Periodiciteit

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodiciteit > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodiciteit > Uitleg

Lees in de Uitleg hoe je omgaat met herhaling bij bepaalde verschijnselen.

Opgaven

1. Bestudeer eerst in de Uitleg hoe je een serie zich herhalende tijdstippen weergeeft.
   1. Op `t = 0` is het maandag. Leg uit waarom het `k * 7` dagen later weer maandag is. Waarom moet je aannemen dat `k` een geheel getal is?
   2. Welke dag is het `2 + k * 7` dagen later?
   3. Waarom heeft de vraag welke dag het `k * 5` dagen later is geen zin?


2. Bekijk nu in de Uitleg nog eens het verhaal van het ronddraaiende wiel. Ga er van uit dat het punt `A` in 10 seconden rond draait en op `t = 0` bovenaan zit.
   1. Op welke tijdstippen zit punt `A` helemaal links?
   2. Geef in de figuur aan waar punt `A` zit op `t = 7 + k * 10` (teken eventueel zelf zo'n wiel, de grootte is onbelangrijk).

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodiciteit > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk in de Theorie wat een periodiek verschijnsel is en wat je verstaat onder de periode en de frequentie van zo'n verschijnsel. Bekijk Voorbeeld 1 over de schijngestalten van de maan.
   1. Welke periode heeft dit verschijnsel?
   2. Met welke frequentie is het volle maan?
   3. Op welke datum was het volle maan in januari 2007?


4. In Voorbeeld 2 gaat het over het leeglopen en weer vullen van een brandstoftank. De hoogte van de brandstof in de tank is een periodiek verschijnsel.
   1. Hoeveel bedraagt de periode?
   2. Leg uit waarom er 550 liter in de tank zit op `t = 10 + k * 21 vv t = 20,5 + k * 21`.
   3. Voor welke waarden van `t` zit er 100 liter in de tank?
   4. Hoeveel zit er in de brandstoftank na 500 dagen?


5. Hier zie je de grafiek van de periodieke functie `f`. Het domein is `RR` (dus de grafiek loopt naar beide kanten oneindig ver door).
   
   
   
   
   1. Bepaal de periode van deze functie.
   2. Bepaal `f(81)` en `f(91)`.
   3. Los op: `f(x) = 6` met `75 <= x <= 85`.
   4. Bepaal `f(-5)`.
   5. Los op: `f(x) = 4` met `-100 <= x <= -90`.


6. Bestudeer Voorbeeld 3 over het ronddraaiende punt `A`.
   1. Bereken de hoogte `h` als `t = 1`.
   2. Hoe groot is `h` als `t = 31`?
   3. Bereken de hoogtes voor de gehele waarden van `t` vanaf 0 tot en met 10. Teken een grafiek van `h` als functie van `t`.
   4. Hoe ziet de grafiek er uit als de waarden van `t` vanaf 0 tot en met 100 lopen?


7. Hier zie je een punt `P` op de tip van een rotorblad van een ronddraaiende windmolen. Hieronder is de grafiek van de functie `h(t)` getekend, waarin `h` de hoogte van punt `P` boven de grond in meter voorstelt en `t` de tijd in seconden is.
   
   
   
   
   1. Met welke periode draait het rotorblad van de windmolen? Met welke frequentie (omwentelingen per minuut) draait het rotorblad?
   2. Hoe hoog zit de as van de windmolen boven de grond? En hoe lang is het rotorblad?
   3. De wind neemt toe, de windmolen gaat twee keer zo snel draaien. Teken de bijbehorende grafiek.
   4. Teken ook de grafiek van de hoogte van de tip van één van de twee andere rotorbladen.


