Radialen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. ${\displaystyle h=\mathrm{0,5}}$ en ${\displaystyle \alpha =\frac{1}{6}\pi }$.
   2. ${\displaystyle h=\mathrm{0,5}}$ en ${\displaystyle \alpha =\frac{5}{6}\pi }$.
   3. ${\displaystyle h=-\mathrm{0,5}}$ en ${\displaystyle \alpha =1\frac{1}{6}\pi }$.
   4. ${\displaystyle h=-1}$ en ${\displaystyle \alpha =1\frac{1}{2}\pi }$.
   5. ${\displaystyle 2\pi }$
   6. ${\displaystyle {90}^o+k\cdot {360}^o}$ of ${\displaystyle \frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi }$.
2. 1. Drie periodes.
   2. ${\displaystyle sin\left({30}^o\right)=sin\left({390}^o\right)=\mathrm{0,5}}$. Ze verschillen precies één periode.
   3. ${\displaystyle sin\left({30}^o\right)=sin\left({150}^o\right)=\mathrm{0,5}}$. In de eenheidscirkel liggen de punten ${\displaystyle P}$ bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. de ${\displaystyle y}$-as en dus hoort er dezelfde waarde voor ${\displaystyle h}$ bij.
   4. ${\displaystyle sin\left({30000}^o\right)=sin({120}^o+k\cdot {360}^o)=sin({60}^o+k\cdot {360}^o)}$.
   5. ${\displaystyle sin(-{10000}^o)=sin({80}^o+k\cdot {360}^o)=sin({100}^o+k\cdot {360}^o)}$.
3. 1. Drie periodes.
   2. ${\displaystyle sin\left(1\right)=sin(1+2\pi )\approx \mathrm{0,841}}$. Ze verschillen precies één periode.
   3. ${\displaystyle sin\left(1\right)=sin(\pi -1)\approx \mathrm{0,841}}$. In de eenheidscirkel liggen de punten ${\displaystyle P}$ bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. de ${\displaystyle y}$-as en dus hoort er dezelfde waarde voor ${\displaystyle h}$ bij.
   4. ${\displaystyle sin\left(\mathrm{211,5}\pi \right)=sin(\mathrm{1,5}\pi +k\cdot 2\pi )}$.
   5. ${\displaystyle sin(-1500\pi )=sin(k\cdot \pi )}$.
4. 1. ${\displaystyle 2\pi }$

   2. ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle 0^o}$	${\displaystyle {30}^o}$	${\displaystyle {45}^o}$	${\displaystyle {60}^o}$	${\displaystyle {90}^o}$	${\displaystyle {120}^o}$	${\displaystyle {225}^o}$	${\displaystyle {270}^o}$	${\displaystyle {330}^o}$
      ${\displaystyle x}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \frac{1}{6}\pi }$	${\displaystyle \frac{1}{4}\pi }$	${\displaystyle \frac{1}{3}\pi }$	${\displaystyle \frac{1}{2}\pi }$	${\displaystyle \frac{2}{3}\pi }$	${\displaystyle 1\frac{1}{4}\pi }$	${\displaystyle 1\frac{1}{2}\pi }$	${\displaystyle 1\frac{5}{6}\pi }$

   3. ${\displaystyle \frac{10}{180}\pi =\frac{1}{18}\pi }$ radialen.
   4. ${\displaystyle 10\cdot \frac{180}{\pi }\approx {573}^o}$.
5. 1. ${\displaystyle {360}^o}$
   2. Alle waarden ${\displaystyle x+k\cdot {360}^o}$ verschillen precies één periode en hebben dus dezelfde sinus.
   3. In de eenheidscirkel liggen de punten ${\displaystyle A}$ bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. een verticale lijn door het middelpunt en dus hoort er dezelfde waarde voor ${\displaystyle sin\left(x\right)}$ bij.
   4. In de eenheidscirkel liggen de punten ${\displaystyle A}$ bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. de horizontale lijn door het middelpunt en dus horen er tegengestelde waarden voor ${\displaystyle sin\left(x\right)}$ bij.
   5. De rechthoekige driehoek met ${\displaystyle MA=1}$ als hypothenusa heeft dan twee gelijke rechthoekszijden. Die hebben daarom elk een lengte van ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}}$.
   6. ${\displaystyle {225}^o}$ en ${\displaystyle {315}^o}$.
