Periodiciteit

Inleiding

Er zijn veel verschijnselen die zich herhalen in tijd of ruimte. Bijvoorbeeld een muzieknummer dat je afspeelt met herhaling; een voetbalfragment dat telkens wordt herhaald; zomer en winter; de dagen van de week; een golvend landschap heuvel op heuvel af.
Je noemt dat: periodieke verschijnselen.
Als het verschijnsel ook nog met een functie te beschrijven is, spreek je van een periodieke functie.
Als je één geschikt stukje kent (de periode) kun je het vervolg helemaal voorspellen. In dit onderdeel zul je dat voor verschillende soorten van periodieke functies doen.

Je leert nu:

• de periode vaststellen van een periodiek verschijnsel;
• berekeningen maken bij periodieke verschijnselen.

Je kunt al:

• grafieken tekenen met grote getallen op de assen;
• lineaire vergelijkingen oplossen;
• vergelijkingen oplossen met twee of meer oplossingen.

Verkennen

Een mier loopt op een verticaal vlak vierkantjes: 5 cm omhoog, 5 cm horizontaal, 5 cm recht naar beneden, 5 cm horizontaal, enz. De snelheid is constant 1 cm/s. Hier zie je de grafiek van de hoogte h boven de horizontale as afhankelijk van de tijd `t`.

> Leg uit waarom de grafiek er zo uitziet.
> Welke periode heeft de grafiek?
> Hoe hoog zit de mier na 614 seconden?

Uitleg

Het is maandag. Welke dag is het over 100 dagen?

Bij de dagen van de week is sprake van herhaling per 7 dagen. Je zegt dat dit periodieke verschijnsel een periode heeft van 7 dagen.

Het is dus opnieuw maandag na bijvoorbeeld 70 dagen, na 77, 84, 91 en 98 dagen. Dus over 99 dagen is het dinsdag en over 100 dagen is het woensdag.

In dit soort situaties moet je één basispatroon kiezen dat zich telkens herhaalt. Dat kan zijn maandag tot en met zondag (dus 7 dagen), maar bijvoorbeeld ook zondag tot en met zaterdag (ook 7 dagen) of donderdag tot en met woensdag.

Een wiel draait met steeds dezelfde snelheid rond en maakt één omwenteling in 10 seconden. Op tijdstip t = 0 staat punt A precies bovenaan. Het punt gaat naar links.

• Op welke tijdstippen is punt A bovenaan?

Omdat het wiel in 10 seconden ronddraait is dat op t = 10, maar ook op t = 20, t = 30, t = 40, enz. En als het wiel al aan het draaien was, ook op t = –10, t = –20, t = –30, enz.
Het valt nog niet mee om dat wiskundig netjes op te schrijven.
Het kan zo: t = 0 + k · 10 met $k\in \mathbb{Z}$.
Hierin is $\mathbb{Z}$  een schrijfwijze voor de verzameling van alle gehele getallen.

• Op welke tijdstippen is punt A helemaal rechts?

Dat duurt drie vierde van een omwenteling, dus 7,5 seconden. Maar daar kan weer 10 bij of af, zo vaak als je maar wilt. Dus t = ..., –12,5; –2,5; 7,5; 17,5; 27,5; ...
Anders gezegd: t = 2,5 + k · 10 met $k\in \mathbb{Z}$.

‡

Opgaven

1. Bestudeer eerst in de Uitleg hoe je een serie zich herhalende tijdstippen weergeeft.
   1. Op `t = 0` is het maandag. Leg uit waarom het `k * 7` dagen later weer maandag is. Waarom moet je aannemen dat `k` een geheel getal is?
   2. Welke dag is het `2 + k * 7` dagen later?
   3. Waarom heeft de vraag welke dag het `k * 5` dagen later is geen zin?


2. Bekijk nu in de Uitleg nog eens het verhaal van het ronddraaiende wiel. Ga er van uit dat het punt `A` in 10 seconden rond draait en op `t = 0` bovenaan zit.
   1. Op welke tijdstippen zit punt `A` helemaal links?
   2. Geef in de figuur aan waar punt `A` zit op `t = 7 + k * 10` (teken eventueel zelf zo'n wiel, de grootte is onbelangrijk).

Theorie

De periode van een periodiek verschijnsel is de lengte van het interval waarop de grafiek zich telkens herhaalt.
Je hebt nog wel keuze, welk stuk je daarvoor neemt.
Zo kun je bij een golf een stukje nemen van een maximum tot het eerstvolgend maximum. Maar ook van een minimum tot het eerstvolgend minimum. Of van een willekeurig punt tot het (PAS OP!) tweede volgende punt op dezelfde hoogte op de grafiek.
Voor de lengte van het interval waarop de grafiek zich herhaalt maakt het niets uit, welk stuk van de grafiek je neemt. Die lengte is altijd gelijk als de grafiek zuiver periodiek is.
Bij de dagen van de week is de periode 7 dagen.
Bij een draaiend wiel is de periode bijvoorbeeld 10 seconden.
Soms wordt de periode ook wel de golflengte genoemd.

