Goniometrische functies differentiëren

Antwoorden bij de opgaven

  1. Je kent de kettingregel, dus `g'(x) = - cos(1/2 pi - x) = - sin(x)`.

  2. `f(x) = (sin(x))/(cos(x))` en dus `f'(x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x) * -sin(x))/(cos^2(x)) = 1/(cos^2(x))`.

    1. `f'(x) = 2 cos(x)`
    2. `f'(x) = 2cos(2x)`
    3. `f'(x) = 2 sin(x) cos(x)`
    4. `f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)`
    5. `f'(x) = -8 sin(2x) - 2 cos(2x)`
    6. `f'(x) = -2 cos(x) sin(x) - 3 sin(x)`
    7. `f'(x) = 3/(cos^2(3x))`
    8. `f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)`

    1. `f'(x) = 8800pi cos(440pi x)` en raaklijn `y = 8800pi x`.
    2. `f'(x) = cos(x) - x sin(x)` en `y = x`.
    3. `f'(x) = 2x cos(3x) - 3x^2 sin(3x)` en `y = 0`.
    4. `f'(x) = (tan(1/2 x))/(cos^2(1/2 x))` en `y = 0`.

    1. `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) - 2 cos(x) sin(x) = 0`
    2. Met `f(x) = sin^2(x) + cos^(x) = 1`.

    1. Evenwichtsstand `y = (3,05 + 3,15)/2 = 3,10`, amplitude `A = 0,05`, periode `60/40 = 1,5` en horizontale verschuiving `t = 0`.
    2. De grafiek is dan zo steil mogelijk en loopt naar beneden.
    3. Doen.
    4. De grootste snelheid van inademen zit bijvoorbeeld bij `t = 3/4 * 1,5 = 1,125` Dan is de snelheid van inademen `L'(1,125) ~~ 0,021`.

    1. `f(x) = sin^2(x) + sin(x)` en `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0` geeft `cos(x) = 0 vv sin(x) = -0,5` en dit geeft `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi`. De extremen zijn max.`f(1/2 pi) = 2`, min.`f(1 1/6 pi) = -0,25`, max.`f(1 1/2 pi) = 0` en min.`f(1 5/6 pi) = -0,25`.
    2. `f'((pi)/2) = 2 sin((pi)/2) cos((pi)/2) - p cos((pi)/2) = 0` en dit klopt voor elke `p`.
    3. Er zijn twee situaties om te bekijken:
      Als `0 < p < 2`, dan is het grootste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het kleinste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `1 + p = 2(1 - p)`. Dit geeft `3p = 1` en dus `p = 1/3`.
      Als `-2 < p < 0`, dan is het kleinste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het grootste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `2(1 + p) = 1 - p`. Dit geeft `-3p = 1` en dus `p = -1/3`.

  8. `f'(0) = -2` geeft met `f'(x) = a/(cos^2(ax))` de vergelijking `a/1 = -2` en dus `a = -2`.

    1. `f_1'(x) = -2 sin(x) cos(x) = 0` geeft `x = k * pi vv x = 1/2 pi + k * pi`. De toppen zijn `(k * pi, 1)` en `(1/2 pi + k * pi, 0)`.
    2. `f_2'(x) = 8 cos(2x - 0,25pi) = 0` geeft `x = 0,375 pi + k * 0,5pi`. De toppen zijn `(0,375 pi + k * pi; 6)` en `(0,875 pi + k * pi; 4)`.
    3. `f_3'(x) = 2 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0` geeft `x = 1/2 pi + k * pi vv x = 1 1/6 pi + k * 2pi vv x = 1 5/6 pi + k * 2pi`. De toppen zijn `(1/2 pi + k * 2pi, 2)`, `(3/2 pi + k * 2pi, 0)`, `(1 1/6 pi + k * 2pi; -0,25)` en `(1/2 pi + k * 2pi; -0,25)`.
    4. `f_4'(x) = 1/(1 + cos(x)) = 0` heeft geen oplossingen.

