Radialen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Radialen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Radialen > Uitleg

Bekijk in de Uitleg wat een eenheidscirkel is en hoe je met behulp daarvan kunt omrekenen van hoeken in graden naar booglengtes in radialen.

Opgaven

  1. Bekijk de Uitleg. Daarin zie je hoe je in een eenheidscirkel de lengte van de boog als maat voor een hoek gebruikt. Je zegt dan dat de hoek `alpha` is uitgedrukt in radialen.
    Teken een eenheidscirkel (een cirkel met een straal van 1 eenheid).
    1. Teken `P` als de draaihoek `alpha = 30^o`. Bereken de bijbehorende waarde van `h`. Hoeveel radialen is `alpha`?
    2. Teken `P` als de draaihoek `alpha = 150^o`. Bereken `h`. Hoeveel radialen is `alpha`?
    3. Teken `P` als de draaihoek `alpha = 210^o`. Bereken `h`. Hoeveel radialen is `alpha`?
    4. Teken `P` als de draaihoek `alpha = 270^o`. Bereken `h`. Hoeveel radialen is `alpha`?
    5. Hoeveel radialen hoort er bij `360^o`?
    6. Bij welke draaihoeken is `h = 1`? Geef je antwoord in graden en daarna in radialen.

  2. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van `y = sin(x)`. Neem `x` in graden en stel het venster zo in dat `-360 <= x <= 720` en `-1,5 <= y <= 1,5`.
    1. Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?
    2. Bereken `sin(30^o)` en `sin(390^o)`. Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
    3. Bereken `sin(30^o)` en `sin(150^o)`. Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
    4. Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(30000^o)`?
    5. Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(-10000^o)`?

  3. Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van `y = sin(x)`. Neem `x` in radialen en stel het venster zo in dat `-2pi <= x <= 6pi` en `-1,5 <= y <= 1,5`.
    1. Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?
    2. Bereken `sin(1)` en `sin(1 + 2pi)`. Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
    3. Bereken `sin(1)` en `sin(pi - 1)`. Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
    4. Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(211,5pi)`?
    5. Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(-1500pi)`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Radialen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Punt `A` beweegt tegen de klok in over een eenheidscirkel met middelpunt `M`. `alpha` is de draaihoek van `MA` in graden en `x` is de lengte van de cirkelboog die bij die draaihoek hoort.
    1. Hoeveel bedraagt `x` als `alpha = 360^o`?
    2. Vul deze tabel in.

      `alpha``0^o``30^o``45^o``60^o``90^o``120^o``225^o``270^o``330^o`
      `x`         

    `x` is de lengte van de eenheidscirkelboog in radialen.
    Bekijk nu in Voorbeeld 1 hoe je systematisch van graden naar radialen omrekent en omgekeerd.
    1. Hoeveel radialen is `10^o`?
    2. Hoeveel graden is 10 radialen?

  2. In Voorbeeld 2 bekijk je de waarden van `sin(x)` als `x` in graden is. Hier zie je nog eens waar je de waarden van `sin(x)` in de eenheidscirkel vindt.
    1. Hoeveel bedraagt de periode van deze sinusfunctie?
    2. Leg uit waarom `sin(x) = sin(x + k * 360^o)`.
    3. Leg uit waarom `sin(x) = sin(180^o - x)`.
    4. Leg uit waarom `sin(-x) = -sin(x)`.
    5. Waarom is `sin(45^o) = 1/2 sqrt(2)`? (Denk aan de stelling van Pythagoras.)
    6. Voor welke twee hoeken `x` tussen `0^o` en `360^o` geldt: `sin(x) = - 1/2 sqrt(2)`?

  3. In Voorbeeld 3 bekijk je de waarden van `sin(x)` als `x` in radialen is. Hier zie je nog eens waar je de waarden van `sin(x)` in de eenheidscirkel vindt.
    1. Hoeveel bedraagt de periode van deze sinusfunctie?
    2. Leg uit waarom `sin(x) = sin(x + k * 2pi)`.
    3. Leg uit waarom `sin(x) = sin(pi - x)`.
    4. Welke waarden kan `sin(x)` aannemen?
    5. Waarom is `sin(1/6 pi)` exact `0,5`? En waarom volgt daar uit dat `sin(1/3 pi) = 1/2 sqrt(3)`?
    6. Geef de volgende waarden exact: `sin(5 1/6 pi), sin(-1 5/6 pi), sin(2 3/4 pi)`.

