Muziek maak je door lucht in trilling te brengen. Dat doe je met een snaar, een holle buis, je stembanden, een trillend plaatje, e.d. Als je een snaar in trilling brengt hoor je behalve de grondtoon ook boventonen meeklinken. De frequenties van deze boventonen zijn een veelvoud van die van de grondtoon, maar ze klinken minder luid. Door de sinusoïden van de grondtoon en de boventonen op te tellen krijg je het trillingspatroon van de snaar.
In de Westerse muziek worden zeven stamtonen onderscheiden, die samen een toonladder vormen. Deze zeven stamtonen worden aangeduid met A, B, C, D, E, F en G. De centrale A heeft een frequentie van 440 Hz (440 trillingen per seconde). Dit betekent dat in de lucht een trilling plaats vindt met die frequentie (is aantal trillingen per seconde).
Voor de A geldt dan bijvoorbeeld
u1(t) = a sin(440 · 2π · t).
De luidheid van deze grondtoon wordt bepaald door de amplitude a. Neem voor het gemak a = 1. De eerste boventoon van de A klinkt vaak minder luid, en dan geldt (bijvoorbeeld) u2(t) = 0,8 sin(880 · 2π · t).
Voor de tweede boventoon: u3(t) = 1,2 sin(1320 · 2π · t).
Tel je deze drie sinusfuncties op, dan krijg je een A met een bepaalde klankkleur.
> Breng eerst de grafiek van de grondtoon A maar eens in beeld met je grafische rekenmachine. Zorg dat je precies drie periodes in beeld krijgt.
> Zet de twee boventonen er bij en tel deze functies op.
> Is de resulterende snaartrilling een zuivere sinusoïde?
Je kent de functies f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) met x in radialen al. Omdat in deze functies de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus voorkomen zijn het voorbeelden van goniometrische functies. De belangrijkste eigenschap is wel hun periodiciteit. Maar wat als je sin(x) en/of cos(x) gaat gebruiken om ingewikkelder functievoorschriften te maken? Bekijk eerst maar eens een paar grafieken:
Je weet dat y3 een zuivere sinusoïde is, dus daarbij is sprake van een periode (4π), een amplitude (2), een evenwichtsstand (y = 1) en een horizontale verschuiving (2 in de positieve x-richting). Ga dit na, eigenlijk moet je dit vooraf meteen kunnen zien.
Verder lijken ook y4 en y6 zuivere sinusoïden. Dat is ook inderdaad het geval, al kun je nu nog niet aantonen dat dit zo is. Je kunt wel periode, amplitude, evenwichtsstand en horizontale verschuiving uit de grafiek aflezen.
Van de overige functies is alleen y7 periodiek, de andere twee niet.
Zo kun je ook de tangens definiëren:
tan(α) = .
En dus geldt voor de tangensfunctie:
tan(x) = .
Deze functie is ook periodiek, maar nu met een periode van π.
Verder heeft deze functie verticale asymptoten: voor waarden van x waarbij cos(x) = 0 bestaan de functiewaarden niet, je deelt dan door 0. Dit is het geval als x = π + k · π.
‡
Onder goniometrische functies versta je functies waarin sin, cos (en tan) voorkomen.
De basisfuncties f(x) = sin(x) en
g(x) = cos(x) met x in radialen ken je al. De tangensfunctie is nieuw.
In deze eenheidscirkel zijn sinus, cosinus en tangens gedefinieerd als:
Deze functie is ook periodiek, maar nu met een periode van π.
Verder heeft deze functie verticale asymptoten: voor waarden van x waarbij cos(x) = 0 bestaan de functiewaarden niet, je deelt dan door 0. Dit is het geval als x = π + k · π.
De bekende sinusoïden zijn goniometrische functies die zuiver periodiek zijn en een amplitude en een evenwichtsstand hebben. Maar dat geldt niet voor alle goniometrische functies.
‡
Los op [–π,π] op: tan(x) ≤ 1.
Maak eerst met je GR de grafiek van y = tan(x) op [–π,π].
De verticale asymptoten vallen meteen op. Omdat tan(x) = sin(x)/cos(x) vind je ze bij x-waarden waarvoor cos(x) = 0. Dus: x = π + k · π.
Los nu op: tan(x) = 1.
Omdat arctan(1) = π en de tangensfunctie een periode van π heeft, wordt dit:
x = π + k · π.
Uit de grafiek lees je nu de oplossing af, rekening houdend met de verticale asymptoten:
–π ≤ x < –π V –π < x ≤ π V π < x ≤ 2π
‡
Gegeven de functie f met voorschrift f(x) = 2 cos2(x) – 1.
(Met cos2(x) wordt (cos(x))2 bedoeld.)
Onderzoek of deze goniometrische functie periodiek is en bepaal dan de bijbehorende periode.
De standaard cosinusgrafiek heeft een periode van 2π. Het ligt dus voor de hand om de grafiek van f in beeld te brengen op bijvoorbeeld [0,2π]. Die grafiek lijkt op een zuivere sinusoïde met periode π, amplitude 1 en evenwichtsstand y = 0. Als je er een formule met cos bij wilt maken is de horizontale verschuiving 0.
Kortom: de grafiek lijkt op die van y = cos(2x).
Of dit echt het geval is, kun je (nog) niet aantonen. Wel kun je de nulpunten berekenen en kijken of die hetzelfde zijn als die van y = cos(2x).
f(x) = 0 als 2 cos2(x) – 1 = 0, dus als cos(x) = – V cos(x) = .
Dit levert dezelfde waarden op als cos(2x) = 0 oplossen.
Ga dat zelf na.
‡
Gegeven de functie f met voorschrift f(x) = .
Is deze functie periodiek?
Bepaal de nulpunten en de asymptoten van deze functie.
Omdat de standaard sinusfunctie een periode van 2π heeft en een vorm als 1/x juist voor x = 0 niet bestaat, bekijk je de grafiek op [–π,π]. Je krijgt dan op [–π,π]×[–2,2] de bovenste grafiek. In de buurt van x = 0 is erg onduidelijk hoe de grafiek er uit ziet, inzoomen laat zien dat er steeds meer en steeds smallere "golfjes" onstaan als je dichter bij 0 komt. Periodiek is hij in ieder geval niet...
Nulwaarden: geeft = 0 + k · π en dus x = .
De positieve nulwaarden zijn , , , , enz.
Deze komen steeds dichter bij 0 te liggen en ook steeds dichter bij elkaar.
Voor de negatieve nulwaarden geldt iets vergelijkbaars.
Er is bij x = 0 geen verticale asymptoot omdat een sinus altijd binnen [–1,1] blijft.
Wel is er een horizontale asymptoot: als x heel groot (of heel groot negatief) wordt, dan nadert naar 0 en dus nadert ook f(x) naar 0.
De horizontale asymptoot is y = 0.
‡