    1. `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + sqrt3 sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = -1/2 sqrt3`, dus `x = 0 vv x = 5/6 pi vv x = pi vv x = 7/6 pi vv x = 2pi`. Dus min.`f(0) = -sqrt3 - 1`, max.`f(5/6 pi) = 3/4`, min.`f(pi) = sqrt3 - 1`, max.`f(7/6 pi) = 3/4` en max.`f(2pi) = -sqrt3 - 1`.
    2. `f"(x) = 2 cos^2(x) - 2 sin^2(x) - sqrt3 cos(x) = 0` geeft `4 cos^2(x) - sqrt3 cos(x) - 2 = 0` en `cos(x) = (sqrt3 +- sqrt(35))/8`. Dit betekent `cos(x) ~~ 0,956 vv cos(x) ~~ -0,523` zodat `x ~~ 1,15 vv x ~~ 1,73 vv x ~~ 4,55 vv x ~~ 5,13`. Deze waarden moet je nog in `f` invullen voor de buigpunten.

    1. `f'(x) = 1/(8 cos^2(x)) - cos(x) = 0` geeft `cos^3(x) = 1/8` en dus `cos(x) = 1/2`, zodat `x = +- 1/3 pi + k * 2pi`. Dus min.`f(1/3 pi) = - 3/8 sqrt3` en max.`f(1 2/3 pi) = 3/8 sqrt3`.
    2. `f"(x) = (sin(x))/(4 cos^3(x)) + sin(x)` en `f"(0) = 0`.
      `f'(0) = - 7/8` en `f(0) = 0` en dus is de raaklijn `y = - 7/8 x`.

    1. `f(x) = 2 + cos(x) - cos^2(x) = 2` geeft `cos(x)(1 - cos(x)) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1`.
      Dit geeft `x = 0 vv x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 2pi`.
    2. `f"(x) = - sin(x) + 2 cos(x) sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 1 vv cos(x) = 1/2` en dus `x = 1/3 pi vv x = 1/2 pi vv x = 1 2/3 pi`.
      Je vindt max.`f(1/3 pi) = f(1 2/3 pi) = 2,25` en min.`f(pi) = 0`.
    3. Bekijk de grafiek op de GR.
      De lijn `y = 2` loopt horizontaal en mag de grafiek maar in twee punten snijden. Dat doet hij als `0 < p < 2 vv p = 2,25`.

    1. De periode is `1/60` minuut. Er gaan dus `60` ademhalingen in een minuut.
    2. De evenwichtsstand is `3,1`. De periode `1/60`. De amplitude is `0,05`. Er is geen verschuiving. Dit levert de sinusoïde `V(t) = 3,1 + 0,05 sin(120pi t)`.
    3. Op een kwart van de amplitude is de daling van de longinhoud maximaal. Dit is bij `t = 1/240`. Dan is de snelheid gelijk aan `-6pi` liter per minuut.

    1. `f(x) = 0` geeft `sin(x) = cos(x)` en dus `x = 1/4 pi vv x = 5/4 pi`. De nulpunten zijn `(1/4 pi,0)` en `(5/4 pi, 0)`.
      `f'(x) = (cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0` geeft `cos(x) + sin(x) + 1 = 0` en `sin(x + 1/2pi) + sin(x) + 1 = 0`. Met de formules van Simpson krijg je `sqrt2 sin(x + 1/4 pi) = -1` en dus `sin(x + 1/4 pi) = -1/2 sqrt2` zodat `x = pi vv x = 1,5pi`. De laatste oplossing vervalt omdat deze waarde ook een nulwaarde van de noemer is. De top is `(pi, 1)`.
    2. Het snijpunt met de `y`-as is het punt `(0,-1)`. De afgeleide heeft daar een waarde `f'(0) = 2`. De vergelijking van de gevraagde lijn is `y = 2x - 1`.
    3. De vergelijking `f(x) = 1/2` geeft `x ~~ 1,57 vv x ~~ 3,78`. De lengte van het lijnstuk is dus `2,21`.
    4. Loodrecht snijdende lijnen, daarvan is het product van de richtingscoëfficiënten gelijk aan `-1`. De gegeven lijn snijdt de grafiek van `f` in een punt waarin de raaklijn aan `f` richtingscoëfficiënt `0,5` heeft. Dus je zoekt het punt waarvoor `f'(x) = 0,5`.
      Dit geeft: `(cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0,5`.
      Deze vergelijking kun je schrijven als `0,5 sin^2(x) - cos(x) - 0,5 = 0` ofwel `0,5 cos^2(x) + cos(x) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = -2`. En dat geeft `x = 0,5pi vv x = 1,5pi`. Alleen `x = 0,5pi` voldoet, dus je krijgt het punt `(0,5pi; 0,5)` en `a = pi + 0,5`.

