Kwadratische functies als machtsfuncties

Antwoorden bij de opgaven

1. Eerst 4 verschuiven in de `x`-richting, vervolgens met `1/2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as en dan `-4` verschuiven in de `y`-richting.
2. Top is `(4,-4)`.
  Snijpunt met `y`-as: `x = 0` geeft `y = 4`, dus `(0, 4)`.
  Snijpunten met `x`-as: `y = 0` geeft `(x - 4)^2 = 8` en `x - 4 = +- sqrt(8)` zodat `x = 4 +- sqrt(8)`.
  Dit geeft `(4 + sqrt8, 0)` en `(4 - sqrt8, 0)`.
3. `text(D)_(f) = RR` en `text(B)_(f) = [-4,rarr:)`.
4. Minimum van `-4`, want het getal voor `x^2` is positief.
5. `1/2 (x - 4)^2 - 4 = 100` geeft `(x - 4)^2 = 208` en dus `x = 4 +- sqrt(208)`.
  `f(x) < 100` als `4 - sqrt(208) < x < 4 + sqrt(208)`.
`f(x) = (x - 2)^2 + 1`
`g(x) = -x^2 + 1`
`h(x) = a(x - 1,5)^2 + 3` en gaat door `(4, 0)`, dus `a * (2,5)^2 + 3 = 0`. Dat geeft `a = -0,48`.
Dus h(x) = -0,48(x - 1,5)^2 + 3`.
1. Eerst `-1` verschuiven in de `x`-richting, vervolgens met `2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as en dan `-3` verschuiven in de `y`-richting.
2. `text(D)_(f) = RR` en `text(B)_(f) = [-3,rarr:)`.
3. Min.`f(-1) = -3`.
4. `2(x + 1)^2 - 3 = 100` geeft `(x + 1)^2 = 51,5` en dus `x = -1 +- sqrt(51,5)`.
  `f(x) < 100` als `-1 - sqrt(51,5) < x < -1 + sqrt(51,5)`.
1. Als `a` positief is, dan is het een dalparabool en heeft de grafiek dus een minimum. Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool en heeft de grafiek dus een maximum.
2. De grootte is `q`.
3. `x = p`, want de top zit bij de `x`-waarde waarbij het kwadraat `0` wordt.
4. `text(D)_(f) = RR` en als `a > 0` is `text(B)_(f) = [q,rarr:)`, als `a < 0` is `text(B)_(f) = (:larr,q]`.
1. `x = 10 vv x = -10`
2. `x - 4 = +-8`, dus `x = -4 vv x = 12`
3. `(x + 1)^2 = 25` geeft `x + 1 = +-5` en dus `x = -6 vv x = 4`
4. `3(x + 2)^2 = 30` geeft `(x + 2)^2 = 10` en `x + 2 = +- sqrt(10)` zodat `x = -2 - sqrt(10) vv x = -2 + sqrt(10)`
5. `x^2 = 3,5` geeft `x = +- sqrt(3,5)`
1. `(x - 4)^2 = 10` geeft `x = 4 +- sqrt(10)`
  Oplossing ongelijkheid: `4 - sqrt(10) < x < 4 + sqrt(10)`.
2. `-2(x + 3)^2 = -6` geeft `x = -3 +- sqrt(3)`
  Oplossing ongelijkheid: `x < -3 - sqrt(3) vv x > -3 + sqrt(3)`
3. `3(x - 5)^2 = 12` geeft `(x - 5)^2 = 4` en dus `x = 3 vv x = 7`
  Oplossing ongelijkheid: `x < 3 vv x > 7`.
Top `(1,q)` geeft: `f(x) = a(x - 1)^2 + q`.
`(0,2)` invullen: `a + q = 2`
`(4,0)` invullen: `9a + q = 0`
Dit betekent `8a = -2` en dus `a = -0,25`. Daaruit volgt `q = 2,25`.
Het gevraagde voorschrift is `f(x) = -0,25(x - 1)^2 + 2,25`.
1. Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
2. -
3. `-0,01(x - 10)^2 + 1,5 = 0` geeft `(x - 10)^2 = 150` en dus `x = 10 +- sqrt(150)`.
  Omdat `10 + sqrt(150) < 22,25` is de bal in.
1. Eerst `-8` eenheden verschuiven in de `x`-richting. dan met `2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as en `-8` eenheden in de `y`-richting verschuiven.
2. Als je de laatste twee stappen verwisselt, krijg je `h(x) = 2((x + 8)^2 - 8) = 2(x + 8)^2 - 16`.
1. Max.`f(-4) = 5`
2. `-2(x + 4)^2 = -10` geeft `(x + 4)^2 = 5` en dus `x = -4 +- sqrt(5)`.
3. `-2(x + 4)^2 + 5 = 5` geeft `(x + 4)^2 = 0` en dus `x = -4`.
4. `-2(x + 4)^2 + 5 = -3` geeft `(x + 4)^2 = 4` en dus `x = -2 vv x = -6`. Oplossing: `-6 < x < -2`.
