Goniometrische formules

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `- alpha`. Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))`.
   2. Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha`.
   3. Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha`, `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi`.


2. 1. Je krijgt de grafiek `y = 1`, dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x) + cos^2(x) = 1`.
   2. Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.


3. 1. `sin(alpha - beta) = sin(alpha + -beta) = sin(alpha) cos(-beta) + cos(alpha) sin(-beta) = sin(alpha) cos(beta) - cos(alpha) sin(beta)`.
   2. `cos(alpha + beta) = sin(alpha + beta + 1/2 pi) = sin(alpha + 1/2pi) cos(beta) + cos(alpha + 1/2 pi) sin(beta) = cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)`.
   3. `cos(alpha - beta) = cos(alpha) cos(-beta) - sin(alpha) sin(-beta) = cos(alpha) cos(beta) + sin(alpha) sin(beta)`.
   4. Gebruik `tan(alpha + beta) = (sin(alpha + beta))/(sin(alpha + beta))` en deel dan teller en noemer door `cos(alpha) cos(beta)`. Je krijgt `tan(alpha + beta) = (tan(alpha) + tan(beta))/(1 - tan(alpha) tan(beta))`.


4. `sin(p) + sin(q) = sin(alpha + beta) + sin(alpha - beta) = sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta) + sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta) = 2sin(alpha)cos(beta) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))`, want `alpha = 1/2(p+q)` en `beta = 1/2(p-q)`.
   


5. `sqrt2 cos(x - 1/4 pi) = 1` geeft `cos(x - 1/4 pi) = 1/2sqrt2 = cos(1/4 pi)` en dus `x = 1/2 pi + k*2pi vv x = 0 + k*2pi`.
   


6. Gebruik weer de formules van Simpson.
   `sin(x) + sin(x - 1/6 pi) = 2 sin(1/2(2x - 1/6 pi)) cos(1/2(1/6 pi)) = 2 cos(1/12 pi) * sin(x - 1/12 pi)`.
   Omdat `A = 2 cos(1/12 pi)` een constante is, is dit een sinusoïde met amplitude `A`.
   


7. 1. Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)`.
      Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1`.
   2. Doen.


8. 1. Uit symmetrie in de eenheidscirkel volgt `sin(x) = sin(pi - x)`. Dat wordt gebruikt bij de tweede methode in de tweede stap.
   2. Bij de eerste methode wordt de formule voor `sin(2x)` gebruikt.


9. `sin(2x) - cos(x) = 0` geeft `2 sin(x) cos(x) - cos(x) = 0` en dus `cos(x) (2 sin(x) - 1) = 0`.
   En dat geeft op `[0,2pi]` als oplossing: `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 1/6 pi vv x = 5/6 pi`.
   De ongelijkheid heeft als oplossing: `1/6 pi < x < 1/2 pi vv 5/6 pi < x < 1 1/2 pi`.
   


10. 1. Doen.
    2. `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1` heeft op `[-2pi,2pi]` als oplossing `x = +-1 1/2 pi vv x = +- 1/2 pi vv x = +- 2pi vv x = 0`.
    3. `-2pi < x < -1 1/2 pi vv 1/2 pi < x < 0 vv 0 < x < 1/2 pi vv 1 1/2 pi < x < 2pi`


11. 1. `f(x) = cos(x) - cos(x + 1/4 pi) = -2 sin(1/2(2x + 1/4pi)) sin(1/2(-1/4pi)) = 2 sin(1/8pi) * cos(x + 1/8pi)`.
    2. Toppen als `cos(x + 1/8pi) = +-1`, dus als `x + 1/8pi = 0 + k*2pi vv x + 1/8 pi = pi + k*2pi`.
       De toppen zijn `(-1/8 pi + k * 2pi, 2 sin(1/8pi))` en `(7/8 pi + k * 2pi, -2 sin(1/8pi))`.
       Nulpunten als `x + 1/8 pi = 1/2 pi + k*pi`. De nulpunten zijn dus `(3/8pi + k*pi,0)`.
    3. `f(x) = 1/2` geeft `cos(x + 1/8pi) = 1/(4 sin(1/8pi)) ~~ 0,653`. Op `[0,2pi]` vind je `x ~~ 0,32 vv x ~~ 2,04`. De ongelijkheid heeft dan als oplossing `0,32 <= x < 2,04`.


