De abc-formule

Inleiding

In het vorige onderdeel heb je gezien hoe je de vergelijking 2(x – 1)2 – 5 = 3 oplost door terug te rekenen. Dat terugrekenen lukt omdat de x maar op één plaats in de vergelijking voorkomt.
Kwadratische vergelijkingen komen ook voor in een vorm waarin terugrekenen niet mogelijk is. Werk je namelijk de haakjes weg, dan krijg je 2x2 – 4x – 3 = 3.
De x komt nu op meer plekken voor en terugrekenen is niet meer mogelijk. Door kwadraatafsplitsen kun je ook een formule afleiden waarmee een dergelijke vergelijking in één keer op te lossen is. Dat is de zogenaamde abc-formule.

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Bekijk de grafiek van de functie g(x) = 2(x + 1)2 + 7 .

> Schrijf het functievoorschrift van g in de vorm g(x) = ax2 + bx + c.
> Hoe kun je met de grafische rekenmachine nagaan of je dit goed hebt gedaan?
> Hoe kun je aan een functievoorschrift van de vorm g(x) = ax2 + bx + c zien of de grafiek een dal- of een bergparabool is?
> Hoe bepaal je de top van de grafiek van g?

Bekijk vervolgens de grafiek van f(x) = x2 + 6x – 8.

> Hoe bepaal je nu algebraïsch de top en de nulpunten van de grafiek van f?

Uitleg

De vergelijkng x2 + 6x = 16 kun je niet oplossen door terugrekenen. Maar... bekijk de figuur hiernaast eens.
Zie je dat x2 + 6x = (x + 3)2 – 32?
Dit betekent dat je de gegeven vergelijking kunt schrijven als: (x + 3)2 – 9 = 16.
En nu komt x weer op één plek voor en kun je terug rekenen:

(x + 3)2 – 9 = 16                  beide zijden 9 optellen
      (x + 3)2 = 25                   worteltrekken
   x + 3 = 5  V  x + 3 = –5    3 aftrekken
         x = 2  V  x = –8

Je hebt hier gebruik gemaakt van de algemene formule

     x2 + 2kx = (x + k)2 – k2

De gebruikte techniek heet een kwadraat afsplitsen. De geldigheid van deze formule is eenvoudig aan te tonen door de haakjes uit te werken.

De techniek van een kwadraat afsplitsen kun je ook toepassen om bijvoorbeeld de vergelijking 3x2 + 17x = 45 op te lossen.
Je deelt dan eerst door 3, probeer maar...
Omdat dit een tijdrovend gepruts is hebben wiskundigen de oplossingen berekend voor het algemene geval. Dat gaat ook met kwadraat afsplitsen. Je krijgt het volgende resultaat:

De vergelijking ax2 + bx + c = 0 heeft als oplossing:

`x = (-b + sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) vv x = (-b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`

Dit noem je de abc-formule of wortelformule.
Deze formule geeft meteen de twee oplossingen als je de juiste waarden voor a, b en c invult. De vergelijking moet vaak wel eerst nog in de vorm ax2 + bx + c = 0 worden gezet!

Ga na, dat de oplossing van 3x2 + 17x = 45, en dus 3x2 + 17x – 45 = 0 is:
`x = (-17 + sqrt(829))/6 vv x = (-17 - sqrt(829))/6`.
De uitdrukking b2 – 4ac onder het wortelteken heet de discriminant. Omdat die discriminant in dit geval 829 is zijn er twee mogelijke antwoorden. Is de discriminant negatief, dan zijn er geen reële oplossingen. Je kunt die discriminant beter eerst uitrekenen.