8. Een punt `P` beweegt linksom over een cirkel met straal 1 om de oorsprong `O` van een `Oxy`-assenstelsel. De afstand `a` die het punt heeft afgelegd hangt af van de hoek `alpha` waarover `OP` is gedraaid. Neem aan dat `a = 0` als `alpha = 0`.
   1. Hoeveel is `a(90^o)`? En `a(180^o)`? (Geef exacte waarden.)
   2. Leg uit waarom je nu te maken krijgt met hoeken die groter zijn dan `180^o`. Leg ook uit waarom de draaihoek zelfs groter kan zijn dan `360^o`.
   3. Wat zou een draaihoek van `-60^o` betekenen?
   4. Bepaal nu `a(360^o)`, `a(450^o)`, `a(60^o)` en `a(-30^o)`.
   5. Hoeveel is `a(1^o)`?
   6. Is `a(alpha)` een periodieke functie? Licht je antwoord toe.

Verwerken

9. Bekijk deze grafiek van de periodieke functie `f`.
   
   
   
   
   1. Bereken `f(25)`.
   2. Voor welke waarden van `x` is `f(x) = 10`?
   3. Los op: `f(x) = 5` met `0 <= x <= 9`.


10. Punt `A` ligt op een wiel op afstand 1 van de as. De hoogte van punt `A` ten opzichte van de as noem je `h(t)`. Punt `A` begint rechts, dus `h(0) = 0`. Het wiel draait in 6 seconden rond, linksom. Dus `h(1,5) = 1`, want na `1,5` seconden is punt `A` precies boven.
    1. Bereken `h(4,5)`, `h(10,5)` en `h(16,5)`.
    2. Bereken `h(0,75)` exact.
    3. Bereken exact `h(6,75)`, `h(12,75)` en `h(-5,25)`.
    4. Los op: `h(t) = h(0,75)`.


11. Een torenklok heeft een grote wijzer met een lengte van `1,5` m. De beide wijzers zitten bevestigd op de as van de klok op 45 m boven de grond. Punt `T` stelt de tip van deze grote wijzer voor. De hoogte `h` in m van `T` boven de grond hangt af van de draaihoek `alpha`. Neem aan dat `alpha = 0` om 12:00 uur.
    1. Hoe hoog zit `T` boven de grond op 2:10 uur?
    2. Schets een grafiek van `h(alpha)`.
    3. Er zijn twee tijdstippen waarop `h(alpha) = 46`. De bijbehorende punten waar `T` dan zit zijn `A` en `B`. Hoe ver zitten die punten `A` en `B` van elkaar?


12. Een bal wordt omhooggeschoten op tijdstip `t = -1` en valt terug. Hij veert volkomen elastisch, waardoor hij alsmaar blijft stuiteren. Gebruik de formule `h(t) = 5 - 5t^2` met `-1 <= t <= 1`. `t` is in seconden, `h` is in meter.
    1. Bereken `h(0)` en `h(0,5)`.
    2. Bepaal de periode van de grafiek.
    3. Bereken `h(6)` en `h(6,5)`.
    4. Bereken `h(15)` en `h(15,5)`.
    5. Hoe realistisch is dit rekenmodel?

Testen

13. Een grafiek bestaat in een `Oxy`-assenstelsel uit rechte lijnstukjes tussen de punten `(100,1000), (110,600), (140,1000), (150,600), (180,1000)`, enz. Het patroon gaat naar links en rechts oneindig ver door.
    1. Welke periode heeft deze grafiek?
    2. Bereken de waarde van `y` bij `x = 250`.
    3. Teken de grafiek met `0 <= x <= 100`.
    4. Bereken de waarde van `y` bij `x = -250`.
    5. Hoeveel getallen `x` met `0 <= x <= 100` bestaan er bij `y = 900?`


14. Een wiel met een straal van 30 cm draait linksom rond met constante snelheid. De omlooptijd is 20 seconden. De hoogte in centimeter van punt `A` aan de buitenkant van het wiel, gemeten ten opzichte van het middelpunt, noem je `h(t)` met `t` in seconden. Het punt `A` begint bovenaan, dus `h(0) = 30`.
    1. Met welke frequentie draait punt `A`?
    2. Bereken `h(35)`.
    3. Bereken `h(18)` in één decimaal nauwkeurig.
    4. Bereken `h(76)` in één decimaal nauwkeurig.
    5. Geef alle tijdstippen `t` met `-40 <= t <= 40` waarvoor geldt `h = 0`.