De abc-formule

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f(x) = x^2 - 6x + 1 = (x - 3)^2 - 9 + 1 = (x - 3)^2 - 8`
    2. Top is `(3,-8)`.
    3. `(x - 3)^2 - 8 = 0` geeft `x - 3 = +- sqrt(8)` en dus zijn de nulpunten `(3 - sqrt(8),0)` en `(3 + sqrt(8),0)`.
      In twee decimalen nauwkeurig: `(0,17;0)` en `(5,83;0)`.
    4. Ga na dat je dezelfde nulpunten vindt.
    1. `f(x) = x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36`
    2. `g(x) = x^2 - 8x + 15 = (x - 4)^2 - 16 + 15 = (x - 4)^2 - 1`
    3. `h(x) = 2x^2 - 12x - 12 = 2(x^2 - 6x - 6) = 2((x - 3)^2 - 15) = 2(x - 3)^2 - 30`
    4. `k(x) = -x^2 + 4x + 3 = -(x^2 - 4x - 3) = -((x - 2)^2 - 7) = -(x - 2)^2 + 7`
  3. -
    1. `x^2 - 12x = 30` geeft `(x - 6)^2 - 36 = 30` en dus `(x - 6)^2 = 66` zodat `x = 6 +- sqrt(66)`.
    2. Met de abc-formule vind je waarschijnlijk `x = (12 +- sqrt(264))/2`.
      Ga zelf na dat dit hetzelfde is als bij a.
    1. `f(x) = 2x^2 - 6x + 2 = 2(x - 1,5)^2 - 2,5`.
      Top `(1,5;-2,5)`. Nulpunten `(1,5 +- sqrt(1,25),0)`, dus `(0,38;0)` en `(2,62;0)`.
    2. `a=2`, `b=-6` en `c=2` geeft `D = 20`.
    3. `D > 0`, dus twee nulpunten.
    4. -
    5. Midden tussen beide nulpunten zit de symmetrieas: `x = 1,5`. Omdat `f(1,5) = -2,5` vind je dezelfde top als bij a.
    1. `3x^2 + 5x - 8 = 0` geeft `x = (-5 +- sqrt(121))/6` en dus `x = -2 2/3 vv x = 1`.
    2. `-2 2/3 < x < 1`
    1. abc-formule: `x = (1 +- sqrt(13))/2`
    2. abc-formule met `D < 0` dus geen oplossingen
    3. `2x^2 - 12x + 16 = 0` geeft `x^2 - 6x + 8 = 0` en `(x - 2)(x - 4) = 0`, zodat `x = 2 vv x = 4`
    4. abc-formule met `D < 0` dus geen oplossingen
    5. `x^2 - 7x - 8 = 0` geeft `(x - 8)(x + 1) = 0` en dus `x = 8 vv x = -1`
    1. Top `(-1,2)`
    2. Top `(-1/2,2 3/4)`
    3. Nulpunten en top vallen dan samen: `D = 0` geeft `k^2 - 12 = 0` en dus `k = +-sqrt(12)`.
    4. Kwadraat afsplitsen geeft `f(x) = (x - 1/2k)^2 - 1/4k^2 + 3`, dus top `(1/2k,-1/4k^2 + 3)`.
      Dit punt ligt op `y=1` als `-1/4k^2 + 3 = 1`, dus `k = +-sqrt(8)`.
    1. Top `(2,1)`
    2. `f(x) = -4x + 5` is het voorschrift van een lineaire functie.
    3. `D = 0` geeft `16 - 20p = 0` en dus `p = 0,8`.
    1. `f(x) = x^2 + 8x - 20 = (x + 4)^2 - 36`, top `(-4,-36)`.
    2. `(x + 4)^2 - 36 = 0` geeft `(x + 4)^2 = 36` en dus `x = -4 +- sqrt(36)` zodat `x = -10 vv x = 2`.
    3. `x = (-8 +- sqrt(144))/2`
    4. `x^2 + 8x - 20 = (x + 10)(x - 2)`
    1. `2x^2 - x + 1 = 10 - 3x` geeft `2x^2 + 2x - 9 = 0` en `x = (-2 +- sqrt(76))/2`.
    2. `x < -2,679 vv x > 1,679`
    1. `x^2 - 3x - 13 = 0` geeft `x = (3 + - sqrt(61))/2`
    2. `x^2 + 30x + 3 = 0` geeft `x = (-30 + - sqrt(888))/2`
    3. `2x^2 - 6x = 0` geeft `2x(x - 3) = 0` en `x = 0 vv x = 3`
    4. `2x^2 - 12x + 18 = 0` geeft `x^2 - 6x + 9 = 0` en `(x - 3)^2 = 0` zodat `x = 3`
    5. `x^2 - 5x + 10 = 0` met `D = -15`, geen oplossingen
    6. `x^2 = 60` geeft `x = +-sqrt(60)`
    7. `1/3x^2 = 4` geeft `x^2 = 12` en dus `x = +-sqrt(12)`
    8. `5x^2 - x + 3 = 0` en `D = -59`, geen oplossingen
    1. `f(x) = 2(x + 1 1/2)^2 - 2 1/2` geeft top `(-1 1/2,-2 1/2)`.
    2. `D = 36 - 8p^2 = 0` geeft `p = +-sqrt(4,5)`.
      Verder is de grafiek van `f` een rechte lijn als `p = 0`. Ook dan is er één punt met de `x`-as gemeen.
    3. Als `D > 0` en dus `p < -sqrt(4,5) vv p > sqrt(4,5)`
    4. `px^2 + 6x + 2p = 6 - x` geeft `px^2 + 7x + 2p - 6 = 0`.
      `D = 0` geeft `49 - 4p(2p - 6) = 0` en dit geeft `p = (24 +- sqrt(2144))/(16)`.
      Er is ook één snijpunt als `p = 0`.
    1. `(x - 5)(x + 3) = 0` dus `x = 5 vv x = -3`
    2. `x^2 + x + 1 = 0` met `D = -3`, dus geen oplossingen
    3. `x^2 = 9` dus `x = +-3`
    4. `x^2 + 2x - 14 = 0` geeft `x = (-2 +- sqrt(60))/2`
    5. `x^2 - x + 7 = 0` met `D = -27`, geen oplossingen
    1. Nulpunten: `p - x^2 = 0`, dus `p = x^2`. Geen oplossingen als `p < 0`.
    2. `4 - x^2 = x^2 - 3x` geeft `2x^2 - 3x - 4 = 0` en `x = (3 +- sqrt(41))/4`.
      Snijpunten `(2,35;-1,53)` en `(-0,85;3,28)`.
    3. `p - x^2 = x^2 - 3x` geeft `2x^2 - 3x - p = 0`. `D = 0` geeft `9 + 8p = 0` en `p = -9/8`.