Sinusoïden

Inleiding

Je hebt leren werken met de functies y = sin(x) en y = cos(x) (met x in radialen). Als je op deze functies transformaties toepast, krijg je andere periodes en kunnen de grafieken om een andere lijn dan de x-as gaan slingeren met een andere uitwijking. Dat is belangrijk omdat de sinusfunctie en de cosinusfunctie dan kunnen worden gebruikt om periodieke verschijnselen meer in het algemeen te beschrijven. Functies die door transformatie ontstaan uit y = sin(x) noem je sinusoïden.

Je leert nu:

• de grafieken van y = a sin(b(x + c)) + d en y = a cos(b(x + c)) + d tekenen;
• de vergelijkingen a sin(b(x + c)) + d = p en a cos(b(x + c)) + d = q oplossen.

Je kunt al:

• de grafieken van y = sin(x) en y = cos(x) tekenen met x in radialen;
• de vergelijkingen sin(x) = c en cos(x) = c oplossen als c een constante is.
• transformaties op functies toepassen.

Verkennen

Gegeven is de functie f(x) = 2 · sin(4x) + 3.

> Maak met de grafische rekenmachine de grafiek van f op [0, 2π].
> Bepaal de periode van deze periodieke functie.
> Bereken de coördinaten van alle toppen van de grafiek op [0, 2π].

Gegeven is de functie g(x) = 4 · sin(0,5(x – π)) – 1.

> Maak met de grafische rekenmachine de grafiek van g op [0, 4π].
> Bepaal de periode van deze periodieke functie.
> Bereken de coördinaten van alle toppen van de grafiek op [0, 4π].

Uitleg

Je kunt met de applet in

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Sinusoïden > Uitleg

de grafiek van de functie g(x) = a · sin(b(x + c)) + d maken. Deze grafiek ontstaat door transformatie uit die van f(x) = sin(x). De grafiek van g noem je een sinusoïde.

• a verandert de maximale uitwijking, de amplitude is a;
• b verandert de periode, de periode is $\frac{2\pi }{b}$;
• c zorgt voor een horizontale verschuiving over –c;
• d verandert de evenwichtslijn, die is y = d.

Je ziet hier de grafiek van de sinusoïde g(x) = 1,5 · sin(2(x – 1)) + 0,5. Je ziet:

• de amplitude is 1,5;
• de evenwichtslijn is y = 0,5;
• de periode is $\frac{2\pi }{2}$ = π
• de horizontale verschuiving is 1.

Het bereik is daarom B_g = [0,5 – 1,5; 0,5 + 1,5] = [–1; 2].
De toppen van g zijn te vinden door de transformaties toe te passen op de toppen van f.

‡

Opgaven

1. Bekijk bij de Uitleg de grafiek van `f(x) = 1,5 sin(2(x - 1)) + 0,5` op `[0,2pi]`.
   1. Maak zelf deze grafiek op de grafische rekenmachine.
   2. Leg uit welke transformaties er achtereenvolgens op de grafiek van `y = sin(x)` moeten worden toegepast om die van `f` te krijgen.
   3. Het punt `(0,0)` ligt op de grafiek van `y = sin(x)`. Welk punt op de grafiek van `f` ontstaat door deze transformaties uit `(0,0)`?
   4. Welke toppen heeft de grafiek van `f`?


2. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 1 - 2 sin(3(x + 2))`.
   1. Lees uit het functievoorschrift de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschuiving af. Schets de grafiek.
   2. Controleer met behulp van de applet genoemd in de Uitleg of je grafiek juist is.
   3. Oefen dit een aantal keer.

Theorie

De grafiek van de functie g(x) = a · cos(b(x + c)) + d is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit f(x) = cos(x). Voor de grafiek van g geldt:

• de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is a;
• de periode is $\frac{2\pi }{b}$ dus b = $\frac{2\pi }{\text{periode}}$;
• de horizontale verschuiving is –c;
• de evenwichtslijn is de lijn y = d.

De grafiek van de functie g(x) = a · cos(b(x + c)) + d is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit f(x) = cos(x). Voor de grafiek van g geldt:

• de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is a;
• de periode is $\frac{2\pi }{b}$ dus b = $\frac{2\pi }{\text{periode}}$;
• de horizontale verschuiving is –c;
• de evenwichtslijn is de lijn y = d.