    1. `y = 1/2 x + 4`. Neem als venster bijvoorbeeld `[0,2pi]xx[-2,10]`.
    2. `f'(x) = 0,5 + 2 cos(x) = 0` als `cos(x) = -0,25`. Dit geeft de toppen `(1,82;6,85)` en `(4,46;4,29)`.
    3. Nee die vallen niet samen, want deze grafiek is een sinus die slingert om een stijgende lijn, terwijl de standaardsinus slingert om een horizontale lijn.

    1. `f(x) = sin^2(x) + cos(x) = -cos^2(x) + cos(x) + 1 = 0` geeft `cos(x) = (-1 +- sqrt5)/(2)`.
      Dus `cos(x) ~~ -0,618 vv cos(x) ~~ 1,618`. De laatste oplossing voldoet niet. Op het gegeven interval zijn de volgende waarden oplossingen: `x ~~ - 5,38 vv x ~~ - 2,24 vv x ~~ 2,24 vv x ~~ 5,38`. Dit zijn de x-coördinaten van de nulpunten.
      `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0,5`.
      Op het gegeven interval geeft dit de volgende toppen: `(+-2 pi, 1)`, `(+- pi, 1)`, `(+- 1/3 pi; 1,25)` en `(+- 5/3 pi; 1,25)`.
    2. `f(x) = 1` geeft `cos(x) - cos^2(x) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1`.
      Dit levert op: `x = 0 vv x = +- 2pi vv x = +- 0,5pi vv x = +- 1,5 pi`. Je kunt uit de grafiek aflezen op welke intervallen de grafiek boven de gegeven lijn ligt: `-2pi < x < -1,5pi vv -0,5pi < x < 0 vv 0 < x < 0,5pi vv 1,5pi < x < 2pi`.

    1. `f'(x) = 1 + 2 cos(x) = 0` en dus `cos(x) = -0,5` zodat `x = 2/3 pi vv x = 4/3 pi`.
      Je krijgt max.`f(2/3 pi) = 2/3 pi + sqrt3` en min.`f(4/3 pi) = 4/3 pi - sqrt3`.
    2. In de raakpunten is de afgeleide gelijk aan 1.
      `f'(x) = 1` geeft `cos(x) = 0` en dit geeft `x = 0,5pi vv x = 1,5pi`.
      In `(0,5pi; 0,5pi + 2)` is de raaklijn `y = x + 2`.
      In `(1,5pi; 1,5pi - 2)` is de raaklijn `y = x - 2`.
    3. Hier moet je het bereik van de afgeleide functie bepalen. Dan bepaal je eerst de extremen met behulp van de tweede afgeleide: `f"(x) = 0` geeft `2 sin(x) = 0` en dus `x = 0 vv x = pi vv x = 2pi`. Je krijgt max.`f'(0) = f'(2pi) = 3` en min.`f'(pi) = -1`. Dus `-1 <= a <= 3`.

  18. De punten `O(0,0)`, `S(10,0)` en `T(5,4)` zijn eenvoudig te vinden. Vanwege de symmetrie is het voldoende te kijken naar het lijnstuk `OT`. Dit lijnstuk heeft de vergelijking `y = 0,8x` als `0 <= x <= 5`. Als `l` de lengte van het lijnstuk `AB` is, dan geldt: `l(x) = 4 sin(0,1pi x) - 0,8x`. `l(x)` is maximaal als `l'(x) = 0,4pi cos(0,1pi x) - 0,8 = 0`, dus als `cos(0,1pi x) ~~ 0,637`. Dit geldt als `x ~~ 2,80`. Dan is de maximale waarde `l(2,80) ~~ 0,84`.