6. 1. ${\displaystyle 2\pi }$
   2. Alle waarden ${\displaystyle x+k\cdot 2\pi }$ verschillen precies één periode en hebben dus dezelfde sinus.
   3. In de eenheidscirkel liggen de punten ${\displaystyle A}$ bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. een verticale lijn door het middelpunt en dus hoort er dezelfde waarde voor ${\displaystyle sin\left(x\right)}$ bij.
   4. .
   5. De rechthoekige driehoek met ${\displaystyle MA=1}$ als hypothenusa is dan een halve gelijkzijdige driehoek.
   6. ${\displaystyle sin\left(5\frac{1}{6}\pi \right)=sin\left(1\frac{1}{6}\pi \right)=-\mathrm{0,5}}$, ${\displaystyle sin(-1\frac{5}{6}\pi )=sin\left(\frac{1}{6}\pi \right)=\mathrm{0,5}}$, ${\displaystyle sin\left(2\frac{3}{4}\pi \right)=sin\left(\frac{3}{4}\pi \right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}}$.
7. 1. -
   2. ${\displaystyle \mathrm{0,1}}$
   3. ${\displaystyle -\mathrm{0,1}}$
   4. ${\displaystyle \mathrm{0,1}}$
   5. ${\displaystyle -\mathrm{0,1}}$
   6. ${\displaystyle \mathrm{0,1}}$
8. ${\displaystyle x=\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi }$
9. 1. ${\displaystyle \frac{1}{6}\pi ,\frac{1}{9}\pi ,\frac{1}{18}\pi ,1\frac{1}{2}\pi ,2\pi ,1\frac{19}{36}\pi ,\frac{1}{3}\pi }$.
   2. ${\displaystyle {90}^o,{60}^o,{135}^o,\frac{180}{\pi }\approx {57}^o,{180}^o,\approx {180}^o,{1800}^o}$.
10. 1. ${\displaystyle f\left(\frac{5}{6}\pi \right)=\mathrm{0,5}}$ en ${\displaystyle 5\cdot a\left(\frac{1}{6}\pi \right)=\mathrm{2,5}}$. In het eerste geval maak je de draaihoek groter, maar de sinus blijft tussen ${\displaystyle -1}$ en ${\displaystyle 1}$. In het tweede geval bereken je een sinus die je achteraf met 5 vermenigvuldigt.
    2. ${\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\pi \right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}}$ en ${\displaystyle f(-\frac{1}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}}$. De bijbehorende punten op de grafiek liggen gespiegeld t.o.v. de oorsprong.
    3. Maak een schets.
    4. Maak ook hierbij een schets.
    5. Gebruik congruente driehoeken.
11. 1. -
    2. ${\displaystyle x\approx \mathrm{0,644}\vee x\approx \mathrm{2,498}}$.
12. 1. -
    2. ${\displaystyle x=1\frac{1}{6}\pi \vee x=1\frac{5}{6}\pi }$.
13. 1. ${\displaystyle \frac{1}{3}\pi ,\frac{1}{4}\pi ,\pi ,1\frac{2}{3}\pi ,1\frac{5}{6}\pi ,1\frac{17}{18}\pi ,-1\frac{17}{18}\pi }$.
    2. ${\displaystyle {180}^o,{60}^o,-{45}^o,{360}^o,{150}^o,{195}^o,2\cdot \frac{180}{\pi }\approx {115}^o,{300}^o}$.
14. 1. ${\displaystyle f\left(\frac{7}{12}\pi \right)\approx \mathrm{0,966}}$ en ${\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\pi \right)+f\left(\frac{1}{3}\pi \right)\approx \mathrm{1,207}}$. In het eerste geval verander je de draaihoek en neem je daarna de sinus, in het tweede geval neem je eerst de sinus en tel je twee sinussen op.
    2. ${\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\pi \right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}}$ en ${\displaystyle f(-\frac{3}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}}$. Ze komen overeen omdat ${\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\pi \right)=-f(-\frac{1}{4}\pi )}$ en ${\displaystyle f(-\frac{1}{4}\pi )=f(-\frac{3}{4}\pi )}$.
    3. De grafiek is symmetrisch in de lijn ${\displaystyle x=\frac{1}{2}\pi }$.
    4. Gebruik twee congruente driehoeken.
15. 1. -
    2. ${\displaystyle x\approx \mathrm{6,031}\vee x\approx \mathrm{3,394}}$.