  4. Gegeven is `sin(x) = 0,1` met `x` in radialen.
    1. Geef alle mogelijke hoeken `x` die hieraan voldoen en waarvoor geldt `0 <= x < 2pi` aan in een eenheidscirkel.
    2. Hoe groot is `sin(x + 2pi)`?
    3. Hoe groot is `sin(x + pi)`?
    4. Hoe groot is `sin(pi - x)`?
    5. Hoe groot is `sin(15pi + x)`?
    6. Hoe groot is `sin(16pi + x)`?

  5. Voor welke exacte waarden van `x` (in radialen) geldt `sin(x) = 0,5`?

Verwerken

Vanaf nu is (tenzij anders vermeld) bij `sin(x)` de variabele `x` altijd in radialen uitgedrukt.

  1. Deze hoeken zijn gegeven in graden. Bereken de bijbehorende booglengtes in de eenheidscirkel in radialen.
    1. `30^0, 20^0, 10^0, 270^0, 360^0, 455^0, 780^0`.
    Hier zijn booglengtes in de eenheidscirkel gegeven. Bereken de bijbehorende hoeken in graden nauwkeurig.
    1. `1/2 pi; 1/3 pi; 3/4 pi; 1; pi; 3,1416; 10pi`.

  2. Bekijk de grafiek van `f(x) = sin(x)` op `[-2pi,4pi]`.
    1. Bereken `f(5 * 1/6pi)` en `5 * f(1/6 pi)` exact. Verklaar het verschil.
    2. Bereken `f(1/4pi)` en `f(-1/4pi)` exact. Verklaar de overeenkomst.
    3. Laat in deze grafiek zien dat `sin(-x) = -sin(x)`.
    4. Laat met behulp van deze grafiek zien dat `sin(x) = sin(3pi - x)`.
    5. Met een grafiek kun je natuurlijk niets bewijzen. Met behulp van een figuur in de eenheidscirkel wel. Bewijs nu de twee voorgaande eigenschappen.

  3. Gegeven `sin(x) = 0,6`.
    1. Geef in een eenheidscirkel alle waarden van `x` met `0 <= x < 2pi` aan die hieraan voldoen.
    2. Schrijf alle waarden van `x` op die hier aan voldoen. Benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

  4. Gegeven `sin(x) = -0,5`.
    1. Geef in een eenheidscirkel alle waarden van `x` met `0 <= x < 2pi` aan die hieraan voldoen.
    2. Schrijf alle waarden van `x` op die hier aan voldoen. Geef exacte waarden.

Testen

  1. Geef de antwoorden exact indien mogelijk, anders in drie decimalen benaderd.
    1. Deze hoeken zijn gegeven in graden. Reken om naar radialen.
      `60^o, 45^o, 180^o, 300^o, 330^o, 350^o, -350^o`.
    2. Deze booglengtes van een eenheidscirkel zijn gegeven in radialen. Bereken de bijbehorende hoeken in graden.
      `pi, 1/3pi, -1/4pi, 2pi, 5/6pi, 13/12pi, 2, 5/3pi`.

  2. Bekijk de grafiek van `f(x) = sin(x)` op `[-2pi,4pi]`.
    1. Bereken `f(1/4pi + 1/3pi)` en `f(1/4pi) + f(1/3pi)`. Verklaar het verschil.
    2. Bereken `f(1/4pi)` en `f(-3/4pi)` exact. Verklaar de overeenkomst.
    3. Laat in deze grafiek zien dat `sin(-x) = sin(pi + x)`.
    4. Bewijs deze eigenschap met behulp van een eenheidscirkel.

  3. Gegeven `sin(x) = -0,25`.
    1. Geef in een eenheidscirkel alle waarden van `x` met `0 <= x < 2pi` aan die hieraan voldoen.
    2. Schrijf alle waarden van `x` op die hier aan voldoen. Benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.