Goniometrische functies

Antwoorden bij de opgaven

    1. Dan kun je het venster (bijvoorbeeld `[0,8] xx [8,16]`) goed instellen. Denk om radialen!
    2. De functie is te schrijven als `f(x) = 12 + 4 sin(1/2 pi (x - 1/2))`. Je hebt dus een horizontale verschuiving van een `1/2` naar rechts.
    3. De functie is maximaal als `1/2 pi (x - 1/2) = 1/2 pi + k*2pi`. Dan vind je `x = 1,5 vv x = 5,5 vv x = 10,5`.
    4. Bepaal eerst waar de functie gelijk is aan `15`. Met de intersect functie vind je de eerste twee punten: `x ~~ 1,04 vv x ~~ 1,96`. Deze punten liggen symmetrisch ten opzichte van het maximum. Dus ten opzichte van `x = 1,5`. Dus de volgende punten waar de functiewaarde gelijk is aan `15` liggen `4` verder. Dus de oplossing is `1,96 + 4k <= x <= 5,04 + 4k`, met
    1. wel een sinusoïde
    2. wel een sinusoïde
    3. geen sinusoïde
    4. wel een sinusoïde
    5. geen sinusoïde
  3. Een grafiek die op een sinusoïde lijkt, is nog geen garantie.
    1. Venster bijvoorbeeld `[0,2pi] xx [-4,4]`.
    2. Je kunt de tangens schrijven als `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))`. De asymptoten liggen bij de nulpunten van de noemer, dus als `cos(x) = 0`. Dat is als `x = 1/2 pi + k * pi`. En dit zijn dan ook de asymptoten.
    3. Als `sin(x) = cos(x)`. Dit is voor `x = 1/4 pi + k * 2pi`.
  5. `tan(x) = sqrt(3)` geeft `x = 1/3 pi + k * pi`. Dus de oplossing wordt `1/3 pi <= x < 1/2 pi vv 1 1/3 pi <= x < 1 1/2 pi`.
    1. Periode = 20, amplitude = 10, evenwichtslijn `y = 15` en horizontale verschuiving: 5 naar rechts.
    2. Venster bijvoorbeeld `[0,50] xx [5,25]`.
    3. `x ~~ 4,03 vv x ~~ 15,97 vv x ~~ 24,03 vv x ~~ 35,97 vv x ~~ 44,03`.
    1. Doen.
    2. De periode lijkt `pi` te zijn.
    3. Bijvoorbeeld `y = sin(2(x - 3/4 pi))`.
    4. De gegeven formule heeft niet de vorm van een sinusoïde en op de grafiek alleen mag je niet afgaan.
    1. Venster bijvoorbeeld `[0,2pi] xx [-1,1]`.
    2. Ja, bijvoorbeeld `y = sin(2x)`.
    3. `x ~~ 0,26 vv x ~~ 1,31 vv x ~~ 3,40 vv x ~~ 4,45`.
    4. `x = 1/12 pi vv x = 5/12 pi vv x = 1 1/12 pi vv x = 1 5/12 pi`.
    1. Er is geen evenwichtsstand.
    2. Nee.
    3. De snijpunten met de `x`-as zijn `(0 + k * 1/2 pi, 0)` en die verschijnen dus periodiek.
    1. Venster `[0,1000] xx [-1,1]`.
    2. `sqrt(x) = 1/2 pi + k * 2pi`, dus `x = (1/2 pi + k * 2pi)^2`.
    3. Twee opeenvolgende `x`-waarden liggen niet op gelijke afstanden van elkaar.
    1. Venster bijvoorbeeld `[0,10] xx [-2,2]`. De grafiek lijkt inderdaad een sinusoïde, maar alleen als de functie te schrijven is in de juiste vorm mag je concluderen dat het een sinusoïde is.
    2. Met de rekenmachine kun je de waarden die je wilt weten bepalen. Het maximum is ongeveer `1,41` en dit ligt bij `x ~~ 0,79`. De volgende top ligt `2pi` verder. Het minimum is ongeveer `-1,41`, dus de evenwichtsstand is de horizontale as en de amplitude is `1,41`. De verschuiving naar links is `0,77`.
