Congruentie
Antwoorden bij de opgaven
-
-
Als twee hoeken gelijk zijn dan is de derde hoek automatisch gelijk. Er zijn dan maar twee gegevens bekend van de driehoek, de lengtes van de zijden kunnen nog variëren.
-
Bij ZZH heb je nog twee mogelijkheden: een scherphoekige driehoek of een stomphoekige. Teken en °.
Teken nu de cirkel met middelpunt en straal . Deze cirkel snijdt het tweede been van twee keer. Er zijn dus twee punten mogelijk.
-
Neem bijvoorbeeld cm en ° en °. Deze hoeken hebben behalve nog een ander been. Die andere benen snijden elkaar in en zo krijg je .
Voorwaarde is wel dat °.
-
-
Omdat het niet een gegeven is en anders de oppervlakte ervan geen is.
-
Uit volgt door haakjes uitwerken: en dus .
-
-
ZZZ, je weet immers nog niet of recht is, dus van gelijke hoeken mag je geen gebruik maken.
-
Ga na dat . Dus geldt in de gegeven driehoek de SvP en daarom is hij rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).
-
Uit , en volgt dat congruent is met (ZZZ).
En dus is .
-
Gegeven: Een gelijkbenige rechthoekige driehoek met ° en .
Omdat gelijkbenig is zijn de hoeken tegenover de gelijke benen even groot, dus (gelijkbenige driehoek).
Omdat de hoeken van een driehoek samen 180° zijn (hoekensom driehoek) en ° is °, zodat ze elk 45° zijn.
(Opmerking: Dit bewijs is nogal overbodig omdat de stelling zelf al in de lijst van gegeven stellingen en definities voorkomt. Maar het is wel een goede oefening. Bovendien zie je zo dat veel van de stellingen die in die lijst voorkomen weer uit andere stellingen van diezelfde lijst zijn af te leiden. Het maakt duidelijk dat de lijst maar een vrij willekeurige greep is uit het geheel aan bewezen stellingen in de vlakke meetkunde.)
-
Gegeven: met .
Teken nu de loodlijn vanuit op . Omdat en ° en zijn de driehoeken en congruent (ZHH).
En daaruit volgt .
-
Stel dat dit niet zo zou zijn en dat de kortste verbindingslijn van met een punt op is.
Er is dan een driehoek te tekenen waarin . In die driehoek is (Pythagoras) en dus .
Dat is in tegenspraak met het feit dat de korste verbindingslijn van met een punt op zou zijn.
- Zie figuur.
- Omdat is gelijkbenig.
- Vanweg de driehoeksongelijkheid is .
-
-
, en ° zijn de driehoeken en congruent (ZHZ).
-
is een ruit die tevens rechthoek is (vierkant). In de ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor (ruit).
Dus zijn van de hoeken op beide 45°. Voor zijn op dezelfde manier de twee hoeken op beide 45°.
Omdat ook zijn en congruent (HZH).
-
Omdat en congruent zijn is en .
-
- De lengte van de derde zijde moet inliggen tussen 3 en 13 cm.
- De som van de lengtes van de ander twee zijden moet meer dan 1 m zijn. Het verschil is kleiner dan 1 m.
Teken zo, dat loodrecht en als het snijpunt van met is.
Vanwege de driehoeksongelijkheid is de rechte lijn de korste verbinding tussen en .
Vanwege de congruentie van de driehoeken en (ZHZ) is dus ook de kortste verbinding van naar via .
-
Gegeven: Vierhoek , het snijpunt van de diagonalen is .
Te bewijzen: .
Bewijs: en . Optellen geeft: (1).
en . Optellen geeft: (2).
(1)en (2) optellen geeft: .
Dus .
-
Gegeven: is een stompe hoek in .
Te bewijzen: en zijn scherp.
Bewijs: Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan 180°. Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan 180°.
Dit leidt in beide gevallen tot een tegenspraak, dus en zijn beide scherp.
-
-
Gegeven: ligt op . is de loodlijn vanuit op .
Te bewijzen: is de loodlijn vanuit op .
Bewijs: De lijnen en zijn evenwijdige lijnen gesneden door . F-hoeken zijn gelijk, dus ° betekent dat ook °.
-
Bewijs: en zijn beide loodrecht op . Dus evenwijdig met . Omdat ° is ° en dus is een rechthoek, zodat .
-
Geldt voor alle punten en op twee evenwijdige lijnen.
-
Ja. Bewijs: Neem punt ongelijk aan op . Neem aan dat . Dan is een rechthoekige driehoek. Hierin geldt: zodat .
Dit is in tegenspraak met het gestelde.
-
Gegeven: met .
Te bewijzen: .
Bewijs: Neem aan dat , dan kies je op zodat . Dan is . Tegenspraak. Het gestelde is niet waar.
Gegeven: met en is het midden van , is het midden van . en zijn loodlijnen op .
Te bewijzen: .
Bewijs: Omdat is (gelijkbenige driehoek). Verder is . En tenslotte is °.
Dus is (het teken betekent congruent, je gebruikt ZHH). En daarom is .
-
-
Trek bijvoorbeeld diagonaal . Je hebt dan twee driehoeken waarvan de hoekensom 180&de; is: ° en °.
En dus is °.
-
Volgt uit de congruentie (ZZZ) van de driehoeken en .
-
Uit de congruentie van de driehoeken en volgt dat evenwijdig is met (Z-hoeken).
-
Volgt uit de congruentie (ZHZ) van de driehoeken en .
-
Volgt uit de evenwijdigheid van en .
-
Volgt uit de congruentie (HZH) van de driehoeken en .
-
-
is rechthoekig, dus °, of .
-
.
-
Uit de gelijkbenigheid van volgt .
Uit de gelijkbenigheid van volgt .
Dus .