Het aantal periodes per (tijds)eenheid heet de frequentie.

‡

Voorbeeld 1

De schijngestalten van de maan: nieuwe maan, eerste kwartier (halve maan), volle maan, laatste kwartier (weer halve maan), nieuwe maan, enz., zijn een periodiek verschijnsel met een periode van gemiddeld ongeveer 30 dagen (in de loop van het jaar wisselt de lengte een beetje).

Op 14 januari 2006 was het volle maan.
Bereken op welke datum in mei 2006 het ook volle maan was.

Antwoord

Je telt 30 dagen op bij 14 januari, dat geeft 13 februari. Zo kom je stap voor stap op 15 maart, 14 april en dan op 13 mei. De volgende volle maan valt niet meer in mei.
Antwoord: 13 mei 2006.

Meer lezen over de schijngestalten van de maan?
Ga naar » urania.be

‡

Voorbeeld 2

Een opslagtank bevat 1000 liter brandstof op dag t = 0. In 20 dagen neemt dat gelijkmatig af tot 100 liter. Dan wordt hij in 1 dag bijgevuld tot 1000 liter, enz.

Hoeveel zit erin na 75 dagen?

Antwoord

De inhoud is een periodieke functie met een periode van 21 dagen. Na 75 dagen is de inhoud hetzelfde als hij was na 54, na 33 en na 12 dagen.
Je bekijkt daarom de lineaire functie door de punten (0,1000) en (20,100).
Hiervan is de helling $-\frac{900}{20}$ = –45.

Dus is de gevraagde inhoud 1000 – 12 · 45 = 460 liter.

‡

Voorbeeld 3

Je bekijkt een wiel dat in 10 seconden ronddraait.
Punt A is helemaal rechts op het tijdstip t = 0. Gegeven is dat de straal MA van het wiel 100 centimeter is. De hoogte h(t) van punt A meet je ten opzichte van de as van het wiel, zodat op tijdstip t = 0 de hoogte ook 0 cm is.

Hoe hoog is het punt op tijdstip t = 42?

Antwoord

h(t) heeft een periode van 10. Dus is de hoogte op t = 42 hetzelfde als de hoogte op t = 2.

Punt A heeft dan $\frac{2}{10}$  van de cirkel doorlopen en is dus $\frac{2}{10}$ ·360° = 72° gedraaid.

Voor het berekenen van de hoogte heb je de sinus nodig:

$\sin (72°)=\frac{h}{100}$ en dus: h = 100 · sin(72°) ≈ 95,1 cm.

Dus is op t = 42 de hoogte ongeveer 95 cm.

‡

Opgaven

3. Bekijk in de Theorie wat een periodiek verschijnsel is en wat je verstaat onder de periode en de frequentie van zo'n verschijnsel. Bekijk Voorbeeld 1 over de schijngestalten van de maan.
   1. Welke periode heeft dit verschijnsel?
   2. Met welke frequentie is het volle maan?
   3. Op welke datum was het volle maan in januari 2007?


4. In Voorbeeld 2 gaat het over het leeglopen en weer vullen van een brandstoftank. De hoogte van de brandstof in de tank is een periodiek verschijnsel.
   1. Hoeveel bedraagt de periode?
   2. Leg uit waarom er 550 liter in de tank zit op `t = 10 + k * 21 vv t = 20,5 + k * 21`.
   3. Voor welke waarden van `t` zit er 100 liter in de tank?
   4. Hoeveel zit er in de brandstoftank na 500 dagen?


5. Hier zie je de grafiek van de periodieke functie `f`. Het domein is `RR` (dus de grafiek loopt naar beide kanten oneindig ver door).
   
   
   
   
   1. Bepaal de periode van deze functie.
   2. Bepaal `f(81)` en `f(91)`.
   3. Los op: `f(x) = 6` met `75 <= x <= 85`.
   4. Bepaal `f(-5)`.
   5. Los op: `f(x) = 4` met `-100 <= x <= -90`.


6. Bestudeer Voorbeeld 3 over het ronddraaiende punt `A`.
   1. Bereken de hoogte `h` als `t = 1`.
   2. Hoe groot is `h` als `t = 31`?
   3. Bereken de hoogtes voor de gehele waarden van `t` vanaf 0 tot en met 10. Teken een grafiek van `h` als functie van `t`.
   4. Hoe ziet de grafiek er uit als de waarden van `t` vanaf 0 tot en met 100 lopen?


7. Hier zie je een punt `P` op de tip van een rotorblad van een ronddraaiende windmolen. Hieronder is de grafiek van de functie `h(t)` getekend, waarin `h` de hoogte van punt `P` boven de grond in meter voorstelt en `t` de tijd in seconden is.
   
