Bewijzen

Inleiding

Een bewijs in de wiskunde is een logische redenering waarmee wordt aangetoond dat een bepaalde bewering volgt uit de (voor waar aangenomen) axioma's en uit eerder bewezen stellingen. Die bewering wordt (als een bewijs is geleverd) dan een stelling en toegevoegd aan het theoretische bouwwerk (zoals de vlakke meetkunde). Elk bewijs kent een vaste structuur. Verder moet je goed afspreken van welke theorie je mag uitgaan.

Je leert nu:

een bewijs leveren volgens een vaste structuur;
bewijzen leveren met behulp van de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B.

Je kunt al:

eenvoudige bewijzen leveren vanuit de basisdefinities en axioma's van de vlakke meetkunde.
gebruik maken van congruentie en de congruentiekenmerken van driehoeken.

Verkennen

Bekijk de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B. Probeer door alleen gebruik te maken van die lijst de volgende stelling te bewijzen:

> Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.
(Probeer er zelf uit te komen. In Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 vind je twee uitgewerkte bewijzen voor deze stelling.)

Uitleg

In deze figuur is een vierkant ABCD geconstrueerd. De punten P, Q en R zijn de midden van drie zijden van het vierkant. Je "ziet" dat ΔPQR een gelijkbenige rechthoekige driehoek is.
Het volgende vermoeden ontstaat:

Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

Maar kun je dat ook echt bewijzen?

Om zo'n bewering (vermoeden) te bewijzen is het verstandig om eerst de gegevens even netjes op een rijtje te zetten en letters in te voeren. In de figuur is dat al gedaan. Er geldt: ABCD is vierkant en AP = PB, CQ = QD en DR = RA. (Voor het gemak zijn de absoluutstrepen weg gelaten.)
Te bewijzen is nu dat PR = QR en ∠PRQ = 90°.
En nu kun je over het bewijs gaan nadenken...
Ga uit van de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B.

‡

Opgaven

In de Uitleg wordt een begin gemaakt met het bewijs van de stelling: Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.
1. Laat zien dat de driehoeken `APR` en `DQR` congruent zijn.
2. Leg uit hoe je daaruit het bewijs levert.

In de Uitleg wordt de bewijsstructuur "Gegeven, te bewijzen, bewijs" ingeleid.
1. Wat is het verschil tussen de stelling zelf en de beschrijving ervan onder de kopjes "Gegeven" en "Te bewijzen"?
2. Wat is het belang van zo'n vaste bewijsstructuur?

Theorie

Een bewijs is een logische redenering waarin je laat zien hoe een bepaalde bewering uit de al bestaande axioma's en definities en eerder bewezen stellingen volgt. Als het bewijs is geleverd wordt de bewering een stelling. Je uitgangspunt is deze lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B. Je moet door alleen gebruik te maken van die lijst alle stellingen bewijzen. Gebruik de volgende structuur voor een bewijs:

Gegeven:
Beknopte en duidelijke beschrijving van wat er gegeven is, vaak met een duidelijke figuur erbij. Kies alvast letters voor punten, lijnen, e.d.
Te bewijzen:
Beknopte en duidelijke beschrijving van wat je wilt bewijzen. Gebruik de gekozen letters.
Bewijs:
Het eigenlijke bewijs met verwijzingen naar de boven genoemde lijst van definities/stellingen.

Er zijn meerdere manieren om bewijzen te leveren. Twee belangrijke zijn:

een direct bewijs waarbij je rechtsreeks vanuit de gegeven lijst van definities/stellingen redeneert en laat zien dat het vermoeden daaruit volgt;
een indirect bewijs of bewijs uit het ongerijmde waarin je aanneemt dat het vermoeden NIET WAAR is en laat zien dat dit in TEGENSPRAAK is met de gegeven lijst van definities/stellingen.

‡

Voorbeeld 1

Bewijs:
Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

Antwoord

Gegeven:
Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan. ABCD is een vierkant.
AP = PB, CQ = QD en DR = RA.

