De abc-formule

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > De abc-formule > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > De abc-formule > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door. Bekijk vooral hoe het kwadraat afsplitsen gaat. Met behulp daarvan kun je de `abc`-formule afleiden.

Opgaven

  1. Gegeven is de kwadratische functie `f` met functievoorschrift `f(x) = x^2 - 6x + 1`.
    1. In de Uitleg, pagina 1 kun je nalezen hoe je in een dergelijk functievoorschrift een kwadraat kunt afsplitsen. Doe dat bij deze functie `f`.
    2. Je weet nu meteen de coördinaten van de top van de grafiek van `f`. Welke coördinaten heeft de top van de grafiek van `f`?
    3. Bereken algebraïsch de nulpunten van de grafiek van `f` in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Je kunt deze nulpunten ook vinden zonder een kwadraat af te splitsen. Dan gebruik je de `abc`-formule, zie de Uitleg, pagina 2. Bepaal de nulpunten nog eens, maar nu met de `abc`-formule.

  2. Het kwadraat afsplitsen moet je even oefenen. Splits bij de volgende functievoorschriften een kwadraat af:
    1. `f(x) = x^2 + 12x`
    2. `g(x) = x^2 - 8x + 15`
    3. `h(x) = 2x^2 - 12x - 12`
    4. `k(x) = -x^2 + 4x + 3`

  3. Los de vergelijking `3x^2 + 17x = 45` eens op met kwadraat afsplitsen.
    Probeer op dezelfde manier de vergelijking `ax^2 + bx + c = 0` op te lossen met kwadraat afsplitsen. Kun je zelf de `abc`-formule vinden?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > De abc-formule > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. Bekijk beide pagina's en het bewijs van de `abc`-formule. Het is nuttig als je dit bewijs in ieder geval kunt volgen. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bestudeer Voorbeeld 1. Je gaat nu zelf de vergelijking `x^2 - 12x = 30` oplossen.
    1. Doe dit eerst met behulp van kwadraat afsplitsen.
    2. Doe dit vervolgens nog eens met de `abc`-formule.

  2. Bekijk de kwadratische functie `f(x) = 2x^2 - 6x + 2`. Je wilt de nulpunten (in twee decimalen nauwkeurig) en de top van de grafiek van `f` bepalen. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Probeer dit eerst met behulp van kwadraat afsplitsen.
    2. Je kunt de nulpunten ook meteen met de `abc`-formule berekenen. Bepaal wat dan de `a`, `b` en `c` zijn. Bereken daarna de discriminant.
    3. Kun je aan de discriminant zien hoeveel oplossingen de vergelijking `f(x)=0` heeft?
    4. Los de vergelijking `f(x)=0` op en ga na dat je zo dezelfde nulpunten vindt als bij a.
    5. Werk je met de `abc`-formule, dan moet je vanuit de nulpunten de top bepalen. Hoe gaat dat in zijn werk?

  3. Je wilt de ongelijkheid `3x^2 + 6x < x + 8` oplossen. Als je de `abc`-formule wilt gebruiken om een vergelijking op te lossen, moet de vergelijking in de vorm `ax^2 + bx + c = 0` staan. Bekijk Voorbeeld 3.
    1. Schrijf de bij de ongelijkheid horende vergelijking `3x^2 + 6x = x + 8` in deze vorm en bereken de oplossingen met de `abc`-formule.
    2. Controleer de oplossingen met de grafische rekenmachine en geef de oplossing van de ongelijkheid.

  4. Kwadratische vergelijkingen kunnen soms ook opgelost worden door ontbinden in factoren. Ga bij elk van de volgende vergelijkingen na of ze opgelost kunnen worden met ontbinden in factoren. Bereken van elk van de vergelijkingen de oplossing. Gebruik de `abc`-formule alleen als dat echt nodig is.
    1. `x^2 - x - 3 = 0`
    2. `-4x^2 + 5x - 14 = 0`
    3. `2x^2 - 10x + 10 = 2x - 6`
    4. `x - 5x^2 = 10`
    5. `x(x - 7) = 8`

  5. In Voorbeeld 4 zie je dat het voorschrift `f(x) = x^2 + kx + 3` voor verschillende waarden van `k` steeds een andere functie met een andere grafiek oplevert.
    1. Bepaal de top van deze parabool als `k=2`.
    2. Bepaal de top van deze parabool als `k=1`.
    3. Gevraagd wordt in het voorbeeld om `k` zo te bepalen dat de top van de parabool op de `x`-as ligt. Laat zelf zien dat dit het geval is als `k = +-sqrt(12)`.
    4. Voor welke waarden van `k` ligt de top van de grafiek van `f` op de lijn `y=1`?

  6. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = px^2 - 4x + 5`.
    1. Neem `p=1` en bepaal de nulpunten en de top van de grafiek van `f`.
    2. Neem `p=0`. Waarom is de grafiek van `f` nu geen parabool?
    3. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` precies één punt met de `x`-as gemeen?

Verwerken

  1. Gegeven de kwadratische functie `f` met `f(x) = x^2 + 8x - 20`.
    1. Schrijf het functievoorschrift in een zodanige vorm dat je de top van de grafiek eruit kunt aflezen.
    2. Je kunt nu op drie manieren de nulpunten van de grafiek van `f` berekenen. Doe dit eerst door het functievoorschrift dat je bij a hebt gevonden te gebruiken
    3. Bereken de nulpunten ook met behulp van de `abc`-formule.
    4. Tenslotte kun je gebruik maken van ontbinden in factoren. Dat gaat verreweg het snelst als je de ontbinding "ziet". Bereken de nulpunten nog eens op deze manier.

  2. Teken met de grafische rekenmachine en één figuur de grafieken van `f(x) = 2x^2 - x + 1` en `g(x) = 10 - 3x`.
    1. Los op: `f(x) = g(x)`
    2. Los in drie decimalen nauwkeurig op: `f(x) > g(x)`

  3. Los de volgende vergelijkingen op:
    1. `x^2 + 3x + 13 = 0`
    2. `1/3x^2 + 10x + 1 = 0`
    3. `2x^2 - 5x = x`
    4. `2x^2 - 12x = -18`
    5. `x^2 - 5x + 10 = 0`
    6. `x(x - 1) = 12`
    7. `60 - x^2 = 0`
    8. `5 - 1/3x^2 = 1`
    9. `x - 5x^2 = 3`

  4. Gegeven zijn de functies `f` en `g` met `f(x) = px^2 + 6x + 2p` en `g(x) = 6 - x`.
    1. Neem `p=2` en bereken de nulpunten en de top van de grafiek van `f`.
    2. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` precies één punt met de `x`-as gemeen?
    3. Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` drie snijpunten met de `x`-as en de `y`-as?
    4. Voor welke waarden van `p` hebben deze functies precies één snijpunt?

Toetsen

  1. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op.
    1. `x^2 - 2x - 15 = 0`
    2. `-x^2 - x - 1 = 0`
    3. `20 - x^2 = 11`
    4. `x(x + 2) < 14`
    5. `x^2 - x + 10 >= 3`

  2. Gegeven zijn de functies `f(x) = p - x^2` en `g(x) = x^2 - 3x`. Hierin is `p` een nog onbekende constante.
    1. Voor welke waarden van `p` heeft functie `f` geen nulpunten?
    2. Neem `p=4` en bereken de snijpunten van de twee grafieken van `f` en `g` in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Voor welke waarde van `p` hebben beide grafieken precies één snijpunt?