   
   
   
   1. Met welke periode draait het rotorblad van de windmolen? Met welke frequentie (omwentelingen per minuut) draait het rotorblad?
   2. Hoe hoog zit de as van de windmolen boven de grond? En hoe lang is het rotorblad?
   3. De wind neemt toe, de windmolen gaat twee keer zo snel draaien. Teken de bijbehorende grafiek.
   4. Teken ook de grafiek van de hoogte van de tip van één van de twee andere rotorbladen.


8. Een punt `P` beweegt linksom over een cirkel met straal 1 om de oorsprong `O` van een `Oxy`-assenstelsel. De afstand `a` die het punt heeft afgelegd hangt af van de hoek `alpha` waarover `OP` is gedraaid. Neem aan dat `a = 0` als `alpha = 0`.
   1. Hoeveel is `a(90^o)`? En `a(180^o)`? (Geef exacte waarden.)
   2. Leg uit waarom je nu te maken krijgt met hoeken die groter zijn dan `180^o`. Leg ook uit waarom de draaihoek zelfs groter kan zijn dan `360^o`.
   3. Wat zou een draaihoek van `-60^o` betekenen?
   4. Bepaal nu `a(360^o)`, `a(450^o)`, `a(60^o)` en `a(-30^o)`.
   5. Hoeveel is `a(1^o)`?
   6. Is `a(alpha)` een periodieke functie? Licht je antwoord toe.

Verwerken

9. Bekijk deze grafiek van de periodieke functie `f`.
   
   
   
   
   1. Bereken `f(25)`.
   2. Voor welke waarden van `x` is `f(x) = 10`?
   3. Los op: `f(x) = 5` met `0 <= x <= 9`.


10. Punt `A` ligt op een wiel op afstand 1 van de as. De hoogte van punt `A` ten opzichte van de as noem je `h(t)`. Punt `A` begint rechts, dus `h(0) = 0`. Het wiel draait in 6 seconden rond, linksom. Dus `h(1,5) = 1`, want na `1,5` seconden is punt `A` precies boven.
    1. Bereken `h(4,5)`, `h(10,5)` en `h(16,5)`.
    2. Bereken `h(0,75)` exact.
    3. Bereken exact `h(6,75)`, `h(12,75)` en `h(-5,25)`.
    4. Los op: `h(t) = h(0,75)`.


11. Een torenklok heeft een grote wijzer met een lengte van `1,5` m. De beide wijzers zitten bevestigd op de as van de klok op 45 m boven de grond. Punt `T` stelt de tip van deze grote wijzer voor. De hoogte `h` in m van `T` boven de grond hangt af van de draaihoek `alpha`. Neem aan dat `alpha = 0` om 12:00 uur.
    1. Hoe hoog zit `T` boven de grond op 2:10 uur?
    2. Schets een grafiek van `h(alpha)`.
    3. Er zijn twee tijdstippen waarop `h(alpha) = 46`. De bijbehorende punten waar `T` dan zit zijn `A` en `B`. Hoe ver zitten die punten `A` en `B` van elkaar?


12. Een bal wordt omhooggeschoten op tijdstip `t = -1` en valt terug. Hij veert volkomen elastisch, waardoor hij alsmaar blijft stuiteren. Gebruik de formule `h(t) = 5 - 5t^2` met `-1 <= t <= 1`. `t` is in seconden, `h` is in meter.
    1. Bereken `h(0)` en `h(0,5)`.
    2. Bepaal de periode van de grafiek.
    3. Bereken `h(6)` en `h(6,5)`.
    4. Bereken `h(15)` en `h(15,5)`.
    5. Hoe realistisch is dit rekenmodel?

Testen

13. Een grafiek bestaat in een `Oxy`-assenstelsel uit rechte lijnstukjes tussen de punten `(100,1000), (110,600), (140,1000), (150,600), (180,1000)`, enz. Het patroon gaat naar links en rechts oneindig ver door.
    1. Welke periode heeft deze grafiek?
    2. Bereken de waarde van `y` bij `x = 250`.
    3. Teken de grafiek met `0 <= x <= 100`.
    4. Bereken de waarde van `y` bij `x = -250`.
    5. Hoeveel getallen `x` met `0 <= x <= 100` bestaan er bij `y = 900?`


14. Een wiel met een straal van 30 cm draait linksom rond met constante snelheid. De omlooptijd is 20 seconden. De hoogte in centimeter van punt `A` aan de buitenkant van het wiel, gemeten ten opzichte van het middelpunt, noem je `h(t)` met `t` in seconden. Het punt `A` begint bovenaan, dus `h(0) = 30`.
    1. Met welke frequentie draait punt `A`?
    2. Bereken `h(35)`.
    3. Bereken `h(18)` in één decimaal nauwkeurig.
    4. Bereken `h(76)` in één decimaal nauwkeurig.
    5. Geef alle tijdstippen `t` met `-40 <= t <= 40` waarvoor geldt `h = 0`.