Te bewijzen:
PR = QR en ∠PRQ = 90°.

Bewijs:
Omdat AP = DQ, AR = DR en ∠A = ∠D = 90° zijn driehoeken APR en DQR congruent (ZHZ).
Dus is RP = RQ.
Omdat zowel ΔAPR en ΔDQR gelijkbenig en rechthoekig zijn is ∠ARP = ∠DRQ = 45° (hoekensom driehoek).
Dus is ∠PRQ = 180° – 45° – 45° = 90°.
Q.e.d. (Quod erad demonstrandum: wat te bewijzen was)

‡

Voorbeeld 2

Bewijs:
Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

Antwoord

Gegeven:
Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan. ABCD is een vierkant.
AP = PB, CQ = QD en DR = RA.

Te bewijzen:
PR = QR en ∠PRQ = 90°.

Bewijs:
Omdat PB = QC en PB // QC, is PBCQ een parallellogram (stelling parallellogram). Bovendien heeft PBCQ een rechte hoek en is dus een rechthoek (stelling rechthoek). Als a de lengte van de zijden van het vierkant ABCD is, is dus ook PQ = a.
Omdat ΔAPR gelijkbenig en rechthoekig is geldt PR² = ( $\frac{1}{2}$ a)² + ( $\frac{1}{2}$ a)² = $\frac{1}{2}$ a².
Op dezelfde wijze is RQ² = $\frac{1}{2}$ a². En dus is RP = RQ.
Dus geldt in ΔPQR dat PR² + RQ² = $\frac{1}{2}$ a² + $\frac{1}{2}$ a² = a² = PQ².
En daarom is ΔPQR rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).
Q.e.d.

‡

Voorbeeld 3

Bewijs:
Het middelpunt van een cirkel door de drie hoekpunten van een stomphoekige driehoek ligt niet binnen die driehoek.

Antwoord

Gegeven:
ΔABC met ∠BAC > 90°.
MA = MB = MC.

Te bewijzen:
M ligt niet binnen ΔABC.

Bewijs: (indirect)
Stel de stelling is NIET WAAR.
M ligt binnen ΔABC en MA = MB = MC.
De driehoeken ABM, BCM en CAM zijn dan gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek).
Is nu ∠ABM = ∠BAM = α, ∠CBM = ∠BCM = β en ∠CAM = ∠ACM = γ, dan is 2α + 2β + 2γ = 180° (hoekensom driehoek).
Dus α + β + γ = 90°, zodat ∠BAC = α + γ < 90°. TEGENSPRAAK!
De stelling is dus waar.
Q.e.d.

‡

Voorbeeld 4

Hier zie je hoe de kortste weg van punt A naar punt B via de beek wordt geconstrueerd door een loodlijn door B op de beek te trekken en dan vervolgens een punt D te tekenen dat op die loodlijn en even ver van de beek ligt. Het snijpunt C van AD en de beek levert de korste route AC + BD.
Bewijs dat deze constructie juist is.

Antwoord

Gegeven:
Uit de constructie volgt dat BD loodrecht staat op de beek, dus ∠BEC = ∠DEC = 90°. Verder is BE = ED en lijn AD een rechte lijn.

Te bewijzen:
AC + CB is de kortste afstand van A naar B via de beek.

Bewijs:
Uit de gegevens volgt meteen dan ΔCBE en ΔCDE congruent zijn (ZHZ).
Dus is CD = CB.
De punten A, C en D liggen op de rechte lijn AD en dus is AC + CD de kortste afstand van A naar D (driehoeksongelijkheid).
En daarom is AC + CB = AC + CD ook de kortste afstand.
Q.e.d.

‡

Opgaven

In Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 zie je twee bewijzen van de stelling: Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.
1. Hoe wordt in die bewijzen gebruik gemaakt van lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B?
2. Loop beide bewijzen zelf na. Zorg ervoor dat je elke stap begrijpt.

