Bijzondere lijnen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Doen.
    2. Stelling: De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
      Bewijs: Laat `AD` en `BE` zwaartelijnen zijn in een driehoek `ABC`, en `Z` hun snijpunt. Omdat `Delta CED ~ Delta CAB` (hh) en `|CE| : |CA| = 1 : 2` is ook `|DE| : |AB| = 1 : 2`. Ook is `Delta ZDE ~ Delta ZAB` (hh). Omdat `|DE| : |AB| = 1 : 2` is ook `|ZE| : |ZB| = 1 : 2` en `|ZD| : |ZA| = 1 : 2`.
      Twee zwaartelijnen verdelen elkaar dus in de verhouding 1 : 2. Maar dan moet de zwaartelijn uit `C` die uit `A` ook zo verdelen, dus door `Z` gaan. De drie zwaartelijnen gaan dus door één punt. Dat heet het zwaartepunt van de driehoek. Q.e.d.
      (Deze stelling staat ook in de lijst definities/stellingen voor de vlakke meetkunde voor vwo wiskunde B, dus een bewijs is eigenlijk niet nodig, maar wel een goede oefening.)
  2. Gegeven: `Delta ABC` en `AD` is hoogtelijn en zwaartelijn in deze driehoek.
    Te bewijzen: `AD` is bissectrice.
    Bewijs: `|AD| = |AD|`, `/_BDA = /_CDA = 90`° en `|BD| = |DC|` geeft `Delta ABD ~= Delta ACD` (ZHZ). En dus is `/_BAD = /_CAD`. Q.e.d.
    1. Gegeven: `Delta ABC` met `AC = BC` en `AD` en `BE` als hoogtelijnen.
      Te bewijzen: `|AD| = |BE|`.
      Bewijs: `|AB| = |BA|`, `/_D = /_E = 90`° en `/_A = /_B` (stelling gelijkbenige driehoeken) geeft `Delta ABD ~= Delta BAE` (ZHH). En dus is `|AD| = |BE|`. Q.e.d.
    2. Gegeven: `Delta ABC` met `AC = BC` en `AD` en `BE` als zwaartelijnen.
      Te bewijzen: `|AD| = |BE|`.
      Bewijs: `|AB| = |BA|`, `/_A = /_B` (stelling gelijkbenige driehoeken) en `|AE| = 1/2 |AC| = 1/2 |BC| = |BD|` geeft `Delta ABD ~= Delta BAE` (ZZH). En dus is `|AD| = |BE|`. Q.e.d.
    3. Gegeven: `Delta ABC` met `AC = BC` en `AD` en `BE` als deellijnen.
      Te bewijzen: `|AD| = |BE|`.
      Bewijs: `|AB| = |BA|`, `/_A = /_B` (stelling gelijkbenige driehoeken) en `/_BAD = 1/2 /_A = 1/2 /_B = /_ABE` geeft `Delta ABD ~= Delta BAE` (ZHH). En dus is `|AD| = |BE|`. Q.e.d.
    1. Congruentiekenmerken ZZH en ZZR.
    2. Omdat `MD = ME = MF` gaat er een cirkel door de punten `D, E` en `F`. Omdat alle drie de lijnstukken loodrecht staan op een zijde van de driehoek zijn deze zijden raaklijnen van de cirkel.
    1. Gegeven: `Delta ABC` met middelloodlijnen op `AB` en `BC`. Het snijpunt van deze middelloodlijnen is `M`, het midden van `AB` is `D` en het midden van `BC` is `E`. `FM` is de lijn door `M` en het midden `F` van `AC`.
      Te bewijzen: `MF _|_ AC`. Bewijs: Omdat `MD` de middelloodlijn van `AB` is, is `Delta ADM ~= Delta BDM` (ZHZ) en dus is `|AM| = |BM|`.
      Op dezelfde manier is `|BM| = |CM|`.
      Daarom is `|AM| = |CM|`. Bovendien is `|AF| = |FC|` en `|FM| = |FM|`, zodat `Delta AFM ~= Delta CFM` (ZZZ).
      En daarom is `/_AFM = /_CFM = 90`° zodat `MF _|_ AC`. Q.e.d.
    2. `M` ligt binnen de driehoek `ABC` als deze driehoek scherphoekig is, anders niet.
    3. Omdat `|MA| = |MB| = |MC|`.
    4. Ja.
    1. Doen.
    2. Gegeven: `Delta ABC` met drie hoogtelijnen. Het snijpunt van deze hoogtelijnen is `H`.
      Te bewijzen: Alle drie de hoogtelijnen gaan door `H`. Bewijs: Teken `Delta DEF` door een lijn door `A` en evenwijdig `BC`, door `B` en evenwijdig `AC`en door `C`een lijn evenwijdig aan `AB` te trekken. De hoogtelijnen van `Delta ABC` zijn middelloodlijnen van `Delta DEF` en gaan dus door één punt (zie vorige opgave). Q.e.d.
    1. Trek een lijn door B en evenwijdig AC.
      Punt E is het snijpunt van de bissectrice CD met deze lijn.
