Integralen

Inleiding

Je kunt nu functies met sinus, cosinus en tangens differentiëren.
De afgeleiden zijn ook weer functies met sinus, cosinus en tangens.
Maar dat betekent dat je ook beschikt over een aantal primitieven van goniometrische functies. En die kun je dan weer toepassen als je met dergelijke functies te maken hebt.

Je leert nu:

• de primitieven van sin, cos en tan;
• deze primitieven gebruiken bij het berekenen van integralen.

Je kunt al:

• de afgeleiden van goniometrische functies berekenen;
• werken met integralen voor het berekenen van de lengte van krommen, de oppervlakte van vlakdelen, de inhoud van omwentelingslichamen, enzovoorts.

Verkennen

Uit de afgeleiden van de goniometrische functies kun je een hele lijst met primitieven samenstellen.

> Welke primitieven hebben f(x) = sin(x) en f(x) = cos(x)?
> Kun je een primitieve verzinnen van f(x) = cos²(x)?
> Licht toe dat uit f(x) = $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ volgt: F(x) = tan(x) + c.
> Kun je een primitieve verzinnen van f(x) = tan²(x) + 1?

Uitleg

Uit de afgeleiden van de goniometrische functies kun je een hele lijst met primitieven samenstellen.

• Als f(x) = sin(x) dan is f'(x) = cos(x).
  Dus als f(x) = cos(x) dan is F(x) = sin(x) + c.
• Als f(x) = cos(x) dan is f'(x) = –sin(x).
  Dus als f(x) = sin(x) dan is F(x) = –cos(x) + c.
• Als f(x) = tan(x) dan is f'(x) = $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$.
  Dus als f(x) = $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ dan is F(x) = –tan(x) + c.
• Een primitieve van f(x) = tan(x) is niet zo gemakkelijk te verzinnen.
  Omdat tan(x) = $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ kun je door differentiëren nagaan dat F(x) = –ln(cos(x)) + c zo'n primitieve is.

Hiermee (en soms met de goniometrische formules) kun je ook primitieven vinden van iets lastiger goniometrische functies. Bijvoorbeeld is de primitieve van f(x) = sin(2x) gelijk aan F(x) = cos(2x) · $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ cos(2x).

‡

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Er worden primitieven bepaald van goniometrische functies.
   1. Hoe kun je elke primitieve controleren?
   2. Laat zien dat ${\displaystyle F\left(x\right)=-\frac{1}{2}cos\left(2x\right)+c}$ de primitieven van ${\displaystyle f\left(x\right)=sin\left(2x\right)}$ zijn.
   3. Welke van deze primitieven gaat door ${\displaystyle \left(\mathrm{0,1}\right)}$?
   4. Welke primitieven heeft ${\displaystyle g\left(x\right)=cos\left(3x\right)}$?


2. Laat zien, dat ${\displaystyle F\left(x\right)=-ln\left(cos\left(x\right)\right)+c}$ de primitieven zijn van ${\displaystyle f\left(x\right)=tan\left(x\right)}$.
   


3. Bepaal de volgende onbepaalde integralen.
   1. ${\displaystyle \int sin\left(4x\right)+4cos\left(x\right)\text{d}x}$
   2. ${\displaystyle \int cos\left(x\right)\cdot tan\left(x\right)\text{d}x}$
   3. ${\displaystyle \int 1-2tan\left(t\right)\text{d}t}$
   4. ${\displaystyle \int 250+20sin\left(2\pi (t-2)\right)\text{d}t}$

Theorie

Om te kunnen werken met integralen waarin goniometrische functies voorkomen heb je een lijst nodig met primitieven van goniometrische functies.

• Als f(x) = sin(x) dan is F(x) = –cos(x) + c.
• Als f(x) = cos(x) dan is F(x) = sin(x) + c.
• Als f(x) = tan(x) dan is F(x) = –ln(cos(x)) + c.
• Als f(x) = $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ dan is F(x) = –tan(x) + c.