‡

Opgaven

  1. Gegeven is de kwadratische functie `f` met functievoorschrift `f(x) = x^2 - 6x + 1`.
    1. In de Uitleg, pagina 1 kun je nalezen hoe je in een dergelijk functievoorschrift een kwadraat kunt afsplitsen. Doe dat bij deze functie `f`.
    2. Je weet nu meteen de coördinaten van de top van de grafiek van `f`. Welke coördinaten heeft de top van de grafiek van `f`?
    3. Bereken algebraïsch de nulpunten van de grafiek van `f` in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Je kunt deze nulpunten ook vinden zonder een kwadraat af te splitsen. Dan gebruik je de `abc`-formule, zie de Uitleg, pagina 2. Bepaal de nulpunten nog eens, maar nu met de `abc`-formule.

  2. Het kwadraat afsplitsen moet je even oefenen. Splits bij de volgende functievoorschriften een kwadraat af:
    1. `f(x) = x^2 + 12x`
    2. `g(x) = x^2 - 8x + 15`
    3. `h(x) = 2x^2 - 12x - 12`
    4. `k(x) = -x^2 + 4x + 3`

  3. Los de vergelijking `3x^2 + 17x = 45` eens op met kwadraat afsplitsen.
    Probeer op dezelfde manier de vergelijking `ax^2 + bx + c = 0` op te lossen met kwadraat afsplitsen. Kun je zelf de `abc`-formule vinden?

Theorie

Een algemene vorm voor een kwadratische functie is
f(x) = ax2 + bx + c.
Nu zie je aan het functievoorschrift niet meteen hoe hij door transformatie uit de machtsfunctie y = x2 kan ontstaan. Dat is lastig als je de top en de nulpunten van de bijbehorende parabool wilt vinden.

Door kwadraat afsplitsen kun je de functie f omzetten naar de vorm: f(x) = a(x – p)2 + q waarin (p, q) de top van de grafiek is.
Je gebruikt daarbij de eigenschap:

x2 + 2kx = (x + k)2 – k2

Controleer met de applet dat f(x) = 2x2 – 4x dezelfde functie is als g(x) = 2(x – 1)2 – 2.

Natuurlijk is het handig als je f(x) = ax2 + bx + c met behulp van kwadraat afsplitsen omzet naar de vorm waarin je de top en de symmetrieas zo kunt aflezen...

Wiskundigen hebben al lang geleden de abc-formule afgeleid.
Daarmee kun je de vergelijking ax2 + bx + c = 0 oplossen en zo de nulpunten van de kwadratische functie berekenen. De gevonden oplossing is:

`x = (-b + sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) vv x = (-b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`

De uitdrukking D = b2 – 4ac die onder het wortelteken staat heet de discriminant van de kwadratische vergelijking. Omdat alleen de wortel uit een positief getal of 0 een reëel getal oplevert, bepaalt die discriminant het aantal oplossingen van de vergelijking:

‡

Voorbeeld 1

Los op: x2 + 10x = 15.

Antwoord

Terugrekenen kan niet, maar op x2 + 10x kun je kwadraat afsplitsen toepassen:
x2 + 10x = (x + 5)2 – 25.

De vergelijking wordt dan zo opgelost:
(x + 5)2 – 25 = 15                                beide zijden + 25
         (x + 5)2 = 40                                worteltrekken
  x + 5 = `sqrt(40)`  V  x + 5 = `-sqrt(40)`          beide zijden – 5
x = `-5 + sqrt(40)`  V  x = `-5 - sqrt(40)`

Je kunt ook de abc-formule toepassen.
Eerst schrijf je de vergelijking als: x2 + 10x – 15 = 0.
Dan neem je a = 1, b = 10 en c = –15.
Discriminant: D = b2 – 4ac = 100 – 4 · 1 · – 15 = 160.
De discriminant is positief, er zijn twee oplossingen: `x = (-10 + sqrt(160))/(2) vv x = (-10 - sqrt(160))/(2)`
Ga na dat beide oplossingsmethoden hetzelfde opleveren.

‡

Voorbeeld 2

Bepaal algebraïsch de nulpunten van de functie
`f(x) = 2x^2 - 2x - 4`.