      Nu is ∠BED = ∠ACD (Z-hoeken) en dus is AC = BC (gelijkbenige driehoek CEB).
      Verder zijn de driehoeken ACD en BED gelijkvormig (hh).
      Dus: AD / DB = AC / EB = AC / BC. Q.e.d.
    2. `AD = 8/12 * 6 = 4` en `DC = 4/12 * 6 = 2`.
  8. Gegeven: Cirkel met middelpunt `M`. Punten `A` en `B` op de cirkel en lijn door `M` en het midden `P` van `AB`.
    Te bewijzen: `MP _|_ AB`.
    Bewijs: Uit `|MA| = |MB|`, `|MP| = |MP|` en `|AP| = |PB|` volgt `Delta BPM ~= Delta APM` (ZZZ). En dus is `/_BPM = /_APM = 90`°. Q.e.d.
    1. Gegeven: `Delta ABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE` en `|AD| = h_A`, `|BE| = h_B`, `|BC| = a` en `|AC| = b`.
      Te bewijzen: `h_A : h_B = b : a`.
      Bewijs: Uit `/_D = /_E = 90^(text(o))` en `/_C = /_C` volgt `Delta ADC ~ Delta BEC` (hh). Daaruit volgt: `(h_A)/b = (h_B)/a`. En dat levert op `h_A : h_B = b : a`. Q.e.d.
    2. Nu gebruik je dat de oppervlakte van `Delta ABC` is te schrijven als `1/2 * a * h_A` en ook als `1/2 * b * h_B`.
    1. Gegeven: `Delta ABC`, de bissectrice van `/_A` en de buitenbissectrices van `/_B` en `/_C`.
      Te bewijzen: De drie bissectrices gaan door punt `S`, het snijpunt van de bissectrice van `/_A` en de buitenbissectrice van `/_B`.
      Bewijs: Punten op een bissectrice hebben gelijke afstanden tot de benen van de hoek. Dus:
      `S` ligt op de bissectrice van `/_A`: de afstand van `S` tot `AB` is gelijk aan de afstand tot `AC`.
      `S` ligt op de buitenbissectrice van `/_B`: de afstand van `S` tot `AB` is gelijk aan de afstand tot `BC`.
      Dan is de afstand van `S` tot `AC` gelijk aan de afstand tot `BC`, dus `S` is een punt van de buitenbissectrice van `/_C`. De drie bissectrices gaan door punt `S`. Q.e.d.
    2. Gegeven: De bissectrice en de buitenbissectrice van `/_A`. De binnenhoek wordt verdeeld in `/_A_1` en `/_A_2` en de buitenhoek in `/_A_3` en `/_A_4`
      Te bewijzen: De twee bissectrices staan loodrecht op elkaar.
      Bewijs: `AD` is de bissectrice van `/_A`, dus `/_A_1 = /_A_2`. De buitenbissectrice deelt de hoek middendoor, dus `/_A_3 = /_A_4`. Bekend is dat `/_A_1 + /_A_2 + /_A_3 + /_A_4 = 180^(text(o))`. Dan is `/_A_2 + /_A_3 = 90^(text(o))`. Q.e.d.
    3. Gegeven: `Delta ABC` met zwaartelijn `AD`. De buitenbissectrice van `/_A` staat loodrecht op de zwaartelijn `AD`.
      Te bewijzen: `Delta ABC` is gelijkbenig.
      Bewijs: Omdat `/_BAD` samen met de halve buitenhoek 90° is en dit ook geldt voor `/_DAC` en de andere halve buitenhoek, is `/_BAD = /_DAC`. En omdat ook `|AD| = |AD|` en `|BD| = |DC|` is `Delta BAD ~= Delta CAD` (ZZH). Dus is `/_B = /_C` en is `Delta ABC` gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek). Q.e.d.
  11. Gegeven: `Delta ABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE` en `/_A > 90`°. (`E` ligt op het verlengde van `CA`.)
    Te bewijzen: `/_ABC = /_DEC`.
    Bewijs: Uit `/_D = /_E = 90^(text(o))` en `/_C = /_C` volgt `Delta ADC ~ Delta BEC` (hh). Daaruit volgt: `(|DC|)/(|EC|) = (|AC|)/(|BC|)`. En samen met `/_C = /_C` levert dit op `Delta ABC ~ Delta DEC`. En dus is `/_ABC = /_DEC`. Q.e.d.
  12. Gegeven: `Delta ABC` waarin de middelloodlijn van `AB` door `C` en middelloodlijn `AC` door `B` gaat.
    Te bewijzen: `Delta ABC` is gelijkzijdig.
    Bewijs: `C` ligt op de middelloodlijn van `AB`, dus `|AC| = |BC|` (aantonen met congruentie van driehoeken). `B` ligt op de middelloodlijn van `AC`, dus `|AB| = |BC|` (aantonen met congruentie van driehoeken). Hieruit volgt: `|AB| = |BC| = |AC|` dus `Delta ABC` is gelijkzijdig. Q.e.d.