x) = 2x^2 - 6x + 2 = 2(x - 1,5)^2 - 2,5`.
  Top `(1,5;-2,5)`. Nulpunten `(1,5 +- sqrt(1,25),0)`, dus `(0,38;0)` en `(2,62;0)`.
2. `a=2`, `b=-6` en `c=2` geeft `D = 20`.
3. `D > 0`, dus twee nulpunten.
4. -
5. Midden tussen beide nulpunten zit de symmetrieas: `x = 1,5`. Omdat `f(1,5) = -2,5` vind je dezelfde top als bij a.
1. `3x^2 + 5x - 8 = 0` geeft `x = (-5 +- sqrt(121))/6` en dus `x = -2 2/3 vv x = 1`.
2. `-2 2/3 < x < 1`
1. abc-formule: `x = (1 +- sqrt(13))/2`
2. abc-formule met `D < 0` dus geen oplossingen
3. `2x^2 - 12x + 16 = 0` geeft `x^2 - 6x + 8 = 0` en `(x - 2)(x - 4) = 0`, zodat `x = 2 vv x = 4`
4. abc-formule met `D < 0` dus geen oplossingen
5. `x^2 - 7x - 8 = 0` geeft `(x - 8)(x + 1) = 0` en dus `x = 8 vv x = -1`
1. `f(x) = x^2 + 8x - 20 = (x + 4)^2 - 36`, top `(-4,-36)`.
2. `(x + 4)^2 - 36 = 0` geeft `(x + 4)^2 = 36` en dus `x = -4 +- sqrt(36)` zodat `x = -10 vv x = 2`.
3. `x = (-8 +- sqrt(144))/2`
4. `x^2 + 8x - 20 = (x + 10)(x - 2)`
1. `2x^2 - x + 1 = 10 - 3x` geeft `2x^2 + 2x - 9 = 0` en `x = (-2 +- sqrt(76))/2`.
2. `x < -2,679 vv x > 1,679`
1. `x^2 - 3x - 13 = 0` geeft `x = (3 + - sqrt(61))/2`
2. `x^2 + 30x + 3 = 0` geeft `x = (-30 + - sqrt(888))/2`
3. `2x^2 - 6x = 0` geeft `2x(x - 3) = 0` en `x = 0 vv x = 3`
4. `2x^2 - 12x + 18 = 0` geeft `x^2 - 6x + 9 = 0` en `(x - 3)^2 = 0` zodat `x = 3`
5. `x^2 - 5x + 10 = 0` met `D = -15`, geen oplossingen
6. `x^2 = 60` geeft `x = +-sqrt(60)`
7. `1/3x^2 = 4` geeft `x^2 = 12` en dus `x = +-sqrt(12)`
8. `5x^2 - x + 3 = 0` en `D = -59`, geen oplossingen
1. `(x - 5)(x + 3) = 0` dus `x = 5 vv x = -3`
2. `x^2 + x + 1 = 0` met `D = -3`, dus geen oplossingen
3. `x^2 = 9` dus `x = +-3`
4. `x^2 + 2x - 14 = 0` geeft `x = (-2 +- sqrt(60))/2`
5. `x^2 - x + 7 = 0` met `D = -27`, geen oplossingen
1. Nulpunten `f`: `(+-10,0)`.
  Nulpunten `g`: `(0,0)` en `(20,0)`.
2. `100 - x^2 = 1/2 x^2 - 10x` geeft `3x^2 - 20x - 200 = 0` en `x = (20 +- sqrt(2800))/6`.
  Snijpunten `(-5,49;69,91)` en `(12,15;-47,68)`.
1. Begin met `h(x) = a(x - 5)^2 + 4` en neem `h(0) = 2,5`. Je vindt: `a = -0,06`.
  Dus `h(x) = -0,06(x - 5)^2 + 4`.
2. `h(x) = 3,05` oplossen geeft `x ~~ 1,02 vv x ~~ 8,98`.
  De bal moet dalen om een score op te leveren, dus de speler staat ongeveer 8,98 m voor (het midden van) de basket.