‡

Voorbeeld 1

Je ziet hier een deel van de grafiek van y = 2 sin(3x).
Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde.

Antwoord

De variabele x wordt eerst vermenigvuldigd met 3.
Dan is de periode $\frac{2\pi }{3}$.

De amplitude is 2 en de grafiek is niet omhoog geschoven.
Het maximum is dus 2.
De maxima van de standaard sinusgrafiek zitten bij x = $\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Dus vind je de maxima van deze grafiek als 3x = $\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Links en rechts door 3 delen geeft: x = $\frac{1}{6}$π + k · $\frac{2}{3}$π.
En dat klopt netjes met de berekende periode.

Het minimum is –2.
Die minima vind je als 3x = $1\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Dus de minima zitten bij: x = $\frac{1}{2}$π + k · $\frac{2}{3}$π.

‡

Voorbeeld 2

Je ziet hier een deel van de grafiek van f(x) = sin(2(x – 0,5π)) + 1.
De functie f is gedefinieerd op $ℝ$.
Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen.
Los op: sin(2(x – 0,5π)) + 1 = 1,5.

Antwoord

De periode is $\frac{2\pi }{2}$ = π.

De hoogste waarde die wordt bereikt is 1 + 1 = 2.
De maxima van de standaard sinusgrafiek zitten bij x = $\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Dus vind je de maxima van deze grafiek als 2(x – 0,5π) = $\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Eerst door 2 delen: x – 0,5π = $\frac{1}{4}$π + k · π.
Nu $\frac{1}{2}$π bijtellen: x = $\frac{3}{4}$π + k · π.

Het minimum is 0.
Daarvoor geldt: 2(x – 0,5π) = $1\frac{1}{2}$π + k · 2π.
Nu vind je: x = $\frac{5}{4}$π + k · π.
Omdat de periode π is mag je dit ook schrijven als x = $\frac{1}{4}$π + k · π.

De toppen zijn: ($\frac{3}{4}$π + k · π, 2) en ($\frac{1}{4}$π + k · π, 0).

Je moet oplossen: sin(2(x – 0,5π)) + 1 = 1,5.
Dus: sin(2(x – 0,5π)) = 0,5.
Dit levert op:

2(x – 0,5π) = arcsin(0,5) + k · 2π  V  2(x – 0,5π) = π – arcsin(0,5) + k · 2π.

En dus:

2(x – 0,5π) = $\frac{1}{6}\pi$ + k · 2π  V  2(x – 0,5π) = $\frac{5}{6}\pi$ + k · 2π.

Delen door 2 en daarna 0,5π optellen geeft:

x = $\frac{7}{12}\pi$ + k · π  V  x = $\frac{11}{12}\pi$ + k · π.

Benaderd: x ≈ 1,833 + k · π  V  x ≈ 2,880 + k · π.
De benaderde oplossing kun je ook vinden met behulp van de rekenmachine.

‡

Voorbeeld 3

Je ziet hier een deel van de grafiek van f(x) = 3 cos($\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π)) – 2.
Bereken de periode en los op: f(x) = 0.
Geef je antwoord benaderd in drie decimalen.

Antwoord

De x wordt vermenigvuldigd met $\frac{1}{2}$.
De periode is daarom $\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}$ = 4π.

Je lost de vergelijking stap voor stap op.
De formule wordt daarbij van buiten naar binnen steeds verder "uitgekleed":

3 cos($\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π)) – 2 = 0    _{beide zijden +2}
3 cos($\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π)) = 2           _{beide zijden / 3}
    cos($\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π)) = $\frac{2}{3}$          _{terugrekenen met arccos}

$\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π) = arccos($\frac{2}{3}$) + k · 2π  V  $\frac{1}{2}$ (x + $\frac{1}{3}$ π) = –arccos($\frac{2}{3}$) + k · 2π    _{×2 en benaderen}
           x + $\frac{1}{3}$ π ≈ 1,682 + k · 4π  V  x + $\frac{1}{3}$ π ≈ –1,682 + k · 4π                _{beide zijden – $\frac{1}{3}$ π}
                   x ≈ 0,635 + k · 4π  V  x≈–2,729 + k · 4π.