Antwoord

Kwadraat afsplitsen:
`f(x) = 2x^2 - 2x - 4 = 2(x^2 - x - 2) =`
       `2((x - 1/2)^2 - 1/4 - 2) = 2(x - 1/2)^2 - 4 1/2`.

De nulpunten vind je nu uit: `2(x - 1/2)^2 - 4 1/2 = 0`.
Ga na dat je door terugrekenen vindt: (–1, 0) en (2, 0).

Je kunt ook meteen oplossen: `2x^2 - 2x - 4 = 0`.
Dat kun je doen met behulp van de abc-formule, maar nog veel sneller door ontbinden in factoren toe te passen. Ga na, dat je zo dezelfde nulpunten vindt.
Voordeel van het kwadraat afsplitsen is, dat je ook meteen de top van de grafiek uit het functievoorschrift afleest.

‡

Voorbeeld 3

Los op: –2x2 < 8 – x.

Antwoord

De bijbehorende vergelijking herschrijf je eerst tot: –2x2 + x – 8 = 0.
Je ziet dan dat: a = –2, b = 1 en c = –8.
Discriminant: D = b2 – 4ac = –63.
De discriminant is negatief, dus de vergelijking heeft geen reële oplossingen.

Nu bekijk je de grafieken van y1 = –2x2 en y2 = 8 – x. En dan denk je: "Waarom heb ik dit niet eerder gedaan?" want je ziet meteen dat er geen snijpunten zijn: y1 is voor elke x kleiner dan y2.

Antwoord: elke reële x-waarde is oplossing van deze ongelijkheid.

‡

Voorbeeld 4

Een kwadratische vergelijking heeft precies één oplossing als de discriminant 0 is.
Stel je nu voor dat je een functie hebt zoals
f(x) = x2 + kx + 3, waarin k een nog onbekende constante is. Je wilt deze constante zo kiezen, dat de grafiek van f precies met zijn top op de x-as ligt.

Welke waarde moet k dan krijgen?

Antwoord

De vergelijking x2 + kx + 3 = 0 moet precies één oplossing hebben.
Uit D = 0 volgt dan:
`k^2 - 12 = 0`.

Kennelijk moet `k^2 = 12`.
Dus: `k = +-sqrt(12)`.

‡

Opgaven

  1. Bestudeer Voorbeeld 1. Je gaat nu zelf de vergelijking `x^2 - 12x = 30` oplossen.
    1. Doe dit eerst met behulp van kwadraat afsplitsen.
    2. Doe dit vervolgens nog eens met de `abc`-formule.

  2. Bekijk de kwadratische functie `f(x) = 2x^2 - 6x + 2`. Je wilt de nulpunten (in twee decimalen nauwkeurig) en de top van de grafiek van `f` bepalen. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Probeer dit eerst met behulp van kwadraat afsplitsen.
    2. Je kunt de nulpunten ook meteen met de `abc`-formule berekenen. Bepaal wat dan de `a`, `b` en `c` zijn. Bereken daarna de discriminant.
    3. Kun je aan de discriminant zien hoeveel oplossingen de vergelijking `f(x)=0` heeft?
    4. Los de vergelijking `f(x)=0` op en ga na dat je zo dezelfde nulpunten vindt als bij a.
    5. Werk je met de `abc`-formule, dan moet je vanuit de nulpunten de top bepalen. Hoe gaat dat in zijn werk?

  3. Je wilt de ongelijkheid `3x^2 + 6x < x + 8` oplossen. Als je de `abc`-formule wilt gebruiken om een vergelijking op te lossen, moet de vergelijking in de vorm `ax^2 + bx + c = 0` staan. Bekijk Voorbeeld 3.
    1. Schrijf de bij de ongelijkheid horende vergelijking `3x^2 + 6x = x + 8` in deze vorm en bereken de oplossingen met de `abc`-formule.
    2. Controleer de oplossingen met de grafische rekenmachine en geef de oplossing van de ongelijkheid.