5. `-2(x + 4)^2 + 5 = 0` geeft `(x + 4)^2 = 2,5` en dus `x = -4 +- sqrt(2,5)`. Oplossing: `x < -4 - sqrt(2,5) vv x > -4 + sqrt(2,5)`.
6. `-2(x + 4)^2 + 5 = 20` geeft `(x + 4)^2 = -7,5` en dus geen oplossingen. Oplossing: dit geldt voor elke `x`.
1. Top `(-2, 10)`, berparabool, dalend voor `x > -2`.
2. Nee, in de top is de functie niet stijgend en niet dalend.
3. `-3(x + 2)^2 + 10 = 0` geeft `(x + 2)^2 = 10/3` en dus `x = -2 +- sqrt(10/3)`.
  Nulpunten `(-2 - sqrt(10/3),0)` en `(-2 + sqrt(10/3),0)`.
1. `2(x - 1)^2 = 3` geeft `(x - 1)^2 = 1,5` en `x = 1 +- sqrt(1,5)`.
2. Eerst `-2` verschuiven in de `x`-richting, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y`-richting en tenslotte `-3` verschuiven in de `y`-richting.
3. -
1. `5(x - 1)^2 = 13` geeft `(x - 1)^2 = 2,6` en dus `x = 1 +- sqrt(2,6)`.
  Oplossing ongelijkheid: `x < 1 - sqrt(2,6) vv x > 1 + sqrt(2,6)`.
2. `5 - x^2 = -21` geeft `x^2 = 26` en dus `x = +- sqrt(26)`.
  Oplossing ongelijkheid: `- sqrt(26) < x < sqrt(26)`.
3. `3(x - 1)^2 = 40` geeft `(x - 1)^2 = 40/3` en dus `x = 1 +- sqrt(40/3)`.
  Oplossing ongelijkheid: `1 - sqrt(40/3) < x < 1 + sqrt(40/3)`.
4. `-4(x + 80)^2 = -60` geeft `(x + 80)^2 = 15` en dus `x = -80 +- sqrt(15)`.
  Oplossing ongelijkheid: `-80 - sqrt(15) < x < -80 + sqrt(15)`.
1. Top `(5,4)` geeft: `h(x) = a(x - 5)^2 + 4`.
  Grafiek door `(0;2,5)` geeft: `25a + 4 = 2,5` en dus `a = -0,06`.
  Conclusie: `h(x) = -0,06(x - 5)^2 + 4`.
2. `h(x) = 3,05` geeft: `(x - 5)^2 = 95/6` en dus `x = 5 +- sqrt(95/6)`.
  Dit geeft `x ~~ 1,02 vv x ~~ 8,98`. De speler staat ongeveer 8,98 m voor de basket.
1. Het is een bergparabool met maximum `c` voor `x = 3`.
2. De functie `g(x) = -1/2(x - 3)^2` is een bergparabool met de top op de `x`-as. Om twee snijpunten te krijgen moet `c > 0` zijn, dan ligt de top boven de `x`-as.
3. `c < 4`
4. Top `(3,c)` op `y = 4x - 5` geeft: `c = 4*3 - 5 = 7`.
1. Bergparabool met top `(0,-2)` en door `(1, -4)`.
2. Dalparabool met top `(4,8)` en door `(0,1608)`.
3. Bergparabool met top `(-5,0)` en door `(0,-25)`.
1. `3(x - 5)^2 - 5 = -2` geeft `(x - 5)^2 = 1` en dus `x = 4 vv x = 6`
2. `3(x - 5)^2 - 5 = -5` geeft `(x - 5)^2 = 0` en dus `x = 5`
3. `-2(x + 4)^2 + 3 = 1` geeft `(x + 4)^2 = 1` en dus `x = -5 vv x = -3`
4. `2(x + 2)^2 = 10` geeft `(x + 2)^2 = 5` en dus `x = -2 - sqrt(5) vv x = -2 + sqrt(5)`
  Oplossing ongelijkheid: `x < -2 - sqrt(5) vv x > -2 + sqrt(5)`
5. `-(x + 4)^2 = -3` geeft `(x + 4)^2 = 3` en dus `x = -4 - sqrt(3) vv x = -4 + sqrt(3)`
  Oplossing ongelijkheid: `x < -4 - sqrt(3) vv x > -4 + sqrt(3)`
6. `(x + 4)^2 - 5 = -3` geeft `(x + 4)^2 = 2` en dus `x = -4 - sqrt(2) vv x = -4 + sqrt(2)`
  Oplossing ongelijkheid: `-4 - sqrt(2) < x < -4 + sqrt(2)`
1. Top bij `x=15` geeft: `f(x) = a(x - 15)^2 + q`.
  `(0,30)` invullen: `225a + q = 30`.
  `(20,0)` invullen: `25a + q = 0`.
  Dit levert op: `200a = 30` en dus `a = 0,15`, zodat `q = -0,6`.
  Conclusie: `f(x) = 0,15(x - 15)^2 - 0,6`.