Bijzondere lijnen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Doen.
   2. Stelling: De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
      Bewijs: Laat ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ zwaartelijnen zijn in een driehoek ${\displaystyle ABC}$, en ${\displaystyle Z}$ hun snijpunt. Omdat ${\displaystyle \Delta CED~\Delta CAB}$ (hh) en ${\displaystyle \left|CE\right|:\left|CA\right|=1:2}$ is ook ${\displaystyle \left|DE\right|:\left|AB\right|=1:2}$. Ook is ${\displaystyle \Delta ZDE~\Delta ZAB}$ (hh). Omdat ${\displaystyle \left|DE\right|:\left|AB\right|=1:2}$ is ook ${\displaystyle \left|ZE\right|:\left|ZB\right|=1:2}$ en ${\displaystyle \left|ZD\right|:\left|ZA\right|=1:2}$.
      Twee zwaartelijnen verdelen elkaar dus in de verhouding 1 : 2. Maar dan moet de zwaartelijn uit ${\displaystyle C}$ die uit ${\displaystyle A}$ ook zo verdelen, dus door ${\displaystyle Z}$ gaan. De drie zwaartelijnen gaan dus door één punt. Dat heet het zwaartepunt van de driehoek. Q.e.d.
      (Deze stelling staat ook in de lijst definities/stellingen voor de vlakke meetkunde voor vwo wiskunde B, dus een bewijs is eigenlijk niet nodig, maar wel een goede oefening.)
2. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ en ${\displaystyle AD}$ is hoogtelijn en zwaartelijn in deze driehoek.
   Te bewijzen: ${\displaystyle AD}$ is bissectrice.
   Bewijs: ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|AD\right|}$, ${\displaystyle \angle BDA=\angle CDA=90}$° en ${\displaystyle \left|BD\right|=\left|DC\right|}$ geeft ${\displaystyle \Delta ABD\cong \Delta ACD}$ (ZHZ). En dus is ${\displaystyle \angle BAD=\angle CAD}$. Q.e.d.
3. 1. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met ${\displaystyle AC=BC}$ en ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ als hoogtelijnen.
      Te bewijzen: ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$.
      Bewijs: ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BA\right|}$, ${\displaystyle \angle D=\angle E=90}$° en ${\displaystyle \angle A=\angle B}$ (stelling gelijkbenige driehoeken) geeft ${\displaystyle \Delta ABD\cong \Delta BAE}$ (ZHH). En dus is ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$. Q.e.d.
   2. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met ${\displaystyle AC=BC}$ en ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ als zwaartelijnen.
      Te bewijzen: ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$.
      Bewijs: ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BA\right|}$, ${\displaystyle \angle A=\angle B}$ (stelling gelijkbenige driehoeken) en ${\displaystyle \left|AE\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|=\left|BD\right|}$ geeft ${\displaystyle \Delta ABD\cong \Delta BAE}$ (ZZH). En dus is ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$. Q.e.d.
   3. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met ${\displaystyle AC=BC}$ en ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ als deellijnen.
      Te bewijzen: ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$.
      Bewijs: ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BA\right|}$, ${\displaystyle \angle A=\angle B}$ (stelling gelijkbenige driehoeken) en ${\displaystyle \angle BAD=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\angle B=\angle ABE}$ geeft ${\displaystyle \Delta ABD\cong \Delta BAE}$ (ZHH). En dus is ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|BE\right|}$. Q.e.d.
4. 1. Congruentiekenmerken ZZH en ZZR.
   2. Omdat ${\displaystyle MD=ME=MF}$ gaat er een cirkel door de punten ${\displaystyle D,E}$ en ${\displaystyle F}$. Omdat alle drie de lijnstukken loodrecht staan op een zijde van de driehoek zijn deze zijden raaklijnen van de cirkel.
5. 1. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met middelloodlijnen op ${\displaystyle AB}$ en ${\displaystyle BC}$. Het snijpunt van deze middelloodlijnen is ${\displaystyle M}$, het midden van ${\displaystyle AB}$ is ${\displaystyle D}$ en het midden van ${\displaystyle BC}$ is ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle FM}$ is de lijn door ${\displaystyle M}$ en het midden ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle AC}$.
      Te bewijzen: ${\displaystyle MF\perp AC}$. Bewijs: Omdat ${\displaystyle MD}$ de middelloodlijn van ${\displaystyle AB}$ is, is ${\displaystyle \Delta ADM\cong \Delta BDM}$ (ZHZ) en dus is ${\displaystyle \left|AM\right|=\left|BM\right|}$.
