Hoeken en cirkels

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels > Inleiding

Probeer de vraag bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels > Uitleg

Opgaven

  1. Bekijk de Uitleg. Bekijk het bewijs van de stelling.
    1. Bekijk de stelling van de omtrekshoek op de lijst van definities en stellingen. Waarom is hij zo geformuleerd?
    2. Teken nu de situatie dat bij een omtrekshoek ACB het hoekpunt M van de bijbehorende middelpuntshoek AMB niet binnen `Delta ABC` ligt.
    3. Bewijs de stelling van de omtrekshoek ook voor de in b beschreven situatie.

  2. Op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B staat de stelling van Thales.
    1. Leg uit waarom die stelling een bijzonder geval is van de stelling van de omtrekshoek.
    2. Als `AB` een koorde is die niet door het middelpunt `M` van de cirkel gaat en `P` is een punt op de cirkel, is `/_ ACB` dan groter of kleiner dan `90`°?

  3. Waarom volgt uit de stelling van Thales dat een rechthoek een vierhoek is waarvan alle hoekpunten op een cirkel liggen?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Vierhoeken en cirkels > Hoeken en cirkels > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 wordt de omgekeerde stelling van Thales bewezen.
    1. Waarom betekent deze stelling dat elke rechthoek een omgeschreven cirkel heeft?
    2. Waarom betekent deze stelling dat de hoekpunten van twee rechthoekige driehoeken met dezelfde schuine zijde op een cirkel liggen?

  2. Gegeven is `Delta ABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE`.
    Bewijs dat de punten `A`, `B`, `D` en `E` op één cirkel liggen.

  3. In Voorbeeld 2 wordt stelling dat bij gelijke bogen gelijke koorden horen en omgekeerd.
    1. Welke twee stellingen worden er bewezen?
    2. Bewijs de stelling: "Bij gelijke omtrekshoeken horen gelijke koorden en omgekeerd."

  4. Bereken in deze figuur alle voorkomende hoeken.

  5. In Voorbeeld 3 wordt de stelling loodlijn op koorde bewezen.
    In een cirkel zijn twee evenwijdige koorden getekend. Bewijs dat de middelloodlijn van de éne koorde ook de middelloodlijn van de andere koorde is.

  6. In Voorbeeld 4 wordt een stelling bewezen die niet op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B staat.
    1. Probeer zelf dit bewijs te leveren zonder het antwoord erbij te hebben.
    2. Bekijk nu het bewijs dat in het voorbeeld wordt geleverd. Er is verzuimd om te melden welk gelijkvormigheidskenmerk wordt gebruikt. Welk gelijkvormigheidskenmerk is dat?

  7. Op een cirkel liggen, in deze volgorde, de punten `A`, `B`, `C`, `D` en `P`. Verder is `/_ APB = /_ CPD`.
    Bewijs dat `|AC| = |BD|`.

Verwerken

  1. In een cirkel met middelpuntMis AB een koorde, maar geen middellijn. `P` is een punt op de cirkel en `/_APB < 90°`.
    Bewijs dat `P` aan dezelfde kant van `AB` ligt als `M`. (Geef een bewijs uit het ongerijmde; gebruik daarbij een middellijn door A.)

  2. In een cirkel met middelpunt M is AB een koorde, maar geen middellijn. `P` is een punt op de cirkel aan dezelfde kant van `AB` als `M`. Je gaat bewijzen dat `/_APB < 90°`.
    1. Ga na: als `M` in `Delta ABP` ligt is `/_APB < 90°` (aanwijzing: trek de lijn door `A` en `M`).
    2. Als `M` niet in `Delta ABP` ligt is ook `/_APB < 90°`. Bewijs dat door het resultaat van a te gebruiken. En bewijs dat ook door de methode van a te gebruiken.
    3. Vat nu je resultaten uit deze en de voorgaande opgave samen in één stelling. Neem daarin de stelling van Thales op als speciaal geval.

  3. Bij een koorde horen een middelpuntshoek en omtrekshoeken. Omgekeerd hoort bij een middelpuntshoek of een omtrekshoek een koorde, namelijk die tussen de snijpunten van de benen met de cirkel.
    1. Bewijs: als twee middelpuntshoeken, elk kleiner dan `180°`, gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.
    In het volgende mag je gebruiken: bij een omtrekshoek die kleiner dan `90°` is ligt het hoekpunt aan dezelfde kant van de koorde als het middelpunt.
    1. Bewijs: als twee omtrekshoeken, elk kleiner dan `90°`, gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.

  4. Bewijs dat in de situatie van deze figuur geldt: `|DC| = |DE|`.

  5. Door een punt `P` buiten de cirkel `c` worden twee halflijnen getrokken. De éne snijdt `c` eerst (vanaf `P` gezien) in `A` en dan in `B`, de andere eerst in `C` en dan in `D`.
    1. Bewijs dat uit `Delta PBD` is gelijkbenig volgt dat `Delta PAC` gelijkbenig is en omgekeerd.
    2. Bewijs dat uit `|AB| = |CD|` volgt dat `|AD| = |BC|` en omgekeerd.
    3. Bewijs dat uit `Delta PBD` is gelijkbenig volgt `|AB| = |CD|` en omgekeerd.

Testen

  1. In de figuur geldt: `/_APB = /_CPD`. Bewijs dat `|AC| = |BD|`.




  2. `A`, `C` en `D` zijn drie punten op een cirkel. `B` ligt op `AD` zo, dat `|AB| = |AC|`. Bewijs dat `|BE| = |ED|`.

  3. Bewijs dat twee rechthoekige driehoeken met dezelfde schuine zijde dezelfde omgeschreven cirkel hebben.

  4. Een gelijkbenige rechthoekige driehoek `ABC` ligt op een vel papier. `AB` is de schuine zijde. `A` ligt op de linkerrand van het papier en `B` op de onderrand. `D` is het hoekpunt linksonder van het papier. Beginnend met `B` in `D` beweegt de driehoek over het papier waarbij `B` langs de onderrand schuift en `A` langs de linkerrand.
    1. Bewijs dat `C` daarbij beweegt over de bissectrice van `/_D`.
    2. Bewijs dat het midden `M` van `AB` een kwartcirkel beschrijft.
    (Bron: examen vwo wiskunde B1,2 in 2001)