12. 1. `(1,57;0)`, `(2,09;0)`, `(4,19;0)` en `(5,65;0)`.
    2. Gebruik `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je vindt de gewenste uitdrukking.
    3. `-cos^2(x) - 1/2 cos(x) = 0` geeft `-cos(x)(cos(x) + 1/2) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = -0,5`. Je vindt: `(1/2pi,0)`, `(2/3pi,0)`, `(4/3pi,0)` en `(3/2pi,0)`.
    4. `-cos^2(x) - 1/2 cos(x) = - 1/2` los je op met de `abc`-formule. Je vindt `x = +-1/3pi + k*2pi vv x = +-pi + k*2pi`. De oplossing van de ongelijkheid wordt: `1/3pi < x < pi vv pi < x < 5/3 pi`


13. 1. `f(x) = 0` geeft `tan(x) = 8sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 8sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 8cos(x)) = 0`.
       Dit geeft `x = k*pi vv x ~~ 1,45 + k*2pi`.
       Op het gegeven interval zijn de nulpunten: `(-pi,0)`, `(-1,45;0)`, `(0,0)`, `(1,45;0)` en `(pi,0)`.
    2. De toppen zijn ongeveer `(-1,05;0,65)` en `(1,05;-0,65)`.
    3. Bij `x = +- 1/2 pi` liggen de asymptoten.
    4. `f(x) = 1/2 sin(x)` geeft `tan(x) = 4 sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 4sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 4cos(x)) = 0`. Dit geeft de volgende oplossing: `x = -pi vv x ~~ -1,48 vv x = 0 vv x ~~ 1,48 vv x = pi`.
       Oplossing ongelijkheid: `-pi <= x < - 1/2pi vv -1,48 <= x <= 1,48 vv 1/2pi < x <= pi`.


14. 1. `sin(x + 2/3 pi) + sin(x) = 2 sin(x + 1/3pi) cos(1/3 pi) = sin(x + 1/3pi) = 1/2` geeft `x = - 1/6pi + k*2pi vv x = 1/2 pi + k*2pi`.
    2. `x + 1/3 pi = +-x + k*2pi` geeft `x = 5/6pi + k*pi`.
    3. `cos^2(x) + sin(x) = 1` geeft `-sin^2(x) + sin(x) = 0` ofwel `sin(x)(sin(x) - 1) = 0` en dus `sin(x) = 0 vv sin(x) = 1`. Dus `x = k*pi vv x = 1/2pi + k*2pi`.
    4. `2 sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 0` geeft `sin^2(x) = 0,25` ofwel `sin(x) = +-1/2`. Dus `x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi`.
    5. `2 (1 - sin^2(x)) - 2 sin(x) = 0` geeft `2 sin^2(x) + 2 sin(x) - 2 = 0` en dus `sin(x) ~~ -0,618 vv sin(x) ~~ 1,618`. Hieruit volgt `x ~~ 0,66 + k*2pi vv x ~~ 2,23 + k*2pi`.
    6. `(sin(x))/(cos(x)) = sin(x)` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 1` zodat `x = k*pi`.


15. 1. Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0,2pi]xx[-1,5;1,5]`.
    2. Gebruik de formules van Simpson en je vindt `S(x) = sqrt2 sin(x)`.
    3. `sqrt2 sin(x) = 1` geeft `x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi`.
       Oplossing ongelijkheid: `1/4 pi <= x <= 3/4 pi + k*2pi`.


16. 1. `y_3 = sin(2x + 1/4 pi) - sin(2x) - 1/2 = 2 sin(1/8pi) cos(2x + 1/8 pi) - 1/2 ~~ 0,77cos(2x + 0,125pi) - 0,5`.
    2. Nulpunten: `(-2,92;0)`, `(-0,63;0)`, `(0,23;0)` en `(2,51;0)`.
       Toppen: `(-2,12;1)`, `(1,02;-1)`, `(0,16;1)` en `(3,30;-1)`.
    3. `-pi <= x <= -2,92 vv -0,63 <= x <= 0,23 vv 2,51 <= x <= pi`


17. 1. `sin(x) = cos(x)` geeft `tan(x) = 1` en dus `x = 1/4pi + k*pi`.
    2. `sin(2x) = cos(x)` geeft `cos(x)(2sin(x) - 1) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv sin(x) = 0,5` zodat `x = 1/2 pi + k*pi vv x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi`.
    3. `1 - 2 sin^2(x) = sin^2(x)` geeft `sin^2(x) = 1/3` en dus `sin(x) = +- 1/3sqrt3`.
       Dit geeft `x ~~ 0,628 + k*2pi vv x ~~ 2,513 + k*2pi vv x ~~ 3,770 + k*2pi vv x ~~ 5,655 + k*2pi`.
    4. `cos(x + 1/6 pi) + sin(x - 1/6 pi) = sin(1/3pi - x) + sin(x - 1/6pi) = 2 sin(1/12 pi) cos(x - 1/12pi) = 1/2` geeft `cos(x - 1/12pi) ~~ 0,966`.
       Dus `x - 1/12pi ~~ +-0,262 + k*2pi` zodat `x ~~ 0,524 + k*2pi vv x ~~ 1,047 + k*2pi`.