Goniometrische formules

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische formules > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische formules > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk de symmetrieformules die in de Uitleg worden afgeleid.
   1. Laat nu zelf zien, dat: `sin(–alpha) = –sin(alpha)` en `cos(–alpha) = cos(alpha)` en `tan(-alpha) = - tan(alpha)`.
   2. Laat zien, dat: `sin(1/2 pi – alpha) = cos(alpha)` en `cos(1/2 pi – alpha) = sin(alpha)`.
   3. Laat ook zien dat: `cos(alpha) = sin(alpha + 1/2 pi)` en `sin(alpha) = cos(alpha – 1/2 pi)`.


2. Breng de grafiek van `y = sin^2(x) + cos^2(x)` op je grafische rekenmachine in beeld.
   1. Welke formule heb je nu zichtbaar gemaakt? En hoe wordt die formule in de Uitleg afgeleid?
   2. Maakt het daarbij verschil of je in graden of radialen werkt?


3. In de Uitleg wordt de formule `sin(alpha + beta) = sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta)` afgeleid. Hieruit kun je formules afleiden voor `sin(alpha - beta)`, `cos(alpha + beta)` en `cos(alpha - beta)`. Je ziet al die formules in de Theorie.
   1. Leid eerst de formule voor `sin(alpha - beta)` af. Gebruik de symmetrieformules.
   2. Leid nu de formule voor `cos(alpha + beta)` af. Gebruik daarbij formules die `sin` omzetten in `cos` en omgekeerd.
   3. Uit de formule bij b kun je een formule voor `cos(alpha - beta)` afleiden. Laat zien hoe.
   4. Leid een formule af voor `tan(alpha + beta)`. Zorg er voor dat er alleen de `tan` in voorkomt.


4. In de Uitleg worden ook de formules van Simpson genoemd. Eén van die formules is `sin(p) + sin(q) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))`. Deze formule kun je afleiden uit de formules voor `sin(alpha + beta)` en `sin(alpha - beta)`. Probeer dat zelf te doen, neem `alpha + beta = p` en `alpha - beta = q`.
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische formules > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

5. Bekijk Voorbeeld 1. Er wordt aangetoond dat `f(x) = sin(x) + cos(x) = sqrt(2) cos(x - 1/4 pi)`. En dus is `f` een zuivere sinusoïde.
   Los nu algebraïsch vergelijking `f(x) = 1` op.
   


6. Als je de sinusoïden `y_1 = sin(x)` en `y_2 = sin(x - 1/6 pi)` optelt, krijg je de functie `f(x) = sin(x) + sin(x - 1/6 pi)`. Laat zien dat je het functievoorschrift van `f` zo kunt herleiden dat je er een zuivere sinusoïde in herkent.
   


7. In Voorbeeld 2 worden de verdubbelingsformules afgeleid.
   1. Leid alle drie de formules voor `cos(2x)` af die in de Theorie worden genoemd.
   2. Leid zelf de formule voor `tan(2x)` af.


8. In Voorbeeld 3 wordt de vergelijking `sin(2x) - sin(x) = 0` op twee manieren opgelost.
   1. Bij welke van beide manieren wordt gebruik gemaakt van symmetrie? Bij welke stap in de oplossing?
   2. Bij de andere methode wordt een verdubbelingsformule gebruikt. Bij welke stap in de oplossing?


9. Los algebraïsch op in `[0,2pi]`: `sin(2x) - cos(x) > 0`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   


10. In Voorbeeld 4 wordt de functie `f(x) = cos(2x) - 2 cos(x)` bekeken.
    1. Voer de berekening van de nulpunten van de grafiek van `f` zelf uit.
    2. Maak de oplossing van `f(x) = -1` verder af.
    3. Los in `[0,2pi]` op: `f(x) < -1`.

Verwerken

11. Als je de sinusoïden `y_1 = cos(x)` en `y_2 = cos(x + 1/4 pi)` van elkaar aftrekt, krijg je de grafiek van de functie `f(x) = cos(x) - cos(x + 1/4 pi)`.
    1. Toon aan dat `f` een sinusoïde is.
    2. Bereken met behulp van je formule bij a de toppen en de nulpunten van de grafiek van `f`.
    3. Los algebraïsch op `[0,2pi]` op: `f(x) > 1/2`. (Benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.)


12. Met domein `[0,2pi]` is gegeven de functie `f(x) = sin^2(x) - 1/2 cos(x) - 1`.
    1. Bepaal de nulpunten van deze functie met de grafische rekenmachine.
    2. Laat zien dat je deze functie kunt herschrijven tot `f(x) = -cos^2(x) - 1/2 cos(x)`.
    3. Bereken nu de nulpunten exact.
    4. Los algebraïsch op: `f(x) > -1/2`.


13. Met domein `[0,2pi]` is gegeven de functie `f(x) = 1/8 tan(x) - sin(x)`.
    1. Bereken algebraïsch de nulpunten van deze functie.
    2. Breng de grafiek in beeld en bepaal de toppen.
    3. Welke asymptoten heeft de grafiek?
    4. Los algebraïsch op: `f(x) >= 1/2 sin(x)`.


14. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `sin(x + 2/3 pi) + sin(x) = 1/2`
    2. `cos(x + 1/3 pi) = cos(x)`
    3. `cos^2(x) + sin(x) = 1`
    4. `2 sin^2(x) - cos(2x) = 0`
    5. `2 cos^2(x) - 2 sin(x) = 0`
    6. `tan(x) = sin(x)`


15. Gegeven zijn de functies `f(x) = sin(x - 1/4 pi)`, `g(x) = sin(x + 1/4 pi)` en `S(x) = f(x) + g(x)`.
    1. Onderzoek met je grafische rekenmachine of de functie `S` een sinusoïde zou kunnen zijn.
    2. Toon algebraïsch aan dat `S` een sinusoïde is.
    3. Los algebraïsch op: `S(x) >= 1`.

Testen

16. Gegeven zijn de functies `y_1 = sin(2x) + 1/2`, `y_2 = sin(2x + 1/4 pi)` en `y_3 = y_2 - y_1`. Neem voor al deze functies als domein `[-pi, pi]`.
    1. Toon aan dat de grafiek van `y_3` een zuivere sinusoïde is.
    2. Bepaal algebraïsch alle toppen en nulpunten van `y_3`.
    3. Los algebraïsch op: `y_3 >= 0`.


17. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. (Eventuele benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.)
    1. `sin(x) = cos(x)`
    2. `sin(2x) = cos(x)`
    3. `cos^2(x) = sin^2(x)`
    4. `cos(x + 1/6 pi) + sin(x - 1/6 pi) = 1/2`