Gelijkvormigheid

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid > Inleiding

Bij Verkennen gaat het om gelijkvormige figuren. Kun je de gelijkvormigheidskenmerken vinden?

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid > Uitleg

Opgaven

  1. In de Uitleg wordt een begin gemaakt met het afleiden van gelijkvormigheidskenmerken.
    1. Teken de driehoeken `ABC` en `DEF` zo, dat `/_A = /_D`, `/_B = /_E` en `AB != DE`.
    2. Bekijk nu driehoek `ABC`. Vergroot alle zijden van die driehoek door ze te vermenigvuldigen met `(DE)/(AB)`. Je krijgt dan de driehoek `AB'C'`.
    3. Leg uit waarom driehoek `AB'C'` congruent is met driehoek `DEF`.
    4. Waarom volgt hieruit dat de driehoeken `ABC` en `DEF` gelijkvormig zijn?
    5. Dit gelijkvormigheidskenmerk wordt aangeduid met hh. Waarom niet met hhh?

  2. Zijn congruente driehoeken altijd gelijkvormig? Geldt het omgekeerde ook?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 wordt de stelling bewezen dat een middenparallel binnen een driehoek de helft is van de zijde waaraan hij evenwijdig is.
    1. Loop het bewijs na. Welk gelijkvormigheidskenmerk wordt gebruikt?
    2. Teken de lijnstukken `BE` en `CD`. Deze lijnstukken snijden elkaar in punt `S`. Welke twee gelijkvormige driehoeken ontstaan nu?

  2. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Maak een verhoudingstabel van de zijden van de driehoeken `ABC` en `DEC`. Ga na, dat bij deze tabel ook inderdaad `CD // AC = CE // CB` past.
    2. Gegeven is `AB = 6`, `BC = 4` en `ED = 2,5`. Welke van beide andere zijden van `Delta DEC` kun je met deze gegevens berekenen? Voer die berekening uit.

  3. In Voorbeeld 3 vind je een ander bewijs van de stelling van Pythagoras.
    1. Neem aan dat `AC = 5` en `BC = 12`. Bereken de lengte van `CD`.
    2. Bewijs dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hoogtelijn op de hypothenusa gelijk is aan het product van de lengtes waarin hij die hypothenusa verdeelt.

  4. Hier zie je twee driehoeken, namelijk `Delta ABC` en `Delta CDE`.
    1. Met welk gelijkvormigheidskenmerk toon je aan dat beide gelijkvormig zijn? Je noteert dit wel zo: `Delta ABC ~ Delta DEC`.
    2. Wat kun je op grond daarvan zeggen over de zijden `AB` en `DE`?
    3. Neem aan, dat `|AB| = 1,8` cm. Hoe lang is dan `DE`?

  5. Gegeven is een driehoek `ABC` en een punt `S` in de driehoek. `A'` ligt op het verlengde van `SA`, waarbij `|SA'| = 3|SA|`. Net zo ligt `B'` op het verlengde van `SB` met `|SB'| = 3|SB|` en `C'` op het verlengde van `SC` met `|SC'| = 3|SC|`. Maak een tekening.
    1. Met welk kenmerk kun je aantonen dat `Delta SAB ~ Delta SA'B'`?
    2. Wat concludeer je over `|A'B'|`? Wat gaat natuurlijk net zo?
    3. Met welk kenmerk kun je aantonen dat `Delta ABC ~ Delta A'B'C'`?
    4. Hoe belangrijk is de factor 3 in het gegeven? Had die factor ook kleiner dan 1 mogen zijn?
    5. Formuleer op grond van het bovenstaande een stelling. Maak hem zo algemeen mogelijk.
    6. Geef in een tekening aan van welke hoeken je nu weet dat ze gelijk zijn.

Verwerken

  1. Op een been van een hoek met hoekpunt `A` ligt een punt `B` en op het andere been ligt een punt `C`. `AB = 12` cm en `AC = 20` cm. Op het verlengde van `BA` ligt een punt `D` met `AD = 5` cm en op het verlengde van `CA` ligt een punt `E` zo, dat `/_EDA = /_BCA`.
    1. Bereken de lengte van `AE`.
    Op `AB` ligt een punt `F` met `AF = 5` cm en op `AC` ligt een punt `G` zo, dat `/_GFA = /_BCA`.
    1. Bereken de lengte van `AG`.

  2. In de figuur hiernaast is `/_BAD = /_DBC`, `|AB| = 10`, `|AC| = 8` en `|BC| = 5`.
    1. Welke twee gelijkvormige driehoeken zijn er? Bewijs de gelijkvormigheid.
    2. Bereken de lengte van `DB`.

  3. Teken in een willekeurige scherphoekige driehoek `ABC` een loodlijn `AD` vanuit `A` op zijde `BC` en een loodlijn `BE` vanuit `B` op zijde `AC`. Het snijpunt van deze loodlijnen is `S`.
    Bewijs dat `|AS| * |SD| = |BS| * |SE|`.

  4. Vierhoek `ABCD` is een ruit. De punten `P`, `Q`, `R` en `S` zijn de middens van de zijden van die ruit. Bewijs dat `PQRS` een rechthoek is.

  5. Bewijs dat je elke driehoek in vier gelijke delen kunt verdelen met behulp van drie middenparallellen.

  6. In een driehoek `ABC` wordt op `AC` een punt `P_0` gekozen zo, dat `|AP_0| : |AC| = 1 : 5`. Dan wordt vanuit `P_0` een lijn evenwijdig aan `BC` getrokken naar `P_1` op `AB` en vervolgens vanuit `P_1` een lijn evenwijdig aan `CA` naar `P_2` op `BC` en vanuit `P_2` een lijn evenwijdig aan `AB` naar `P_3` op `CA`. Met `P_3` in plaats van `P_0` worden net zo weer drie lijnen getrokken, naar `P_4` op `AB`, `P_5` op `BC` en naar `P_6` op `CA`.
    1. Welk vermoeden levert een tekening over de ligging van `P_6`?
    2. Bewijs dat vermoeden (Aanwijzing: In welke verhouding verdelen de punten `P` de zijden van de driehoek?).

Testen

  1. In de figuur hiernaast zie je twee lijnstukken `EB` en `DC` die elkaar snijden in `A`. Verder is gegeven `/_B = /_D`.
    Bereken de lengte van `AD` en die van `ED`.

  2. In driehoek `ABC` is `D` het midden van `BC` en `E` het midden van `AC`. De lijnstukken `BE` en `AD` snijden elkaar in `S`.
    Bewijs dat `|AS| : |SD| = |BS| : |SE| = 2 : 1`.