Cosinusfuncties

Inleiding

Je kunt nu, als het goed is, al heel aardig rekenen met de sinus. Bij formules voor periodieke functies komt echter ook vaak de cosinus voor. De functie y = cos(x) (met x in radialen) heeft een grafiek die er uitziet als een verschoven sinus. Veel berekeningen in dit onderdeel lijken op de berekeningen uit het voorgaande. Let wel goed op de verschillen, die er ook zijn. Bijvoorbeeld heeft de cosinus andere symmetrie-eigenschappen dan de sinus. Bij vergelijkingen heeft dat gevolgen voor het vinden van de volledige oplossing.

Je leert nu:

• de grafiek van y = cos(x) tekenen met x in radialen;
• de vergelijking cos(x) = c oplossen als c een constante is.

Je kunt al:

• de grafiek van y = sin(x) tekenen met x in radialen;
• de vergelijking sin(x) = c oplossen als c een constante is.

Verkennen

Gebruik deze grafiek van f(x) = cos(x) en de symmetrie ervan.

> Los op: cos(x) = 0,8 met $x\in [\mathrm{0,4}\pi ]$. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
> Los op: cos(x) = 0,8 met $x\in ℝ$ . Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
> Los op: cos(x) = –0,5 met $x\in [\mathrm{0,4}\pi ]$. Geef je antwoord exact.
> Los op: cos(x) = –0,5 met $x\in ℝ$. Geef je antwoord exact.

Uitleg

Je ziet hier weer een punt P dat ronddraait over de eenheidscirkel. Nu begint het punt zijn draaiing op de verticale as recht boven het middelpunt. Alle draaihoeken in radialen worden gemeten vanaf de straal naar dat punt.
De hoogte h van punt P boven het middelpunt bereken je met behulp van de cosinus:
cos(α) = $\frac{PQ}{1}=\frac{h}{1}$ = h

De grafiek die ontstaat door P te bewegen is dus die van h = cos(x) met x in radialen.
Je ziet dat deze standaard cosinusgrafiek sprekend lijkt op de standaard sinusgrafiek, de periode is ook 2π. Hij is alleen $\frac{1}{2}$π naar links verschoven ten opzichte van de standaardsinus.
Dit betekent dat cos(x) = sin(x + $\frac{1}{2}$π).

Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking cos(x) = c heeft als c een constante is. Je gebruikt daarbij de symmetrie en de periode van de grafiek van y = sin(x).

Als je bijvoorbeeld cos(x) = 0,8 wilt oplossen, bepaal je eerst de oplossing die zo dicht mogelijk bij de verticale as zit: x ≈ 0,64.
Dit getal kun je vinden met je grafische rekenmachine.
Het heet in de wiskunde de arcuscosinus van 0,8: x = arccos(0,8) ≈ 0,64.
Binnen één periode is (vaak) nog een oplossing.
Vanwege de symmetrie van de grafiek is die tweede oplossing x = –arccos(0,8).

Vanwege de periode van 2π zijn alle oplossingen van deze vergelijking:
x = arccos(0,8) + k · 2π  V  x = –arccos(0,8) + k · 2π   met k een geheel getal.

Door c te veranderen kun je de oplossingen zien van andere vergelijkingen zoals bijvoorbeeld
cos(x) = 0,2 en cos(x) = –0,2 enzovoorts...

Je ziet bovendien:

• cos(x) = 1 heeft als oplossingen: x = 0 + k · 2π = k · 2π
• cos(x) = –1 heeft als oplossingen: x = –π + k · 2π
• cos(x) = 0 heeft als oplossingen: x = 0,5π + k · π
• Als c groter dan 1 of kleiner dan –1 is zijn er geen oplossingen.

‡

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Los nu zelf op:
   1. `cos(x) = 0,2`
   2. `cos(x) = -0,2`


2. Laat ook in de eenheidscirkel zien, dat `cos(x) = sin(x + 1/2pi)`.
   

Theorie

Je ziet hier de grafiek van f(x) = cos(x) met x in radialen.
Verder zijn de oplossingen van cos(x) = c aangegeven (c is een constante).