Functies waarin de hierboven genoemde functies voorkomen kun je nu af en toe ook primitiveren. Maar omdat het aantal methoden dat je leert voor het primitiveren beperkt is, moet je bij het berekenen van een integraal nog regelmatig terugvallen op je grafische rekenmachine voor een benadering.
Soms kun je door het gebruik van de goniometrische formules een op het oog niet te primitiveren functie zo herschrijven dat primitiveren toch mogelijk is. Zie Voorbeeld 1.

‡

Voorbeeld 1

Enkele voorbeelden van het primitieveren van goniometrische functies:

• f(x) = sin(2x) dus F(x) = –cos(2x) · $\frac{1}{2}$ + c = –$\frac{1}{2}$cos(2x) + c

• f(x) = 50 + 10 sin($\frac{2\text{π}}{15}$(x – 5))
  dus F(x) = 50x – 10 cos($\frac{2\text{π}}{15}$(x – 5)) · $\frac{15}{2\text{π}}$ + c = 50x – $\frac{150}{2\text{π}}$ cos($\frac{2\text{π}}{15}$(x – 5)) + c

• f(x) = tan(2x) dus F(x) = ln(cos(2x)) · $\frac{1}{2}$ + c = $\frac{1}{2}$ ln(cos(2x) + c

• f(x) = sin²(x) = $\frac{1}{2}$cos(2x) + $\frac{1}{2}$
  dus F(x) = $\frac{1}{2}$sin(2x) · $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$x + c = $\frac{1}{4}$sin(2x) + $\frac{1}{2}$x + c

• f(x) = 1 + tan²(3x) = 1 + $\frac{{\sin }^2(3x)}{{\cos }^2(3x)}$ = 1 + $\frac{1-{\cos }^2(3x)}{{\cos }^2(3x)}$ = 1 + $\frac{1}{{\cos }^2(3x)}$ – 1 = $\frac{1}{{\cos }^2(3x)}$
  dus F(x) = tan(3x) · $\frac{1}{3}$ + c = $\frac{1}{3}$tan(3x) + c

‡

Voorbeeld 2

Gegeven is op [0,2π] de functie f met
f(x) = cos(x).
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f. Bereken de oppervlakte en de omtrek van V en de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V om de x-as te wentelen.

Antwoord

Oppervlakte: opp(V) = ${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}-\cos (x)\text{d}x}$ = ${\left[-\sin (x)\right]}_{\mathrm{0,5}\text{π}}^{\mathrm{1,5}\text{π}}$ = 2.

Omtrek: omtrek(V) = π + ${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}\sqrt{1+{\sin }^2(x)}\text{d}x}$ ≈ 6,96. (Moet met de GR.)

Inhoud: I(V) = ${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}\pi \cdot {\text{cos}}^2\text{(x)d}x}$
Omdat cos(2x) = 2 cos²(x) – 1, geldt: cos²(x) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ cos(2x).
De integraal wordt daarmee:
${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}\text{π}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2x)\right)}\text{d}x$ = ${\left[\text{π}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin (2x)\right)\right]}_{\mathrm{0,5}\text{π}}^{\mathrm{1,5}\text{π}}$ = 0,5π².

‡

Voorbeeld 3

Gegeven is op $\langle -\text{π},\text{π}\rangle$ de functie f met
f(x) = $\frac{1}{\cos (\frac{1}{2}x)}$.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de lijn y = 2 en de grafiek van f. Bereken inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V om de x-as te wentelen.

