Congruentie

Antwoorden bij de opgaven

    1. Als twee hoeken gelijk zijn dan is de derde hoek automatisch gelijk. Er zijn dan maar twee gegevens bekend van de driehoek, de lengtes van de zijden kunnen nog variëren.
    2. Bij ZZH heb je nog twee mogelijkheden: een scherphoekige driehoek of een stomphoekige. Teken AB=5 en B=45°. Teken nu de cirkel met middelpunt A en straal AC=4. Deze cirkel snijdt het tweede been van B twee keer. Er zijn dus twee punten C mogelijk.
  1. Neem bijvoorbeeld AB=5 cm en A=40° en B=60°. Deze hoeken hebben behalve AB nog een ander been. Die andere benen snijden elkaar in C en zo krijg je ΔABC. Voorwaarde is wel dat A+B<180°.
    1. Omdat het niet een gegeven is en anders de oppervlakte ervan geen (a+b)2 is.
    2. Uit (a+b)2=412ab+c2 volgt door haakjes uitwerken: a2+2ab+b2=2ab=c2 en dus a2+b2=c2.
    1. ZZZ, je weet immers nog niet of ACB recht is, dus van gelijke hoeken mag je geen gebruik maken.
    2. Ga na dat 162+302=342. Dus geldt in de gegeven driehoek de SvP en daarom is hij rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).
  2. Uit |AB|=|BA|, |AC|=|BC| en |BC|=|AC| volgt dat ΔABC congruent is met ΔBAC (ZZZ).
    En dus is A=B.
  3. Gegeven: Een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC met C=90° en AC=BC.
    Omdat ΔABC gelijkbenig is zijn de hoeken tegenover de gelijke benen even groot, dus A=B (gelijkbenige driehoek).
    Omdat de hoeken van een driehoek samen 180° zijn (hoekensom driehoek) en C=90° is A+B=90°, zodat ze elk 45° zijn.
    (Opmerking: Dit bewijs is nogal overbodig omdat de stelling zelf al in de lijst van gegeven stellingen en definities voorkomt. Maar het is wel een goede oefening. Bovendien zie je zo dat veel van de stellingen die in die lijst voorkomen weer uit andere stellingen van diezelfde lijst zijn af te leiden. Het maakt duidelijk dat de lijst maar een vrij willekeurige greep is uit het geheel aan bewezen stellingen in de vlakke meetkunde.)
  4. Gegeven: ΔABC met A=B.
    Teken nu de loodlijn CD vanuit C op AB. Omdat A=B en D1=D2=90° en |CD|=|CD| zijn de driehoeken ADC en BDC congruent (ZHH). En daaruit volgt |AC|=|BC|.
  5. Stel dat dit niet zo zou zijn en dat PQ de kortste verbindingslijn van P met een punt Q op l is. Er is dan een driehoek PP'Q te tekenen waarin PP'l. In die driehoek is PQ2=PP'2+P'Q2 (Pythagoras) en dus |PQ|>|PP'|. Dat is in tegenspraak met het feit dat |PQ| de korste verbindingslijn van P met een punt op l zou zijn.
    1. Zie figuur.
    2. Omdat BAD=ABD is ΔABD gelijkbenig.
    3. Vanweg de driehoeksongelijkheid is |AC|<|AD|+|DC|=|BD|+|DC|=|BC|.
    1. |AB|=|BA|, |AD|=|BC| en A=B=90° zijn de driehoeken ABD en ABC congruent (ZHZ).
    2. ABCD is een ruit die tevens rechthoek is (vierkant). In de ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor (ruit).
      Dus zijn van ΔABS de hoeken op AB beide 45°. Voor ΔCDS zijn op dezelfde manier de twee hoeken op CD beide 45°.
      Omdat ook |AB|=|CD| zijn ΔABS en ΔCDS congruent (HZH).
    3. Omdat ΔABS en ΔCDS congruent zijn is |AS|=|CS| en |BS|=|DS|.
    1. De lengte van de derde zijde moet inliggen tussen 3 en 13 cm.
    2. De som van de lengtes van de ander twee zijden moet meer dan 1 m zijn. Het verschil is kleiner dan 1 m.
  6. Teken B' zo, dat BB' loodrecht l en |BS|=|SB'| als S het snijpunt van BB' met l is.
    Vanwege de driehoeksongelijkheid is de rechte lijn AB' de korste verbinding tussen A en B'.
