Basisbegrippen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen > Inleiding

Probeer de vraag bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen > Uitleg

Bekijk de Uitleg. Je ziet er een redenering waaruit blijkt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is.
1. Laat zien dat deze redenering ook geldt als punt `C` veel verder naar rechts ligt.
2. Wat zijn Z-hoeken precies? Waarom is de evenwijdigheid van de lijn door `C` met `AB` belangrijk?
Toen in West-Europa landen ontstonden met eigen regeringen en ambtenaren, werd het bepalen van de grootte van het grondgebied belangrijk. Landmeters gebruikten daarbij driehoeksmeting. Ze werken dan met driehoeken. En ook zij namen aan dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is.
1. Kun je laten zien dat dit voor driehoeken op het aardoppervlak niet waar kan zijn? Waarom ontdekten de landmeters dat niet meteen?

Je kent natuurlijk de stelling van Pythagoras wel. Zoek een bewijs van die stelling op, bijvoorbeeld via internet.
Probeer dat bewijs zo te formuleren dat je het zelf goed begrijpt. Schrijf een aantal aannames op die in dit bewijs worden gedaan.

In de Oudheid werden voor constructies alleen liniaal en passer gebruikt.
Je krijgt een potlood, een (grote) passer, een liniaal en een vel A4. Bijna aan de bovenrand van het papier is een lijnstuk getekend, bijna even lang als de bovenrand. De passerpunt mag niet buiten het papier worden gezet.
1. Hoe kun je dat lijnstuk in vier gelijke delen verdelen?
2. Hoe kun je, ergens op het papier, een hoek van 45° maken?
3. Hoe kun je, ergens op het papier, een hoek van 60° maken? En een van 30°?

Je krijgt een potlood, een (grote) passer, een liniaal zonder maatverdeling en een vel papier waarop drie lijnstukken zijn getekend.
Hoe kun je een driehoek tekenen met de drie lijnstukken als zijden? Lukt dat altijd? Wanneer wel en wanneer niet? Als het wel lukt, kun je dan maar één driehoek tekenen of zijn er meer oplossingen mogelijk?

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.

In Voorbeeld 1 wordt een eenvoudige uitspraak bewezen.
1. Wat is het verschil tussen een vermoeden en een stelling?
2. Waarom is ook voor zo'n eenvoudige uitspraak een bewijs nodig?
3. Wat is een tegenvoorbeeld?
4. Waarom heet een bewijs uit het ongrijmde zo?

In Voorbeeld 2 wordt een vermoeden beschreven.
1. Schrijf nog eens nauwkeurig op wat het vermoeden is dat daar wordt geuit. Maak zelf een tekening bij het opschrijven van het vermoeden, zet letters bij hoekpunten en snijpunten. Gebruik die letters in de beschrijving van het vermoeden.
2. Teken een situatie waarin het vermoeden niet juist is en beschrijf wat er fout gaat.
3. Waarom is slechts één tegenvoorbeeld genoeg om te bewijzen dat het vermoeden niet waar is?
4. Kun je het vermoeden iets anders formuleren zodat het wel kan worden bewezen? Welke stelling krijg je?

Bekijk in Voorbeeld 3 het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen 180° zijn.
1. Welke van de vijf axioma's van Euclides speelt in dit bewijs een grote rol?
2. Teken zelf de figuur bij dit bewijs en verleng zijde `AC` aan de kant van `C`.
Bij punt `C` tref je nu drie hoeken aan. Eén daarvan zit in de driehoek `ABC` en heet daarom een binnenhoek van deze driehoek. De twee andere vormen samen een buitenhoek van `Delta ABC`. `/_A` en `/_B` zijn ook binnenhoeken van de driehoek. Het zijn de niet-aanliggende binnenhoeken van de buitenhoek van `/_C`.
1. Bewijs nu zelf de stelling: In een driehoek is elke buitenhoek gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken.

De lijnen `l` en `m` staan loodrecht op elkaar, `s` is een derde lijn.
1. Bewijs de stelling: Als `s` loodrecht staat op `l`, is `s` evenwijdig met `m`.
2. Schrijf het omgekeerde van deze stelling op. Is dit ook een ware bewering?

Bekijk in Voorbeeld 4 nog eens een bewijs uit het ongerijmde. Bekijk nu de stelling: In `Delta ABC` is `/_A` stomp. Het voetpunt van de loodlijn uit `C` op `AB` ligt op het verlengde van `BA`.
1. Laat zien dat punt `D` niet kan samenvallen met punt `A`. Beschrijf de tegenspraak waar dit toe leidt.
2. Laat zien dat punt `D` niet tussen `A` en `B` kan liggen of met `B` kan samenvallen of op het verlengde van `AB` kan liggen.
3. Waarom is hiermee de stelling bewezen?

Als een driehoek rechthoekig is, dan is één van de zijden langer dan de andere twee zijden.
1. Is dat waar?
2. Is het omgekeerde van deze uitspraak waar?
3. Wat kun je over de hoeken van een driehoek zeggen als één van de zijden langer is dan de andere?

Strikt genomen is evenwijdigheid wel gedefinieerd voor lijnen maar niet voor lijnstukken.
1. Bij een gegeven lijnstuk is er precies één lijn waar dat lijnstuk op ligt. Waarom?
2. Bedenk een definitie voor evenwijdigheid van lijnstukken.

Driehoek `ABC` heeft een rechte hoek bij `C`. Vanuit `C` is een loodlijn getrokken op `AB`.
Bewijs dat `/_A = /_C_2` en dat `/_B = /_C_1`.

In deze opdracht geef je een ander bewijs voor de stelling dat in een driehoek de som van de hoeken 180° is. Je bewijst de stelling eerst voor rechthoekige driehoeken en daarna voor een willekeurige driehoek.
1. Teken een rechthoek `ABCD` en teken daarin de diagonaal `AC`. Waarom is `/_CAB = /_ACD`?
2. Bewijs dat in een rechthoekige driehoek de som van de hoeken 180° is.
3. Teken nu een willekeurige scherphoekige driehoek `ABC` en teken de loodlijn vanuit `C` op `AB`. In de driehoek heb je twee rechthoekige driehoeken gekregen. Bewijs hiermee, en met het voorgaande, dat de som van de hoeken 180° is.
4. Je hebt de stelling bewezen voor scherphoekige driehoeken. Geef een bewijs voor stomphoekige driehoeken.

Gegeven een stomphoekige driehoek. Bewijs uit het ongerijmde dat de driehoek twee scherpe hoeken heeft.

Bekijk een koorde van een cirkel (dat is het lijnstuk tussen twee punten op de cirkel).
1. Wat vermoed je over de lengte van die koorde, vergeleken met de lengte van een middellijn?
2. Als je vermoeden klopt, moet je het kunnen bewijzen. Probeer dat met hulplijnen.
3. Er doet zich een speciaal geval voor. Heb je daar rekening mee gehouden?