Antwoord

De inhoud is:

I(V) = ${\displaystyle \underset{-\frac{2}{3}\text{π}}{\overset{\frac{2}{3}\text{π}}{\int }}\text{π}\cdot 2^2\text{d}x-{\displaystyle \underset{-\frac{2}{3}\text{π}}{\overset{\frac{2}{3}\text{π}}{\int }}\text{π}\cdot \frac{1}{{\cos }^2(\frac{1}{2}x)}}}\text{d}x$ = ${\left[\pi \cdot 4x\right]}_{-\frac{2}{3}\pi }^{\frac{2}{3}\pi }-{\left[\pi \cdot 2\tan (\frac{1}{2}x)\right]}_{-\frac{2}{3}\pi }^{\frac{2}{3}\pi }$ ≈ 30,9.

‡

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je van goniometrische functies primitieven kunt bepalen. Je hebt daar af en toe de goniometrische formules bij nodig. Primitieveer nu de volgende functies
   1. ${\displaystyle f\left(x\right)=\mathrm{0,5}sin\left(x\right)+3cos\left(2x\right)}$
   2. ${\displaystyle f\left(x\right)=2+4cos(\mathrm{0,4}\pi x-\mathrm{0,5}\pi )}$
   3. ${\displaystyle f\left(x\right)=3tan\left(\mathrm{0,5}x\right)}$
   4. ${\displaystyle f\left(x\right)={tan}^2\left(x\right)}$
   5. ${\displaystyle f\left(x\right)={cos}^2\left(x\right)}$
   6. ${\displaystyle f\left(x\right)=5sin\left(2x\right)cos\left(2x\right)}$


5. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
   1. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(x\right)\text{d}x}$
   2. ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }sin\left(x\right)\text{d}x}$
   3. ${\displaystyle {\int }_0^{10}6+12sin\left(\mathrm{0,2}\pi (x-2)\right)\text{d}x}$
   4. ${\displaystyle {\int }_0^{1}2sin\left(\pi x\right)-sin\left(\mathrm{0,5}\pi x\right)\text{d}x}$
   5. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(t\right)cos\left(2t\right)+cos\left(t\right)sin\left(2t\right)\text{d}t}$
   6. ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,25}\pi }\frac{3}{{cos}^{2x}}\text{d}x}$


6. In Voorbeeld 2 zie je de grafiek van ${\displaystyle f\left(x\right)=cos\left(x\right)}$ op ${\displaystyle \left[\mathrm{0,2}\pi \right]}$.
   1. Ga na dat ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }cos\left(x\right)\text{d}x=0}$.
   2. Hoe groot is de oppervlakte van alle vlakdelen tussen de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de ${\displaystyle x}$-as samen?
   3. Verklaar het verschil tussen de voorgaande twee antwoorden.
   4. Bereken de oppervlakte van de vlakdelen tussen de grafiek en de ${\displaystyle x}$-as op ${\displaystyle [0,\pi ]}$.


7. Bekijk de grafiek van ${\displaystyle f\left(x\right)=sin\left(x\right)}$ op ${\displaystyle [0,\pi ]}$.
   1. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek en de ${\displaystyle x}$-as.
   2. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ${\displaystyle V}$ dat wordt ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de lijn ${\displaystyle y=x}$.
   3. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt om de ${\displaystyle x}$-as gewenteld. Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.


8. Bekijk de berekening van de inhoud van het omwentelingslichaam in Voorbeeld 3.
   1. Waarom kun je de oppervlakte van dit vlakdeel niet met behulp van primitiveren berekenen en de inhoud wel?
   2. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel.
   3. Voer zelf de berekening van de inhoud van het omwentelingslichaam uit.


9. Bekijk de grafiek van ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{sin\left(x\right)}}$ op ${\displaystyle \langle 0,\pi \rangle }$.
   Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de lijn ${\displaystyle y=\frac{2}{3}\sqrt{3}}$ te wentelen om de ${\displaystyle x}$-as.
   

