Goniometrische functies

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Uitleg

Opgaven

1. Gegeven is de goniometrische functie `f(x) = 12 + 4 sin(1/2 pi x - 1/4 pi)`.
   1. Breng de grafiek in beeld op de grafische rekenmachine. Waarom is het hierbij handig om vooraf in te zien dat het hier een sinusoïde betreft en de periode, de amplitude en de evenwichtsstand te bepalen?
   2. Welke horizontale verschuiving moet je op de grafiek van `y = sin(x)` toepassen om die van `f` te krijgen?
   3. Bereken de toppen van de grafiek van `f` op het interval `[0, 12]`.
   4. Los op: `f(x) <= 15`.


2. Ga van elk van de volgende functies na of de grafiek op een sinusoïde lijkt of niet.
   1. `y_1 = 1 + 2 sin(0,5x – 1)`
   2. `y_2 = sin(x) + cos(x)`
   3. `y_3 = sin(x^2)`
   4. `y_4 = sin^2(x) = (sin(x))^2`
   5. `y_5 = sin(9x) – sin(11x)`


3. Waarom weet je bij `y_2` en `y_3` eigenlijk (nog) niet zeker of hun grafieken echt dezelfde vorm hebben als die van `y = sin(x)`?
   


4. Bekijk de grafiek van `y = tan(x)` op je grafische rekenmachine.
   1. Breng die grafiek op je grafische rekenmachine zo in beeld, dat je precies twee periodes ziet.
   2. Waar zitten de verticale asymptoten van deze functie? Leg ook uit hoe je dat kunt afleiden uit de formule `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))`.
   3. Voor welke waarden van `x` is `tan(x) = 1`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

5. Bekijk Voorbeeld 1. Los nu zelf op `[0,2pi]` op: `f(x) > sqrt(3)`.
   


6. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 10 sin(0,1pi(x - 5)) + 15` op het interval `[0,50]`.
   1. Lees periode, amplitude, evenwichtsstand en de horizontale verschuiving t.o.v. de `y`-as uit het functievoorschrift af.
   2. Teken de grafiek met je grafische rekenmachine.
   3. Los op in twee decimalen nauwkeurig: `f(x) = 12`.


7. Bekijk Voorbeeld 2.
   1. Breng zelf de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine in beeld en bepaal de twee opeenvolgende maxima.
   2. Welke periode kun je hieruit afleiden voor de sinusoïde die lijkt te ontstaan?
   3. Welke andere formule zou je bij deze sinusoïde kunnen opstellen?
   4. Waarom weet je nog niet helemaal zeker dat de grafiek van `f` ook echt een sinusoïde is?


8. Gegeven de functie `f` met `f(x) = 2 sin(x) cos(x)` op `[0,2pi]`.
   1. Maak de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine.
   2. Lijkt de grafiek op een sinusoïde? Zo ja, welke formule past er dan bij die sinusoïde?
   3. Los op: `f(x) = 0,5`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   4. Gebruik nu de formule van de sinusoïde die je bij b hebt gemaakt en los exact op: `y = 0,5`. Komen deze antwoorden overeen met die bij c?


9. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 2x sin(x)` op `[0,2pi]`.
   1. Waarom kan hier geen sprake zijn van een sinusoïde?
   2. Is dit een periodieke functie?
   3. Beschrijf de regelmaat van de grafiek van `f`.


10. Bekijk eerst Voorbeeld 3. Je ziet daar een bijzondere functie die wel een sinus bevat maar niet periodiek is. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sin(sqrt(x))`.
    1. Maak de grafiek van `f` op `[0,1000]`.
    2. Los op: `f(x) = 1`.
    3. Hoe kun je aan de antwoorden bij b zien dat dit geen periodieke functie is?

Verwerken

11. Als je de sinusoïden `y_1 = sin(x)` en `y_2 = cos(x)` optelt, krijg je de grafiek van de functie `f(x) = sin(x) + cos(x)`.
    1. Breng de grafiek in beeld op je grafische rekenmachine. Lijkt de grafiek op een sinusoïde? Waarom mag je op grond hiervan nog niet aannemen dat het er ook werkelijk één is?
    De grafiek van `f` is een sinusoïde.
    2. Geef de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving ten opzichte van `y_1 = sin(x)`. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Stel een formule op voor deze sinusoïde.
    4. Bereken met behulp van je formule bij b de toppen en de nulpunten van de grafiek van `f`.
    5. Los op `[0,2pi]` op: `f(x) > 1`.


12. Bekijk de grafiek van de functie `g(x) = cos(x) - cos(2x)`.
    1. Deze grafiek is periodiek. Wat is de periode?
    2. Is de grafiek van `g` een sinusoïde?
    3. Bepaal met je grafische rekenmachine de nulpunten en de toppen van de functie `g`. Neem als domein `[0, 2pi]`.


13. De grafiek van de functie `y_2 = sin^2(x)` is een zuivere sinusoïde.
    1. Bepaal de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving ten opzichte van de grafiek van `y = cos(x)`.
    2. Geef een passende formule voor deze sinusoïde.
    3. Los op: `y_2 = 1` door gebruik te maken van het oorspronkelijke functievoorschrift.
    4. Doe hetzelfde nog eens door gebruik te maken van de gevonden formule voor de sinusoïde.


14. Door de sinusoïden `y_1 = sin(x)` en `y_2 = sin(x - 1/6 pi)` op te tellen ontstaat de grafiek van een functie `f` . Neem voor het domein van `f` het interval `[0, 4pi]`.
    1. Breng de grafiek van `f` in beeld op je grafische rekenmachine.
    2. Neem aan dat de grafiek van `f` een zuivere sinusoïde is. Stel een formule op. Gebruik benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Los nu algebraïsch op: `f(x) < 0,5`.


15. Gegeven is de functie `f(x) = x sin(1/x)` met `[-0,5pi; 0,5pi]`.
    1. Breng de grafiek van `f` in beeld op je grafische rekenmachine.
    2. De grafiek ziet er in de buurt van de oorsprong nogal merkwaardig uit. Waardoor wordt dit veroorzaakt?
    3. Welke waarde zou je `f` geven voor `x = 0`?
    4. Hoe ziet de grafiek er uit als je heel ver van de oorsprong verwijderd bent? Probeer dat je verklaren.

Testen

16. Gegeven is de functie `f(x) = cos(x) - sin(x)`. De grafiek van `f` is een sinusoïde.
    1. Geef een formule voor deze sinusoïde met benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Bereken algebraïsch de nulpunten van `f`.
    3. Beredeneer de extremen van `f`.
    4. Los algebraïsch op: `f(x) >= 1`.


17. De toppen van `y = sin(x^2)` met domein `[-2pi, 2pi]` kun je met je grafische rekenmachine wel vinden. Je kunt ze ook algebraïsch bepalen. Laat zien hoe.