Bijzondere lijnen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen > Inleiding

Bekijk bij Verkennen welke bijzondere lijnen je in driehoeken kunt tekenen. Beantwoord de vragen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen > Uitleg

Opgaven

1. In de Uitleg zie je een zwaartelijn in een driehoek `ABC`.
   1. Teken een driehoeken `ABC` met daarin alle drie de zwaartelijnen.
   2. Gaan de drie zwaartelijnen door één punt? Kun je dit bewijzen?


2. Bewijs: Als in een driehoek de hoogtelijn en de zwaartelijn uit hetzelfde hoekpunt samenvallen, dan is die lijn ook bissectrice van deze hoek en is de driehoek gelijkbenig.
   


3. Bewijs de volgende stellingen over hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices in een gelijkbenige driehoek.
   1. In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange hoogtelijnen.
   2. In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange zwaartelijnen.
   3. In een gelijkbenige driehoek zijn er twee even lange bissectrices.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 wordt bewezen dat de drie bissectrices van een driehoek `ABC` door één punt gaan.
   1. Loop het bewijs na. Welke congruentiekenmerken worden gebruikt?
   2. Waarom kun je een cirkel trekken met middelpunt `M` die precies alle drie de zijden van `Delta ABC` raakt?


5. Teken (met GeoGebra of maak een paar voorbeelden) een driehoek `ABC` met daarin de drie middelloodlijnen van de zijden.
   1. Bewijs dat deze drie middelloodlijnen door één punt `M` gaan.
   2. Ligt punt `M` altijd binnen de driehoek? Wanneer wel en wanneer niet?
   3. Waarom kun je een cirkel met middelpunt `M` tekenen door de hoekpunten van de driehoek?
   4. Waarom kun je door drie willekeurige punten die niet op één rechte lijn liggen altijd een cirkel tekenen?


6. In Voorbeeld 2 wordt bewezen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek `ABC` door één punt gaan.
   1. Teken een driehoek `ABC` met daarin de drie hoogtelijnen.
   2. Bewijs dat die drie hoogtelijnen door één punt gaan. Teken daartoe `Delta DEF` door een lijn door `A` en evenwijdig `BC`, door `B` en evenwijdig `AC`en door `C`een lijn evenwijdig aan `AB` te trekken. Gebruik het resultaat van de vorige opgave.


7. Bekijk het bewijs dat een bissectrice van een hoek in een driehoek de overstaande zijde verdeelt in stukken met dezelfde verhouding als de zijden op de benen van die hoek, zie Voorbeeld 3.
   1. Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van `/_C`.
   2. Stel je voor dat in `Delta ABC` geldt: `|AB| = 8`, `|BC| = 4` en `|AC| = 6`. `BD` is de bissectrice van `/_B`. Bereken de lengtes van `AD` en `CD`.

Verwerken

8. `A` en `B` zijn punten van een cirkel. Bewijs dat de middelloodlijn van `AB` door het middelpunt `M` van de cirkel gaat.
   


9. Bewijs: Een driehoek die twee gelijke zwaartelijnen heeft is gelijkbenig.
   (Je kunt hier werken met de stelling dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in een verhouding van 1 : 2.)
   


10. In `Delta ABC` is `h_A` de lengte van de hoogtelijn uit `A` op `BC` en `h_B` die op `AC`. `|BC| = a` en `|AC| = b`.
    1. Bewijs met gelijkvormigheid dat `h_A : h_B = b : a`.
    2. Bewijs deze stelling ook door formules voor de oppervlakte van een driehoek te gebruiken.


11. Een hoek in een driehoek heeft twee buitenhoeken. Dat zijn de hoeken met de verlengde van de zijden. De hoek zelf en een buitenhoek zijn dus samen altijd 180°. De bissectrice van een buitenhoek heet de buitenbissectrice van die hoek.
    1. Bewijs dat bij een driehoek `ABC` de bissectrice van `/_A` en de buitenbissectrices bij `B` en `C` door één punt gaan.
    2. Bewijs dat de bissectrice van de hoek loodrecht staat op de buitenbissectrice van de bijbehorende buitenhoek.
    3. Bewijs: als in een hoekpunt van een driehoek de buitenbissectrice loodrecht staat op de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt, dan is de driehoek gelijkbenig.

Testen

12. In `Delta ABC` is `D` het snijpunt van de hoogtelijn uit `A` op `BC` en `E` het snijpunt van de hoogtelijn uit `B` op `AC`.
    Gegeven is dat `/_A > 90`°. Bewijs dat `/_ABC = /_DEC`.
    


13. Van een driehoek is gegeven dat voor twee van zijn zijden geldt: hun middelloodlijn gaat door het overstaande hoekpunt. Toon aan dat de driehoek gelijkzijdig is.