Verwerken

10. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }cos\left(\mathrm{0,5}x\right)\text{d}x}$
    2. ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }cos\left(x\right)\text{d}x}$
    3. ${\displaystyle {\int }_0^{5}50+12cos\left(\mathrm{0,2}\pi x\right)\text{d}x}$
    4. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|sin\left(2x\right)\right|\text{d}x}$
    5. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{sin}^2\left(2t\right)\text{d}t}$
    6. ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,125}\pi }\mathrm{0,5}{tan}^{2x}\text{d}x}$


11. Gegeven zijn de functies ${\displaystyle f\left(x\right)=sin\left(2x\right)}$ en ${\displaystyle g\left(x\right)=cos\left(2x\right)}$ op ${\displaystyle [0,\pi ]}$.
    Beide grafieken sluiten twee gelijke vlakdelen in. Eén van die twee vlakdelen is vlakdeel ${\displaystyle V}$.
    1. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van ${\displaystyle V}$.
    2. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt om de ${\displaystyle x}$-as gewenteld. Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.


12. Gegeven zijn de functies ${\displaystyle f_p\left(x\right)=sin\left(2x\right)+\sqrt{3}cos\left(2x\right)+p}$ op het interval ${\displaystyle \left[\mathrm{0,2}\pi \right]}$.
    1. Breng de grafiek van ${\displaystyle f_0}$ duidelij in beeld op je grafische rekenmachine.
    2. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f_0}$ en de ${\displaystyle x}$-as.
    3. Voor welke waarde van ${\displaystyle p}$ is de integraal van ${\displaystyle f_p}$ op het gegeven interval gelijk aan ${\displaystyle 6}$?


13. Met domein ${\displaystyle [0,\pi ]}$ is gegeven de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=sin\left(x\right)}$. De grafiek van ${\displaystyle f}$ snijdt de ${\displaystyle x}$-as in ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle A}$ en heeft als top ${\displaystyle T}$. Gegeven is verder de tweedegraadsfunctie ${\displaystyle g\left(x\right)=ax(x-\pi )}$, eveneens met domein ${\displaystyle [0,\pi ]}$. Neem ${\displaystyle a=-\frac{4}{{\pi }^2}}$ . De grafieken van ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ lijken dan op elkaar.
    1. Toon aan dat ook de grafiek van ${\displaystyle g}$ door ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle T}$ gaat.
    2. In ${\displaystyle O}$ is de helling van de grafiek van ${\displaystyle g}$ groter dan de helling van de grafiek van ${\displaystyle f}$. Toon dit aan met behulp van differentiëren.
    3. Een andere benadering voor de grafiek van ${\displaystyle f}$ krijg je als je ${\displaystyle a}$ zodanig kiest dat geldt: ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f\left(x\right)-g\left(x\right)\text{d}x=0}$. Bereken in dit geval de exacte waarde van ${\displaystyle a}$.
    (Bron: vwo examen wiskunde B in 2005, tweede tijdvak, opgave 3)
    


14. De grafiek van de functie ${\displaystyle g\left(x\right)=1-cos\left(\mathrm{0,2}\pi x\right)}$ ziet er op het interval ${\displaystyle \left[\mathrm{0,5}\right]}$ uit als één golf.
    1. Bereken de exacte oppervlakte tussen deze golf en de ${\displaystyle x}$-as.
    2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van deze golf.

Testen

15. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. ${\displaystyle {\int }_0^{4}10-20cos\left(\pi x\right)\text{d}x}$
    2. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }x-cos\left(2x\right)\text{d}x}$
    3. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }x-{cos}^2\left(x\right)\text{d}x}$
    4. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{tan}^2\left(x\right)-1\text{d}x}$


16. Voor is de functie ${\displaystyle f_a}$ gegeven door ${\displaystyle f_a\left(x\right)=sin\left(x\right)+asin\left(2x\right)}$ op het domein ${\displaystyle [0,\pi ]}$. Toon aan dat de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van ${\displaystyle f_a}$ en de ${\displaystyle x}$-as, onafhankelijk is van ${\displaystyle a}$.
    (Bron: vwo examen wiskunde B in 2005, tweede tijdvak, opgave 3)