De oplossing van cos(x) = c binnen $[-\frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi ]$  is arcuscosinus c: x = arccos(c).
Binnen één periode is (vaak) nog een oplossing.
Vanwege de symmetrie van de grafiek is die tweede oplossing x = –arccos(c).

Vanwege de periode van 2π zijn alle oplossingen van cos(x) = c:
x = arccos(c) + k · 2π  V  x = –arccos(c) + k · 2π   met k een geheel getal.

De vergelijking cos(x) = c heeft alleen oplossingen als $-1\le c\le 1$.

Er zijn enkele waarden die handig zijn om te gebruiken:

• cos(0) = 1
• cos($\frac{1}{6}\pi$) = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
• cos($\frac{1}{4}\pi$) = $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
• cos($\frac{1}{3}\pi$) = 0,5
• cos($\frac{1}{2}\pi$) = 0

en omgekeerd:

• arccos(1) = 0
• arccos($\frac{1}{2}\sqrt{3}$) = $\frac{1}{6}\pi$
• arccos($\frac{1}{2}\sqrt{2}$) = $\frac{1}{4}\pi$
• arccos(0,5) = $\frac{1}{3}\pi$
• arccos(0) = $\frac{1}{2}\pi$

Worden er exacte uitkomsten gevraagd, dan gebruik je deze waarden.

‡

Voorbeeld 1

Los op: cos(x) = 0,5 met x in [0,3π].

Antwoord

Maak eerst met je grafische rekenmachine de grafieken van y₁ = cos(x) en y₂ = 0,5 op het gegeven interval.

Een oplossing is: arccos(0,5).
Met je rekenmachine geeft dat in drie decimalen nauwkeurig: x ≈ 1,047.

Op het gewenste interval vind je dan drie oplossingen:
x ≈ 1,047  V  x ≈ 2π – 1,047  V  x ≈ 2π + 1,047.
En dus: x ≈ 1,047  V  x ≈ 5,236  V  x ≈ 7,330.

Het exacte antwoord is: x = $\frac{1}{3}\pi$ (zie de tabel bij de theorie).

Op het gegeven interval: x ≈ $\frac{1}{3}\pi$  V  x ≈ 2π – $\frac{1}{3}\pi$  V  x ≈ 2π + $\frac{1}{3}\pi$.
En dus: x = $\frac{1}{3}\pi$  V  x = $1\frac{2}{3}\pi$  V  x = $2\frac{1}{3}\pi$.

‡

Voorbeeld 2

Los op: cos(x) = –0,8.

Antwoord

Bekijk een deel van de standaard cosinusgrafiek en zet er de lijn y₂ = –0,8 bij in. Zorg dat in ieder geval een hele periode zichtbaar is.

Een oplossing is: x = arccos(–0,8) ≈ 2,498 (een exacte uitkomst is er niet).
De tweede oplossing binnen een periode is: x = –2,498.

Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door bij deze twee oplossingen een veelvoud van de periode op te tellen:
x ≈2,498 + k · 2π  V  x ≈ –2,498 + k · 2π   met k een willekeurig geheel getal.

‡

Voorbeeld 3

Los op: 3 · cos(x) + 1 < 0.

Antwoord

Je kunt de grafiek van de functie f(x) = 3 · cos(x) + 1 bekijken met je grafische rekenmachine. Het gaat bij de vergelijking 3 · cos(x) + 1 = 0 om de nulwaarden van deze functie, dat zijn er oneindig veel.

De vergelijking 3 · cos(x) + 1 = 0 herschrijf je tot cos(x) = –$\frac{1}{3}$.

