Integralen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Integralen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Integralen > Uitleg

Opgaven

  1. Bekijk de Uitleg. Er worden primitieven bepaald van goniometrische functies.
    1. Hoe kun je elke primitieve controleren?
    2. Laat zien dat `F(x) = - 1/2 cos(2x) + c` de primitieven van `f(x) = sin(2x)` zijn.
    3. Welke van deze primitieven gaat door `(0,1)`?
    4. Welke primitieven heeft `g(x) = cos(3x)`?

  2. Laat zien, dat `F(x) = - ln(cos(x)) + c` de primitieven zijn van `f(x) = tan(x)`.

  3. Bepaal de volgende onbepaalde integralen.
    1. `int sin(4x) + 4cos(x) text(d)x`
    2. `int cos(x) * tan(x) text(d)x`
    3. `int 1 - 2 tan(t) text(d)t`
    4. `int 250 + 20 sin(2pi(t - 2)) text(d)t`

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Integralen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 zie je hoe je van goniometrische functies primitieven kunt bepalen. Je hebt daar af en toe de goniometrische formules bij nodig. Primitieveer nu de volgende functies
    1. `f(x) = 0,5sin(x) + 3 cos(2x)`
    2. `f(x) = 2 + 4 cos(0,4pi x - 0,5pi)`
    3. `f(x) = 3tan(0,5x)`
    4. `f(x) = tan^2(x)`
    5. `f(x) = cos^2(x)`
    6. `f(x) = 5sin(2x)cos(2x)`

  2. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. `int_(0)^(pi) sin(x) text(d)x`
    2. `int_(0)^(2pi) sin(x) text(d)x`
    3. `int_(0)^(10) 6 + 12sin(0,2pi(x - 2)) text(d)x`
    4. `int_(0)^(1) 2sin(pi x) - sin(0,5pi x) text(d)x`
    5. `int_(0)^(pi) sin(t) cos(2t) + cos(t) sin(2t) text(d)t`
    6. `int_(0)^(0,25pi) 3/(cos^(2x)) text(d)x`

  3. In Voorbeeld 2 zie je de grafiek van `f(x) = cos(x)` op `[0,2pi]`.
    1. Ga na dat `int_0^(2pi) cos(x) text(d)x = 0`.
    2. Hoe groot is de oppervlakte van alle vlakdelen tussen de grafiek van `f` en de `x`-as samen?
    3. Verklaar het verschil tussen de voorgaande twee antwoorden.
    4. Bereken de oppervlakte van de vlakdelen tussen de grafiek en de `x`-as op `[0,pi]`.

  4. Bekijk de grafiek van `f(x) = sin(x)` op `[0,pi]`.
    1. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek en de `x`-as.
    2. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel `V` dat wordt ingesloten door de grafiek van `f` en de lijn `y=x`.
    3. Het vlakdeel `V` wordt om de `x`-as gewenteld. Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.

  5. Bekijk de berekening van de inhoud van het omwentelingslichaam in Voorbeeld 3.
    1. Waarom kun je de oppervlakte van dit vlakdeel niet met behulp van primitiveren berekenen en de inhoud wel?
    2. Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel.
    3. Voer zelf de berekening van de inhoud van het omwentelingslichaam uit.

  6. Bekijk de grafiek van `f(x) = 1/(sin(x))` op `(:0,pi:)`.
    Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f` en de lijn `y=2/3 sqrt3` te wentelen om de `x`-as.

Verwerken

  1. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. `int_(0)^(pi) cos(0,5x) text(d)x`
    2. `int_(0)^(2pi) cos(x) text(d)x`
    3. `int_(0)^(5) 50 + 12cos(0,2pi x) text(d)x`
    4. `int_(0)^(pi) |sin(2x)| text(d)x`
    5. `int_(0)^(pi) sin^2(2t) text(d)t`
    6. `int_(0)^(0,125pi) 0,5tan^(2x) text(d)x`

  2. Gegeven zijn de functies `f(x) = sin(2x)` en `g(x) = cos(2x)` op `[0,pi]`.
    Beide grafieken sluiten twee gelijke vlakdelen in. Eén van die twee vlakdelen is vlakdeel `V`.
    1. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van `V`.
    2. Het vlakdeel `V` wordt om de `x`-as gewenteld. Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.

  3. Gegeven zijn de functies `f_(p)(x) = sin(2x) + sqrt3 cos(2x) + p` op het interval `[0,2pi]`.
    1. Breng de grafiek van `f_0` duidelij in beeld op je grafische rekenmachine.
    2. Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f_0` en de `x`-as.
    3. Voor welke waarde van `p` is de integraal van `f_p` op het gegeven interval gelijk aan `6`?

  4. Met domein `[0, pi]` is gegeven de functie `f(x) = sin(x)`. De grafiek van `f` snijdt de `x`-as in `O` en `A` en heeft als top `T`. Gegeven is verder de tweedegraadsfunctie `g(x) = ax(x - pi)`, eveneens met domein `[0, pi]`. Neem `a = - 4/(pi^2)` . De grafieken van `f` en `g` lijken dan op elkaar.
    1. Toon aan dat ook de grafiek van `g` door `O`, `A` en `T` gaat.
    2. In `O` is de helling van de grafiek van `g` groter dan de helling van de grafiek van `f`. Toon dit aan met behulp van differentiëren.
    3. Een andere benadering voor de grafiek van `f` krijg je als je `a` zodanig kiest dat geldt: `int_(0)^(pi) f(x) - g(x) text(d)x = 0`. Bereken in dit geval de exacte waarde van `a`.
    (Bron: vwo examen wiskunde B in 2005, tweede tijdvak, opgave 3)

  5. De grafiek van de functie `g(x) = 1 - cos(0,2pi x)` ziet er op het interval `[0,5]` uit als één golf.
    1. Bereken de exacte oppervlakte tussen deze golf en de `x`-as.
    2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van deze golf.

Testen

  1. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. `int_(0)^(4) 10 - 20cos(pi x) text(d)x`
    2. `int_(0)^(pi) x - cos(2x) text(d)x`
    3. `int_(0)^(pi) x - cos^2(x) text(d)x`
    4. `int_(0)^(pi) tan^2(x) - 1 text(d)x`

  2. Voor `0 < a < 1/2 pi` is de functie `f_a` gegeven door `f_(a)(x) = sin(x) + a sin(2x)` op het domein `[0, pi]`. Toon aan dat de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van `f_a` en de `x`-as, onafhankelijk is van `a`.
    (Bron: vwo examen wiskunde B in 2005, tweede tijdvak, opgave 3)