      Op dezelfde manier is ${\displaystyle \left|BM\right|=\left|CM\right|}$.
      Daarom is ${\displaystyle \left|AM\right|=\left|CM\right|}$. Bovendien is ${\displaystyle \left|AF\right|=\left|FC\right|}$ en ${\displaystyle \left|FM\right|=\left|FM\right|}$, zodat ${\displaystyle \Delta AFM\cong \Delta CFM}$ (ZZZ).
      En daarom is ${\displaystyle \angle AFM=\angle CFM=90}$° zodat ${\displaystyle MF\perp AC}$. Q.e.d.
   2. ${\displaystyle M}$ ligt binnen de driehoek ${\displaystyle ABC}$ als deze driehoek scherphoekig is, anders niet.
   3. Omdat ${\displaystyle \left|MA\right|=\left|MB\right|=\left|MC\right|}$.
   4. Ja.
6. 1. Doen.
   2. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met drie hoogtelijnen. Het snijpunt van deze hoogtelijnen is ${\displaystyle H}$.
      Te bewijzen: Alle drie de hoogtelijnen gaan door ${\displaystyle H}$. Bewijs: Teken ${\displaystyle \Delta DEF}$ door een lijn door ${\displaystyle A}$ en evenwijdig ${\displaystyle BC}$, door ${\displaystyle B}$ en evenwijdig ${\displaystyle AC}$en door ${\displaystyle C}$een lijn evenwijdig aan ${\displaystyle AB}$ te trekken. De hoogtelijnen van ${\displaystyle \Delta ABC}$ zijn middelloodlijnen van ${\displaystyle \Delta DEF}$ en gaan dus door één punt (zie vorige opgave). Q.e.d.
7. 1. Trek een lijn door B en evenwijdig AC.
      Punt E is het snijpunt van de bissectrice CD met deze lijn.
      Nu is ∠BED = ∠ACD (Z-hoeken) en dus is AC = BC (gelijkbenige driehoek CEB).
      Verder zijn de driehoeken ACD en BED gelijkvormig (hh).
      Dus: AD / DB = AC / EB = AC / BC. Q.e.d.
   2. ${\displaystyle AD=\frac{8}{12}\cdot 6=4}$ en ${\displaystyle DC=\frac{4}{12}\cdot 6=2}$.
8. Gegeven: Cirkel met middelpunt ${\displaystyle M}$. Punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ op de cirkel en lijn door ${\displaystyle M}$ en het midden ${\displaystyle P}$ van ${\displaystyle AB}$.
   Te bewijzen: ${\displaystyle MP\perp AB}$.
   Bewijs: Uit ${\displaystyle \left|MA\right|=\left|MB\right|}$, ${\displaystyle \left|MP\right|=\left|MP\right|}$ en ${\displaystyle \left|AP\right|=\left|PB\right|}$ volgt ${\displaystyle \Delta BPM\cong \Delta APM}$ (ZZZ). En dus is ${\displaystyle \angle BPM=\angle APM=90}$°. Q.e.d.
9. 1. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met de hoogtelijnen ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ en ${\displaystyle \left|AD\right|=h_A}$, ${\displaystyle \left|BE\right|=h_B}$, ${\displaystyle \left|BC\right|=a}$ en ${\displaystyle \left|AC\right|=b}$.
      Te bewijzen: ${\displaystyle h_A:h_B=b:a}$.
      Bewijs: Uit ${\displaystyle \angle D=\angle E={90}^{\text{o}}}$ en ${\displaystyle \angle C=\angle C}$ volgt ${\displaystyle \Delta ADC~\Delta BEC}$ (hh). Daaruit volgt: ${\displaystyle \frac{h_A}{b}=\frac{h_B}{a}}$. En dat levert op ${\displaystyle h_A:h_B=b:a}$. Q.e.d.
   2. Nu gebruik je dat de oppervlakte van ${\displaystyle \Delta ABC}$ is te schrijven als ${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_A}$ en ook als ${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot b\cdot h_B}$.
10. 1. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$, de bissectrice van ${\displaystyle \angle A}$ en de buitenbissectrices van ${\displaystyle \angle B}$ en ${\displaystyle \angle C}$.
       Te bewijzen: De drie bissectrices gaan door punt ${\displaystyle S}$, het snijpunt van de bissectrice van ${\displaystyle \angle A}$ en de buitenbissectrice van ${\displaystyle \angle B}$.
