Gelijkvormigheid

Antwoorden bij de opgaven

    1. Doen.
    2. Doen.
    3. Omdat `|AB'| = (|DE|)/(|AB|) * |AB| = |DE|` en de hoeken door het vergroten niet veranderen.
    4. Omdat `Delta DEF ~= Delta AB'C'` een vergroting is van `Delta ABC` zijn deze driehoeken gelijkvormig.
    5. Je hebt bij gelijkvormigheid van driehoeken genoeg om aan te tonen dat twee paar hoekenen gelijk zijn, want dan is (stelling hoekensom driehoeken) ook het derde paar hoeken gelijk. Dat geldt bijvoorbeeld voor vierhoeken, vijfhoeken, e.d. niet. De gelijkvormigheid van veelhoeken met meer dan drie hoekpunten is ingewikkelder.
  2. Congruente driehoeken zijn ook gelijkvormig, maar het omgekeerde is vrijwel nooit het geval.
    1. Gelijkvormigheidskenmerk hh.
    2. `Delta BCS` en `Delta ESD`. (Gelijkvormigheidskenmerk hh, met Z-hoeken en/of overstaande hoeken.)
    4. ΔABCABBCAC
    ΔDECDEECDC
    1. Zie hiernaast.
    2. `EC`, je vindt: `(|EC|)/4 = (2,5)/6` dus `|EC| = 1 2/3`.
    1. Eerst met de stelling van Pythagoras `|AB| = sqrt(5^2 + 12^2) = 13`.
      Nu vanuit de verhoudingstabel: `(|CD|)/5 = 12/13`, dus `|CD| = 60/13`.
    2. In de figuur betekent dit dat je moet bewijzen: `|CD|^2 = |AD| * |BD|`.
      Dit volgt vrijwel direct uit de verhoudingstabel.
    1. zhz, want `(|AC|)/(|CD|) = (|BC|)/(|CE|)` en `/_ACB = /_DCE` (overstaande hoeken).
    2. `(|AB|)/(|DE|) = 2/5`
    3. `|DE| = 5/2 * 1,8 = 4,5`
    1. `|SA'| = 3|SA|` en `|SB'| = 3|SB|`, dus `(|SA'|)/(|SA|) = (|SB'|)/(|SB|)` en `/_ASB = /_A'SB'`. Gelijkvormigheidskenmerk zhz.
    2. `|A'B'| = 3|AB|` en net zo: `|B'C'| = 3|BC|` en `|A'C'| = 3|AC|`.
    3. Gelijkvormigheidskenmerk zzz.
    4. Factor is onbelangrijk, mag ook kleiner dan 1 zijn.
    5. Als je een driehoek met een bepaalde factor vanuit een gegeven punt vergroot krijg je een nieuwe driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.
    6. -
    1. Omdat `/_EAD = /_BAC` (overstaande hoeken) en `/_EDA = /_BCA` zijn de driehoeken `ABC` en `AED` gelijkvormig (hh).
      `(|AD|)/(|AC|) = (|EA|)/(|BA|)` geeft `(5)/(20) = (|EA|)/(12)` en dus `|EA| = 3`.
    2. Omdat `/_FAG = /_BAC` en `/_AFG = /_BCA` zijn de driehoeken `AFG` en `ACB` gelijkvormig (hh).
      `(|AF|)/(|AC|) = (|GA|)/(|BA|)` geeft `(5)/(20) = (|GA|)/(12)` en dus `|GA| = 3`.
    1. Omdat `/_C = /_C` en `/_BAC = /_DBC` zijn de driehoeken `ABC` en `DBC` gelijkvormig (hh).
    2. `(|DB|)/(|AB|) = (|BC|)/(|AC|)` geeft `(|DB|)/(10) = (5)/(8)` en dus `|DB| = 6,25`.
  10. Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.
    Bewijs: `/_AES = 90^(text(o)) = /_BDA` en `/_ASE = /_BSD` dus `Delta ASE ~ Delta BSD` (hh). Hieruit volgt: `(|AS|)/(|BS|) = (|SE|)/(|SD|)` en dus `|AS| * |SD| = |BS| * |SE|`. Q.e.d.
  11. Gegeven: Ruit `ABCD`. `P`, `Q`, `R` en `S` zijn de middens van de zijden.
    Te bewijzen: `PQRS` is een rechthoek.
    Bewijs: `Delta APS ~ Delta ABD` (`/_A = /_A`, `(|AS|)/(|AD|) = (|AP|)/(|AB|) = 1/2`, dus zhz) betekent dat `|PS| = 1/2 |BD|` en dat `PS` en `BD` evenwijdig zijn. Op dezelfde manier bewijs je dit voor `QR` en `BD`.
    Zo bewijs je ook `|PQ| = |RS| = 1/2 |AC|` en `PQ` en `RS` evenwijdig aan `AC`.
    Vierhoek `PQRS` heeft dus twee paren gelijke en evenwijdige overstaande zijden en is dus een parallellogram (stelling parallellogram).
    Omdat `AC _|_ BD` (stelling ruit) zijn ook de hoeken van `PQRS` recht en is `PQRS` een rechthoek (stelling rechthoek).
  12. Gegeven: `Delta ABC` met `D` als midden van `BC`, `E` als midden van `AC` en `F` als midden van `AB`.
    Te bewijzen: `Delta AFE ~= Delta FBE ~= Delta EDC ~= Delta DEF`. Bewijs: Omdat `/_C = /_C` en `(|CE|)/(|CA|) = (|CD|)/(|CB|) = 1/2` is `Delta EDC ~ Delta ABC` (zhz) met vergrotingsfactor 0,5. Dit bewijs je op dezelfde manier voor `Delta FBD` en `Delta AFE`. Omdat `AF = FA`, `/_AFE = /_FED` (Z-hoeken) en `/_AEF = /_EFD` (Z-hoeken) is `Delta DEF ~= Delta AFE`. Alle vier de driehoeken zijn daarom verkleiningen van `Delta ABC` met factor 0,5. Q.e.d.
    1. `P_6 = P_0`
    2. `P_0P_1` evenwijdig `BC` en `|AP_0| = 1/5 |AC|` betekent `|AP_1| = 1/5 |AB|`.
      `P_1P_2` evenwijdig `AC` en `|AP_1| = 1/5 |AB|` betekent `|CP_2| = 1/5 |BC|`.
      Zo is ook: `|CP_3| = 1/5 |AC|`, `|BP_4| = 1/5 |AB|`, `|BP_5| = 1/5 |BC|` en `|AP_6| = 1/5 |AC| = |AP_0|`.
      Dus moet `P_6 = P_0`.
  14. `(|AD|)/6 = (|DE|)/3 = 2/4`, dus `|AD| = 3` en `|DE| = 1,5`.
  15. Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.
    Bewijs: Omdat `/_C = /_C` en `(|CE|)/(|CA|) = (|CD|)/(|CB|) = 1/2` is `Delta ABC ~ Delta EDC` (zhz). Dus is `ED` evenwijdig aan `AB` en `(|ED|)/(|AB|) = 1/2`. Omdat `/_ASB = /_DSE`, `/_ABS = /_DES` (Z-hoeken) is `Delta ABS ~ Delta DES` (hh). Dus is `(|AS|)/(|DS|) = (|BS|)/(|ES|) = (|ED|)/(|AB|) = 1/2`. Hieruit volgt: `|AS| : |SD| = |BS| : |SE| = 2 : 1`. Q.e.d.