In Voorbeeld 3 vind je een bewijs van een stelling over het middelpunt van een cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek.
1. Hoe teken je de cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek?
Bekijk nu bij
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Bewijzen > GeoGebra
hoe je het (gratis) computerprogramma GeoGebra kunt downloaden. In dit programma kun je de figuren die je bij een bewijs vaak wilt tekenen, gemakkelijk zelf construeren. Vaak kun je dan nog allerlei punten, lijnen en cirkels verplaatsen en bekijken wat daarvan het effect is.
1. Construeer in GeoGebra nu een driehoek `ABC` en teken een cirkel door de drie hoekpunten. Bepaal het middelpunt `M` van die cirkel en bekijk wat er met `M` gebeurt als je de punten `A`, `B` en/of `C` verplaatst. (Zo maak je zelf de applet in het voorbeeld.)
2. Kun je nog een andere vergelijkbare stelling formuleren en bewijzen?

In Voorbeeld 4 zie je het bewijs van de kortste verbinding via een lijn tussen twee punten `A` en `B` die aan dezelfde kant van die lijn liggen (maar er niet op).
Loop dit bewijs nog eens na, doe de constructie met GeoGebra. Vergelijk het met het bewijs dat je zelf eerder hebt geleverd in Meetkunde 1.2: Congruentie, opgave 12.

Gegeven is rechthoek `ABCD` met diagonaal `AC`. Bewijs dat de loodlijn uit punt `D` op `AC` gelijk is aan de loodlijn uit punt `B` op `AC`.
1. Teken een geschikte figuur of construeer hem in GeoGebra. Teken beide loodlijnen er in, noem ze `DE` en `BF`.
2. Welke lijnstukken in je figuur moeten nu gelijk zijn?
3. Kun je geschikte congruente driehoeken vinden? Maak een plan voor je bewijs.
4. Formuleer nu een volledig en duidelijk bewijs. Let goed op de verwijzingen naar de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B.

Verwerken

In de figuur zie je twee driehoeken `ABC` en `ABD` getekend.
Verder is `CS = DS` en `/_C = /_D`.
Bewijs dat `AS = BS`.

Twee lijnstukken `AB` en `CD` zijn niet even lang en hebben een snijpunt `S` zo, dat `AS = SB` en `CS = SD`.
Bewijs dat `AC` evenwijdig is aan `BD`.

In `Delta ABC` is `AB = AC`. `D` is het midden van `AB`, `E` het midden van `AC`. Bewijs dat `BE = AD`.

Op een lijn liggen, in deze volgorde, de punten `A`, `D`, `B` en `C`. `P` is een punt niet op die lijn. Verder is gegeven dat `/_APB = 2 * /_APD`.
Bewijs dat `/_CPD = 1/2 * (/_CPB + /_CPA)`.

In de figuur zie je twee driehoeken `ABC` en `AED` getekend.
Verder is `AB = AD` en `AC = AE`.
Bewijs dat `/_C = /_E`.

Ga uit van een rechthoekige driehoek `ABC` met `/_A = 90`°. Op `BC` ligt punt `D` zo, dat `AD = AC`. Lijnstuk `DE` staat loodrecht op `AD` en punt `E` ligt op `AB`.
Bewijs dat `ED = EB`.

Op de zijden van `Delta ABC` zijn de gelijkzijdige driehoeken `CBD` en `ACE` getekend. Deze gelijkzijdige driehoeken overlappen `Delta ABC` niet.
Bewijs dat `AD = BE`.

Testen

In de figuur hiernaast is gegeven `/_A = /_D`, `/_B = /_C` en punt `S` is het midden van lijnstuk `AD`.
Bewijs dat `AC = BD`.

Bewijs dat in een gelijkbenige driehoek de lijnstukken vanuit de hoeken tegenover de gelijke benen en loodrecht op die benen even lang zijn.