Vierhoeken

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Een definitie is alleen een afspraak, bijvoorbeeld wat een rechthoek is, of een driehoek, etc. Een stelling is een bewering waarvan je hebt aangetoond dat hij volgt uit de aannames, de axioma's en de definities.
   2. De congruentie volgt uit `/_ ABD = /_ CDB` (Z-hoeken), `/_ ABD = /_ DBC` (Z-hoeken) en `|DB| = |BD|`. (HZH)
   3. Uit de congruentie van `Delta ABD` en `Delta CDB` volgt dat `|AB| = |CD|` en `|AD| = |BC|`.
   4. Gegeven: vierhoek `ABCD` met `|AB| = |CD|` en `|AD| = |BC|`.
      Te bewijzen: `ABCD` is een parallellogram.
      Bewijs: Omdat `|AB| = |CD|` en `|AD| = |BC|` en `|BD| = |DB|` zijn `Delta ABD` en `Delta CDB` congruent. (ZZZ)
      Daarom is `/_ ABD = /_ CDB` en dus `AB // CD`. (Z-hoeken)
      Daarom is `/_ ABD = /_ DBC` en dus `AD // BC`. (Z-hoeken)
      En dus is vierhoek `ABCD` een parallellogram. (Definitie parallellogram)
      Q.e.d.


2. Zie Voorbeeld 2.
   


3. 1. Zie Voorbeeld 3.
   2. Gegeven: vierhoek `ABCD` waarin de diagonalen `AC` en `BD` elkaar middendoor delen, het snijpunt is `S`.
      Te bewijzen: `ABCD` is een parallellogram.
      Bewijs: Omdat `|AS| = |SC|` en `|BS| = |SD|` en `/_ ASB = /_ DSC` (Overstaande hoeken) zijn `Delta ABS` en `Delta CSD` congruent. (ZHZ)
      Daarom is `/_ ABD = /_ CDB` en dus `AB // CD`. (Z-hoeken)
      Daarom is `/_ ABD = /_ DBC` en dus `AD // BC`. (Z-hoeken)
      En dus is vierhoek `ABCD` een parallellogram. (Definitie parallellogram)
      Q.e.d.


4. 1. Omdat `BD` nu buiten de vierhoek ligt.
   2. Bewijs: Trek diagonaal `AC`. De hoeken van de driehoeken `Delta ABC` en `Delta ACD` zijn `180`°. Dus `/_ ABC + /_ ACB + /_ BAC = 180`° en `/_ ADC + /_ ACD + /_ DAC = 180`°. Dit betekent `/_ ABC + /_ BCD + /_ CDB + /_ DAC = /_ ABC + /_ ACB + /_ BAC + /_ ADC + /_ ACD + /_ DAC = 360`°.


5. Verdeel de vijfhoek met behulp van twee diagonalen in drie driehoeken.
   


6. 1. Doen.
   2. Gegeven: ruit `ABCD`.
      Te bewijzen: in `ABCD` delen de diagonalen de hoeken middendoor.
      Bewijs: Alle zijden van `ABCD` zijn even lang (Definitie ruit). Bekijk diagonaal `BD`. Omdat alle zijden van de ruit gelijk zijn en `|BD| = |DB|` zijn `Delta ABD` en `Delta CDB` congruent. (ZZZ)
      Daarom is `/_ ADB = /_ CDB` en `/_ ABD = /_ ADC` en dus deelt `BD` de hoeken middendoor.
      Op dezelfde manier toon je dit voor `AC` aan.
      Q.e.d.


7. Gegeven: parallellogram `ABCD` waarin diagonaal `AC` de hoeken middendoor deelt.
   Te bewijzen: `ABCD` is een ruit.
   Bewijs: `/_ BAC = /_ CAD` en `/_ ACB = /_ ACD` en `|AC| = |CA|` dus `Delta ABC` en `Delta ACD` zijn congruent. (HZH)
   Dit betekent dat `|AB| = |AD|` en `|BC| = |CD|`.
   Verder is `|AB| = |CD|` en `|BC| = |AD|`. (Stelling parallellogram)
   Hieruit volgt dat alle zijden van de vierhoek even lang zijn en de vierhoek dus een ruit is. (Definitie ruit)
   Q.e.d.
   


8. Gegeven: parallellogram `ABCD` waarin de diagonalen `AC` en `BD` even lang zijn.
   Te bewijzen: `ABCD` is een rechthoek.
   Bewijs: In een parallellogram zijn de overstaande zijden even groot en evenwijdig. (Definitie en stelling parallellogram)
   In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor. (Stelling parallellogram)
   Omdat de diagonalen even lang zijn, zijn de vier driehoeken waarin het parallellogram door beide diagonalen wordt verdeeld congruent en gelijkbenig. En dus zijn deze driehoek gelijkbenig en rechthoekig. Ze hebben daarom twee hoeken van `45`° en één hoek van `90`°. En daarom zijn alle hoeken van de vierhoek recht. De vierhoek is dus een rechthoek. (Definitie rechthoek)
   Q.e.d.
   