De oplossingen hiervan zijn: x = arccos(–$\frac{1}{3}$) + k · 2π  V  x = –arccos(–$\frac{1}{3}$) + k · 2π.
In drie decimalen nauwkeurig: x = 1,911 + k · 2π  V  x = –1,911 + k · 2π.

In de grafiek zie je dat de functiewaarden negatief zijn als x tussen 1,911 en 2π – 0,911 inligt, dus voor 1,911 < x < 4,373.
De oplossing van de ongelijkheid is nu: 1,911 + k · 2π < x < 4,373 + k · 2π.

‡

Opgaven

3. Bekijk Voorbeeld 1.
   Los nu op `cos(x) = -0,5`.
   1. Geef alle oplossingen benaderd in drie decimalen nauwkeurig.
   2. Geef alle exacte oplossingen.
   3. Geef alle exacte oplossingen op het interval `[0,4pi]`.


4. Bekijk de grafiek van `f(x) = cos(x)`. Zorg dat je in ieder geval één complete periode in beeld hebt.
   1. Los exact op: `cos(x) = 1/2 sqrt(2)`.
   2. Geef alle exacte oplossingen op het interval `[-2pi,4pi]`.
   3. Geef de oplossingen op het interval `[-2pi,4pi]` in drie decimalen nauwkeurig.


5. In Voorbeeld 2 los je `cos(x) = -0,8` op. Nu zijn alleen benaderingen mogelijk.
   1. Los op `cos(x) = 0,6` op het interval `[-pi,3pi]`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   2. Los op `cos(x) < 0,6` op het interval `[-pi,3pi]`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   3. Los op `cos(x) < -0,6` op het interval `[-pi,3pi]`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.


6. Bestudeer Voorbeeld 3. Je werkt daarin met de grafiek van de functie `f(x) = 3 cos(x) + 1`.
   1. Breng zelf deze grafiek in beeld op `[-2pi,4pi]`.
   2. Los `f(x) < 2` op met benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   3. Los `f(x) = 2,5` exact op.
   4. Los `f(x) = 4` exact op.
   5. Waarom kun je `f(x) = 5` niet oplossen?


7. Los op `[-2pi,2pi]` exact op: `2 * cos(x) <= -sqrt(3)`.
   


8. Los exact op: `cos(2x) = cos(1/12 pi)`.
   


9. Bekijk de grafieken van `f(x) = sin(x)` en `g(x) = cos(x)` op `[-2pi,4pi]`.
   1. Bepaal met behulp van de grafische rekenmachine de `x`-waarden van de snijpunten van de grafieken van `f` en `g`.
   2. Welke exacte `x`-waarden hebben de snijpunten van de grafieken van `f` en `g`?
   3. Los exact op: `f(x) < g(x)`.

Verwerken

10. Bekijk de grafiek van `f(x) = cos(x)`.
    Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
    1. `cos(x) = 0,35`
    2. `cos(x) = -0,35`
    3. `cos(x) = 1/2sqrt(3)`
    4. `cos(x) = -1/2sqrt(2)`


11. Geef alle oplossingen van:
    1. `cos(x) = 1`
    2. `cos(x) = cos(1)`
    3. `cos(1) = x`
    4. `cos(x) = sin(1)`


12. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 2 cos(x) - 1` op `[0,4pi]`.
    1. Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie.
    2. Los op: `f(x) >= 0`.


13. Gegeven is de functie `g` met `g(x) = cos(2x)` op `[0,4pi]`.
    1. Los op: `g(x) = 0,5`
    2. Los op: `g(x) >= 0,5`.

Testen

14. Bekijk de grafiek van `f(x) = cos(x)`.
    Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
    1. `cos(x) = 0,95`
    2. `cos(x) = -0,95`
    3. `cos(x) = -1/2`


15. Gegeven is de functie `f(x) = 4 cos(x) + 1` op `[-2pi,2pi]`.
    1. Bereken alle nulpunten van de grafiek van `f` in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Los op `f(x) < 0`.


16. Los exact op: `cos(3x) = 0,5`.