    3. De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,41 sin(x + 0,79)`.
    4. Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x ~~ -0,79 + k * pi`, dus `(-0,79 + k * pi; 0)` en . Toppen: `f(x) = +-1` geeft de toppen `(0,79 + k * 2pi; 1)` en `(3,93 + k * 2pi; -1)`
    5. `f(x) = 1` geeft `x ~~ 0,00 + k * 2pi vv x ~~ 1,57 + k * 2pi`.
      De ongelijkheid heeft als oplossing `0,00 + k * 2pi < x <= 1,57 + k * 2pi`.
    1. De periode is `2pi`, gebruik je grafische rekenmachine.
    2. Nee, dit is geen sinusoïde.
    3. Nulpunten `(1,05;0)`, `(3,14;0)` en `(5,24;0)`.
      Toppen: `(0,2)`, `(1,82; -1,25)`, `(3,14;0)`, `(4,46; -1,25)` en `(2pi,2)`.
    1. Periode is `pi`, amplitude is 0,5, de evenwichtsstand is `y = 0,5` en de horizontale verschuiving is `0,5pi`.
    2. Met de vorige gegevens vind je: `f(x) = 0,5 cos(2(x - 0,5pi)) + 0,5`.
    3. `sin^2(x) = 1` geeft `sin(x) = +-1` en dus `x = 0,5pi + k * pi`.
    4. Ga na, dat je hetzelfde vindt.
    1. Je kunt de grafiek tekenen met je rekenmachine met venster `[0,2pi] xx [-2,2]`. De grafiek lijkt een sinusoïde met periode `2pi`, amplitude ongeveer `1,93`, horizontale verschuiving ongeveer `0,26` en evenwichtsstand `y = 0`.
    2. De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)`.
    3. `1,93 sin(x - 0,26) = 0,5` geeft `x ~~ 0,52 vv x ~~ 3,14 vv x ~~ 6,81 vv x ~~ 9,42`.
      De oplossing van de ongelijkheid wordt `0 <= x <= 0,52 vv 3,15 <= x <= 6,80 vv 9,43 <= x <= 4pi`.
    1. In de buurt van 0 is het moeilijk de "golfjes" in beeld te krijgen.
    2. Omdat je de sinus van `1/x` neemt, kun je bij `x=0` geen reële waarde meer krijgen.
    3. Hoe meer je inzoomt op het punt `(0,0)` de grafiek blijft heftig heen en weer schieten. Er is geen asymptoot, de `y`-waarde lijkt toch `0` te benaderen.
    4. Als `x rarr oo`, dan `1/x rarr 0` en `sin(1/x) rarr 1/x` zodat `x sin(1/x) rarr x * 1/x ~~ 1`.
    1. Gebruik je grafische rekenmachine en lees periode, amplitude, evenwichtsstand en horizontale verschuiving af. Je vindt `f(x) ~~ 1,41 sin(x - 3,93)`.
    2. Nulpunten als `x - 3,93 = k * pi`. De nulpunten zijn dus `(3,93 + k*pi; 0)`.
    3. De extremen van `f` liggen op `y ~~ +-1,41`. De bijbehorende `x`-waarden zitten midden tussen de `x`-waarden van de nulpunten. Je krijgt dus maxima van `1,41` als `x ~~ 5,50 + k*2pi` en minima van `-1,41` als `x ~~ 2,36 + k*2pi`.
    4. `y = 1` geeft `sin(x - 3,93) ~~ 0,71` en dus `x ~~ 0,00 + k*2pi vv x ~~ 4,71 + k*2pi`.
      De oplossing van de ongelijkheid is: `4,72 + k*2pi <= x <= 6,28 + k*2pi`.
  17. Je vindt de toppen van `y = sin(x^2)` op de lijnen `y = +-1`, dus moet `x^2 = 1/2pi + k*2pi vv x^2 = 3/2pi + k*2pi`. Er zijn maxima van `1` als `x = +-sqrt(1/2pi + k*2pi)` en minima van `-1` als `x = +-sqrt(3/2pi + k*2pi)`.
    Op `[-2pi,2pi]` krijg je maxima van `1` als `x = +-sqrt(1/2pi) vv x = +-sqrt(2 1/2pi) vv ... vv x = +-sqrt(12 1/2 pi)` en minima van `-1` als `x = +-sqrt(1 1/2pi) vv x = +-sqrt(3 1/2pi) vv ... vv x = +-sqrt(11 1/2 pi)` en er is een minimum van `0` voor `x = 0`.