       Bewijs: Punten op een bissectrice hebben gelijke afstanden tot de benen van de hoek. Dus:
       ${\displaystyle S}$ ligt op de bissectrice van ${\displaystyle \angle A}$: de afstand van ${\displaystyle S}$ tot ${\displaystyle AB}$ is gelijk aan de afstand tot ${\displaystyle AC}$.
       ${\displaystyle S}$ ligt op de buitenbissectrice van ${\displaystyle \angle B}$: de afstand van ${\displaystyle S}$ tot ${\displaystyle AB}$ is gelijk aan de afstand tot ${\displaystyle BC}$.
       Dan is de afstand van ${\displaystyle S}$ tot ${\displaystyle AC}$ gelijk aan de afstand tot ${\displaystyle BC}$, dus ${\displaystyle S}$ is een punt van de buitenbissectrice van ${\displaystyle \angle C}$. De drie bissectrices gaan door punt ${\displaystyle S}$. Q.e.d.
    2. Gegeven: De bissectrice en de buitenbissectrice van ${\displaystyle \angle A}$. De binnenhoek wordt verdeeld in ${\displaystyle \angle A_1}$ en ${\displaystyle \angle A_2}$ en de buitenhoek in ${\displaystyle \angle A_3}$ en ${\displaystyle \angle A_4}$
       Te bewijzen: De twee bissectrices staan loodrecht op elkaar.
       Bewijs: ${\displaystyle AD}$ is de bissectrice van ${\displaystyle \angle A}$, dus ${\displaystyle \angle A_1=\angle A_2}$. De buitenbissectrice deelt de hoek middendoor, dus ${\displaystyle \angle A_3=\angle A_4}$. Bekend is dat ${\displaystyle \angle A_1+\angle A_2+\angle A_3+\angle A_4={180}^{\text{o}}}$. Dan is ${\displaystyle \angle A_2+\angle A_3={90}^{\text{o}}}$. Q.e.d.
    3. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met zwaartelijn ${\displaystyle AD}$. De buitenbissectrice van ${\displaystyle \angle A}$ staat loodrecht op de zwaartelijn ${\displaystyle AD}$.
       Te bewijzen: ${\displaystyle \Delta ABC}$ is gelijkbenig.
       Bewijs: Omdat ${\displaystyle \angle BAD}$ samen met de halve buitenhoek 90° is en dit ook geldt voor ${\displaystyle \angle DAC}$ en de andere halve buitenhoek, is ${\displaystyle \angle BAD=\angle DAC}$. En omdat ook ${\displaystyle \left|AD\right|=\left|AD\right|}$ en ${\displaystyle \left|BD\right|=\left|DC\right|}$ is ${\displaystyle \Delta BAD\cong \Delta CAD}$ (ZZH). Dus is ${\displaystyle \angle B=\angle C}$ en is ${\displaystyle \Delta ABC}$ gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek). Q.e.d.
11. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ met de hoogtelijnen ${\displaystyle AD}$ en ${\displaystyle BE}$ en ${\displaystyle \angle A>90}$°. (${\displaystyle E}$ ligt op het verlengde van ${\displaystyle CA}$.)
    Te bewijzen: ${\displaystyle \angle ABC=\angle DEC}$.
    Bewijs: Uit ${\displaystyle \angle D=\angle E={90}^{\text{o}}}$ en ${\displaystyle \angle C=\angle C}$ volgt ${\displaystyle \Delta ADC~\Delta BEC}$ (hh). Daaruit volgt: ${\displaystyle \frac{\left|DC\right|}{\left|EC\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}}$. En samen met ${\displaystyle \angle C=\angle C}$ levert dit op ${\displaystyle \Delta ABC~\Delta DEC}$. En dus is ${\displaystyle \angle ABC=\angle DEC}$. Q.e.d.
12. Gegeven: ${\displaystyle \Delta ABC}$ waarin de middelloodlijn van ${\displaystyle AB}$ door ${\displaystyle C}$ en middelloodlijn ${\displaystyle AC}$ door ${\displaystyle B}$ gaat.
    Te bewijzen: ${\displaystyle \Delta ABC}$ is gelijkzijdig.
    Bewijs: ${\displaystyle C}$ ligt op de middelloodlijn van ${\displaystyle AB}$, dus ${\displaystyle \left|AC\right|=\left|BC\right|}$ (aantonen met congruentie van driehoeken). ${\displaystyle B}$ ligt op de middelloodlijn van ${\displaystyle AC}$, dus ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BC\right|}$ (aantonen met congruentie van driehoeken). Hieruit volgt: ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AC\right|}$ dus ${\displaystyle \Delta ABC}$ is gelijkzijdig. Q.e.d.