9. Omdat een vierkant een ruit is (Definitie vierkant) en daarom ook een parallellogram is (Stelling ruit). In een ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor. (Stelling ruit) En in een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor. (Stelling parallellogram)
   


10. 1. Gegeven: vlieger `ABCD` waarin diagonaal `AC` diagonaal `BD` loodrecht middendoor deelt in punt `S`.
       Te bewijzen: `/_ BAS = /_ DAS` en `/_ BCS = /_ DCS`.
       Bewijs: Omdat diagonaal `AC` diagonaal `BD` loodrecht middendoor deelt in punt `S` is `|BS| = |DS|` en zijn de vierhoeken met hoekpunt `S` allemaal `90`°.
       Omdat `|DS| = |BS|`, `|AS| = |AS|` en `/_ ASB = /_ ASD = 90`° zijn `Delta ABS` en `Delta ADS` congruent. (ZHZ)
       En daarom is `/_ BAS = /_ DAS`.
       Op dezelfde manier toon je aan dat `Delta CBS` en `Delta CDS` congruent zijn en dus `/_ BCS = /_ DCS`.
       Q.e.d.
    2. In een ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor. (Stelling ruit)


11. 1. Nee, teken één tegenvoorbeeld.
    2. Als ze even grote zijden hebben. Alle vierkanten hebben dezelfde vorm en zijn dus gelijkvormig. Als ook nog de zijden even lang zijn, zijn ze automatisch congruent.
    3. Ja, het bewijs gaat zo:
       Gegeven: rechthoek `ABCD` met diagonaal `AC`.
       Te bewijzen: `Delta ABC` en `Delta CDA` zijn congruent.
       Bewijs: Omdat de rechthoek een parallellogram is (Stelling rechthoek) is `|AB| = |CD|` en `|BC| = |DA|` (Stelling parallellogram).
       Verder is `|AC| = |AC|`. Dus zijn `Delta ABC` en `Delta CDA` congruent. (ZZZ)
       Q.e.d.
    4. Ja, ze zijn gelijkbenig en twee aan twee congruent.
       Gegeven: `ABCD` is een rechthoek.
       Te bewijzen: De driehoeken `ABS`, `BCS`, `CDS` en `DAS` zijn gelijkbenig. `Delta ABS` en `Delta CDS` zijn congruent en `Delta BCS` en `Delta DAS` zijn congruent.
       Bewijs: Diagonalen in een rechthoek zijn gelijk en delen elkaar middendoor, dus de driehoeken `ABS`, `BCS`, `CDS` en `DAS` zijn gelijkbenig. (Stelling rechthoek)
       `|AS| = |CS|`, `|BS| = |DS|` en `|AB| = |CD|` dus `Delta ABS` en `Delta CDS` zijn congruent. (ZZZ) Zo ook geldt: `Delta BCS` en `Delta DAS` zijn congruent. (ZZZ)
       Q.e.d.


12. 1. Doen.
    2. Gegeven: Rechthoek `ABCD`. `S` is het snijpunt van `AC` en `BD`.
       Te bewijzen: Middelloodlijn van `AB` gaat door `S`.
       Bewijs: `|AC| = |BD|`. (Stelling rechthoek)
       Een rechthoek is een parallellogram (Stelling rechthoek) en dus delen de diagonalen elkaar middendoor (Stelling parallellogram). Dus is `|AS| = |BS|`. Dus is `S` een punt van de middelloodlijn van `AB` (Stelling middelloodlijn).
       Q.e.d.