    Vanwege de congruentie van de driehoeken BSP en B'SP (ZHZ) is |AP|+|PB|=|AP|+|PB'| dus ook de kortste verbinding van A naar B via l.
  7. Gegeven: Vierhoek ABCD, het snijpunt van de diagonalen is S.
    Te bewijzen: |AB|+|BC|+|CD|+|DA|>|AC|+|BD|.
    Bewijs: |AB|+|BC|>|AC| en |AD|+|DC|>|AC|. Optellen geeft: |AB|+|BC|+|AD|+|DC|>2|AC| (1).
    |AD|+|AB|>|BD| en |BC|+|CD|>|BD|. Optellen geeft: |AB|+|AD|+|BC|+|DC|>2|BD| (2).
    (1)en (2) optellen geeft: 2(|AB|+|BC|+|AD|+|DC|)>2(|AC|+|BD|).
    Dus |AB|+|BC|+|CD|+|DA|>|AC|+|BD|.
  8. Gegeven: A is een stompe hoek in ΔABC.
    Te bewijzen: B en C zijn scherp.
    Bewijs: Neem aan dat B niet scherp is, dan is de som A+B+C meer dan 180°. Neem aan dat C niet scherp is, dan is de som A+B+C meer dan 180°. Dit leidt in beide gevallen tot een tegenspraak, dus B en C zijn beide scherp.
    1. Gegeven: P ligt op l. PQ is de loodlijn vanuit P op m.
      Te bewijzen: QP is de loodlijn vanuit Q op l.
      Bewijs: De lijnen l en m zijn evenwijdige lijnen gesneden door PQ. F-hoeken zijn gelijk, dus Q=90° betekent dat ook P=90°.
    2. Bewijs: PQ en P'Q zijn beide loodrecht op m. Dus PQ evenwijdig met PQ. Omdat P=90° is P'=90° en dus is PP een rechthoek, zodat |PQ|=|PQ|.
    3. Geldt voor alle punten P en Q op twee evenwijdige lijnen.
    4. Ja. Bewijs: Neem punt R ongelijk aan Q op m. Neem aan dat |PR|<|PQ|. Dan is ΔPQR een rechthoekige driehoek. Hierin geldt: |PQ|2+|QR|2=|PR|2 zodat |PR|>|PQ|. Dit is in tegenspraak met het gestelde.
  9. Gegeven: ΔABC met |BC|>|AC|.
    Te bewijzen: A>B.
    Bewijs: Neem aan dat A<B, dan kies je D op AC zodat DAB=DBA. Dan is |CB|<|DC|+|DB|=|DC|+|DA|=|AC|. Tegenspraak. Het gestelde is niet waar.
  10. Gegeven: ΔABC met |AC|=|BC| en D is het midden van AC, E is het midden van BC. DF en EG zijn loodlijnen op AB.
    Te bewijzen: |DF|=|EG|.
    Bewijs: Omdat |AC|=|BC| is A=B (gelijkbenige driehoek). Verder is |AD|=12|AC|=12|BC|=|BE|. En tenslotte is F=G=90°. Dus is ΔAFDΔGBE (het teken betekent congruent, je gebruikt ZHH). En daarom is |DF|=|EG|.
    1. Trek bijvoorbeeld diagonaal AC. Je hebt dan twee driehoeken waarvan de hoekensom 180&de; is: A1+B+C1=180° en A2+D+C2=180°. En dus is A1+B+C1+A2+D+C2=A+B+C+D=360°.
    2. Volgt uit de congruentie (ZZZ) van de driehoeken ABC en CDA.
    3. Uit de congruentie van de driehoeken ABC en CDA volgt dat AB evenwijdig is met CD (Z-hoeken).
    4. Volgt uit de congruentie (ZHZ) van de driehoeken ABC en DCB.
    5. Volgt uit de evenwijdigheid van AB en CD.
    6. Volgt uit de congruentie (HZH) van de driehoeken ABS en DCS.
    1. ΔABC is rechthoekig, dus ACB+CBA=90°, of ACB=90o-CBA.
    2. CAD=90o-BAD=90o-CBA=ACB.
    3. Uit de gelijkbenigheid van ΔABD volgt |BD|=|AD|.
      Uit de gelijkbenigheid van ΔADC volgt |CD|=|AD|.
      Dus |AD|=|BD|=|CD|.