  4. Kwadratische vergelijkingen kunnen soms ook opgelost worden door ontbinden in factoren. Ga bij elk van de volgende vergelijkingen na of ze opgelost kunnen worden met ontbinden in factoren. Bereken van elk van de vergelijkingen de oplossing. Gebruik de `abc`-formule alleen als dat echt nodig is.
    1. `x^2 - x - 3 = 0`
    2. `-4x^2 + 5x - 14=0`
    3. `2x^2 - 10x + 10 = 2x - 6`
    4. `x - 5x^2 = 10`
    5. `x(x - 7) = 8`

  5. In Voorbeeld 4 zie je dat het voorschrift `f(x) = x^2 + kx + 3` voor verschillende waarden van `k` steeds een andere functie met een andere grafiek oplevert.
    1. Bepaal de top van deze parabool als `k=2`.
    2. Bepaal de top van deze parabool als `k=1`.
    3. Gevraagd wordt in het voorbeeld om `k` zo te bepalen dat de top van de parabool op de `x`-as ligt. Laat zelf zien dat dit het geval is als `k = +-sqrt(12)`.
    4. Voor welke waarden van `k` ligt de top van de grafiek van `f` op de lijn `y=1`?

  6. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = px^2 - 4x + 5`.
    1. Neem `p=1` en bepaal de nulpunten en de top van de grafiek van `f`.
    2. Neem `p=0`. Waarom is de grafiek van `f` nu geen parabool?
    3. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` precies één punt met de `x`-as gemeen?

Verwerken

  1. Gegeven de kwadratische functie `f` met `f(x) = x^2 + 8x - 20`.
    1. Schrijf het functievoorschrift in een zodanige vorm dat je de top van de grafiek eruit kunt aflezen.
    2. Je kunt nu op drie manieren de nulpunten van de grafiek van `f` berekenen. Doe dit eerst door het functievoorschrift dat je bij a hebt gevonden te gebruiken
    3. Bereken de nulpunten ook met behulp van de `abc`-formule.
    4. Tenslotte kun je gebruik maken van ontbinden in factoren. Dat gaat verreweg het snelst als je de ontbinding "ziet". Bereken de nulpunten nog eens op deze manier.

  2. Teken met de grafische rekenmachine en één figuur de grafieken van `f(x) = 2x^2 - x + 1` en `g(x) = 10 - 3x`.
    1. Los op: `f(x) = g(x)`
    2. Los in drie decimalen nauwkeurig op: `f(x) > g(x)`

  3. Los de volgende vergelijkingen op:
    1. `x^2 + 3x + 13 = 0`
    2. `1/3x^2 + 10x + 1 = 0`
    3. `2x^2 - 5x = x`
    4. `2x^2 - 12x = -18`
    5. `x^2 - 5x + 10 = 0`
    6. `x(x - 1) = 12`
    7. `60 - x^2 = 0`
    8. `5 - 1/3x^2 = 1`
    9. `x - 5x^2 = 3`

  4. Gegeven zijn de functies `f` en `g` met `f(x) = px^2 + 6x + 2p` en `g(x) = 6 - x`.
    1. Neem `p=2` en bereken de nulpunten en de top van de grafiek van `f`.
    2. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` precies één punt met de `x`-as gemeen?
    3. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` drie snijpunten met de `x`-as en de `y`-as?
    4. Voor welke waarden van `p` hebben deze functies precies één snijpunt?

Toetsen

  1. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op.
    1. `x^2 - 2x - 15 = 0`
    2. `-x^2 - x - 1 = 0`
    3. `20 - x^2 = 11`
    4. `x(x + 2) < 14`
    5. `x^2 - x + 10 >= 3`

  2. Gegeven zijn de functies `f(x) = p - x^2` en `g(x) = x^2 - 3x`. Hierin is `p` een nog onbekende constante.
    1. Voor welke waarden van `p` heeft functie `f` geen nulpunten?
    2. Neem `p=4` en bereken de snijpunten van de twee grafieken van `f` en `g` in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Voor welke waarde van `p` hebben beide grafieken precies één snijpunt?