13. 1. Gegeven: Trapezium `ABCD` met `AB // CD`, `|AS| = |SD|` en `|BR| = |RC|`.
       Te bewijzen: `SR` is evenwijdig met `AB` en `CD`.
       Bewijs: Trek `PQ` door `R` evenwijdig aan `AD` met `P` op (het verlengde van) `AB` en `Q` op (het verlengde van) `CD`. Dan is `APQD` een parallellogram. (Definitie parallellogram)
       Teken lijn `BS`. `S` en `R` zijn de middens van `AD` en `PQ` en `|AD| = |PQ|` (Stelling paralelllogram) dus `|AS| = |PR|`. Verder is `|BS| = |SB|` en `/_ ASB = /_ RBS`. Dus zijn `Delta ABS` en `Delta RBS` congruent. (ZHZ) Daarom is `/_ ABS = /_ BSR` en is `AB // SR`. (Z-hoeken)
       Q.e.d.
    2. Als `ABCD` een trapezium is met `AB` evenwijdig met `CD` en `P` en `Q` verdelen de opstaande ribben in de verhouding `1 : a`, dan is `PQ` evenwijdig met `AB` en `DC`. Het bewijs is vergelijkbaar met dat bij a.
    3. Gegeven: `ABCD` is een trapezium met `AB // CD` en `|AD| = |BC|`.
       Te bewijzen: `/_ A = /_ B` en `/_ C = /_ D`.
       Bewijs: Trek de loodlijnen `DP` en `CQ` op `AB`. `PQCD` is een rechthoek. (Defintie parallellogram en stelling rechthoek) Omdat `|DP| = |CQ|` (Stelling rechthoek en stalling parallellogram), `|AD| = |BC|` en `/_ P = /_ Q = 90`° zijn `Delta APD` en `Delta BQC` congruent. (ZZR) Dus `/_ A = /_ B`. Verder is `/_ PDA = /_ QCB` en `/_ PDC = /_ QCD = 90`° en dus `/_ C = /_ D`.
       Q.e.d.
    4. Gegeven: `ABCD` is een trapezium met `AB // CD` en `/_ A = /_ B`.
       Te bewijzen: `|AD| = |BC|`.
       Bewijs: Trek de loodlijnen `DP` en `CQ` op `AB`. `PQCD` is een rechthoek. (Defintie parallellogram en stelling rechthoek) Omdat `DP = CQ` (Stelling rechthoek en stalling parallellogram), `/_ A = /_ B` en `/_ P = /_ Q = 90`° zijn `Delta APD` en `Delta BQC` congruent. (ZHH) Dus `/_ A = /_ B`.
       Q.e.d.


14. 1. Teken de figuur.
       Gegeven: `ABCD` is een parallellogram met `|AE| = |ED|` en `|BF| = |FC|`.
       Te bewijzen: `Delta ASE` en `Delta CSF` zijn congruent.
       Bewijs: `BC // AD` (Definitie parallellogram) en `AD = BC` (Stelling parallellogram). Omdat `/_ SAE = /_ FCS` (Z-hoeken), `/_ ASE = /_ FSC` (Overstaande hoeken) en `|AE| = |CF| = 1/2 |BC|` zijn `Delta ASE` en `Delta CSF` congruent.
       Q.e.d.
    2. Te bewijzen: `|AB| = |EF|`.
       Bewijs: Ga verder met het voorgaande bewijs bij a.
       Uit de congruentie van `Delta ASE` en `Delta CSF` volgt `|ES| = |SF|` en `|CS| = |AS|`. Dus `|AC| = 2|AS|`. Omdat ook `|CF| = 2|CD|` en `/_SCF = /_ACB` zijn de driehoeken `SCF` en `ACB` gelijkvormig. (zhz)
       De vergrotingsfactor is `2`, dus `|AB| = 2|SE| = |SE| + |SF| = |EF|`.
       Q.e.d.
    3. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken `SCF` en `ACB` volgt dat `SF` is evenwijdig met `AB`, dus `ABFS` is een trapezium. Je kunt net zo'n soort redenering als bij b houden voor de gelijkvormigheid van de driehoeken `ASE` en `ACD`. Hieruit volgt dat `ES` is evenwijdig met `DC`, dus `ESCD` is een trapezium.


15. Gegeven: `ABCD` is een parallellogram. `AC` deelt `/_ A` middendoor: `/_ BAC = /_ CAD`.
    Te bewijzen: `ABCD` is een ruit.
    Bewijs: Omdat `ABCD` een parallellogram is, is `AB` evenwijdig met `CD` en `BC` evenwijdig met `AD`. Dus: `/_ BAC = /_ ACD = /_ CAD = /_ ACB`. (Z-hoeken) Verder is `|AC| = |CA|` en dus zijn de driehoeken `ABC` en `ACD` zowel gelijkbenig (Definitie gelijkbenige driehoek) als congruent (HZH).
    En daarom is `ABCD` een ruit. (Definitie ruit)
    Q.e.d.
    


16. 1. De structuur van het bewijs is:
       Een ruit bestaat uit vier congruente rechthoekige driehoeken. De hoogtelijn uit de rechte tophoek op de schuine zijde zijn even lang. De ingeschreven cirkel heeft een straal die gelijk is aan de lengte van de hoogtelijnen.
    2. De structuur van het bewijs is:
       Een parallellogram bestaat uit twee paar congruente driehoeken. Voor een ingeschreven cirkel moeten de hoogtelijnen op de zijden gelijk zijn. De rechthoekige driehoeken met die hoogtelijnen als zijden en één hoekpunt van het paralelllogram als hoekpunt zijn dan congruent. En dus deelt een diagonaal de hoek bij dit hoekpunt doormidden. En dan is het parallellogram een ruit.