‡

Opgaven

3. Je ziet hier een deel van de grafiek van `y = 10 sin(4x) + 5`.
   Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde en zorg dat je de grafiek ook zo in beeld krijgt.
   Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   


4. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 3 sin(pi(x - 1)) + 10`.
   1. Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.
   2. Welke transformaties moet je achtereenvolgens op de grafiek van `y = sin(x)` toepassen om die van `f` te krijgen?
   3. Los op: `f(x) = 11,5`. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.


5. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 4 cos(1/2(x + 2)) + 8`.
   1. Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.
   2. Welke transformaties moet je achtereenvolgens op de grafiek van `y = cos(x)` toepassen om die van `f` te krijgen?
   3. Los op (benaderingen in drie decimalen nauwkeurig): `f(x) = 11`. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.


6. Voor de hoogte van de tip van het rotorblad van een draaiende windmolen geldt de volgende formule:

   `h(t) = 40 + 10 * sin(4/3pi * t)`

   waarin `t` de tijd in seconden en `h` de hoogte in m is.
   1. Bepaal de waarden voor de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving. Bij welke vensterinstellingen krijg je vanaf `t = 0` precies twee periodes in beeld?
   2. Bereken de tijdstippen waarop de tip precies 45 m boven de grond zit.

Verwerken

7. De grafieken van onderstaande functies zijn sinusoïden. Geef van iedere sinusoïde de periode en de amplitude. Breng daarna de grafiek in beeld zodat je op de grafische rekenmachine twee perioden ziet.
   1. `y = 12 * sin(x)`
   2. `h(t) = 50 sin(2pi t) + 10`
   3. `y = 120 cos(pi/5 * x)`
   4. `P(x) = -20 sin(2x)`


8. Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar nodig benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
   1. `5 cos(1/2 x + 4) = 1`
   2. `10 sin(pi/5(x - 2)) = 5`
   3. `50 cos(4x) = 25 sqrt(3)`
   4. `50 - 30 sin((2pi)/(15)x) = 45`


9. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 20 cos(pi/4 x) + 10` op `[0,16]`.
   1. Bepaal het bereik van `f`.
   2. Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie.
   3. Los op: `f(x) <= 0`.


10. De hoogte boven de grond van iemand die zich in een reuzenrad bevindt, kan worden beschreven door:

    `h(t) = 11 + 10 sin(pi/10 * t)`

    waarin `h(t)` is uitgedrukt in meters en `t` in seconden.
    1. Breng de grafiek van `h(t)` met je grafische rekenmachine in beeld.
    2. De getallen 11 en 10 uit de formule hebben een betekenis voor het reuzenrad. Welke?
    3. Na één periode is het reuzenrad precies één keer rond gedraaid. Bepaal de periode in seconden.
    4. Bereken hoe lang het bakje van een reuzenrad hoger dan 18 meter boven de grond zit.

Testen

11. Bepaal van de volgende functies de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschuiving ten opzichte van `y = sin(x)`.
    1. `y = 4 sin(4pi x)`
    2. `y = 6 + 2 cos(x + 8)`
    3. `y = 0,5 sin(0,5pi x)`


12. De grafiek in de volgende figuur geeft globaal de getijdebeweging van het zeewater voor de haven van Vlissingen weer. Er wordt geen rekening gehouden met de invloed van de wind, met springtij, en dergelijke.
    
    
    
    
    1. Hoe hoog is de gemiddelde waterstand volgens deze grafiek?
    2. Hoe groot is de maximale afwijking van de waterstand ten opzichte van het gemiddelde?
    3. Hoe groot is de periode van de getijdebeweging?
    Een benadering van de getijdenbeweging wordt gegeven door de volgende formule:

    `y = 8 + 190 cos((2pi)/(12,25) * t)`

    met `t` in uren t.o.v. middernacht op 21 juni 2008 en `y` in cm ten opzichte van het NAP.
    4. Vergelijk de grafiek van deze functie met de grafiek in de figuur hierboven. Vind je dat de formule een goed beeld geeft van de getijdenbeweging?
    5. Hoe groot is volgens de formule de periode en de amplitude?
    6. Hoeveel uur per periode is de waterstand hoger dan 180 cm?